冀教版八年級上第十三章全等三角形集訓課堂練素養(yǎng)1.全等三角形的五種常見應用

全等三角形的對應邊相等、對應角相等，為我們解決線

段和角的問題提供了新思想、新方法，因此，判定兩三角形

全等是解決線段和角的相關問題的基礎.全等三角形的判定

和性質(zhì)的應用是各類考試(包括中考)的必考內(nèi)容，主要題型

有證明線段或角的相等關系、和差關系、倍分關系等.應用1

全等三角形在證明線段或角相等中的應用1.

如圖，點

E

，

F

在

BD

上，且

AB

＝

CD

，

BF

＝

DE

，

AE

＝

CF

，求證：∠

AEF

＝∠

CFE

.

123456782.

[2023·大連]如圖，在△

ABC

和△

ADE

中，延長

BC

交

DE

于

F

.

BC

＝

DE

，

AC

＝

AE

，∠

ACF

＋∠

AED

＝180°.

求證：

AB

＝

AD

.

12345678應用2

全等三角形在證明線段和差關系中的應用3.

[2024·北京四中期中]如圖，

A

，

C

，

D

三點共線，△

ABC

和△

CDE

在

AD

的同側(cè)，

AB

∥

CE

，

BC

＝

DE

，∠

B

＝

∠

D

，求證：(1)△

ABC

≌△

CDE

；

12345678(2)

AB

＋

CE

＝

AD

.

【證明】由(1)知△

ABC

≌△

CDE

，∴

AB

＝

CD

，

AC

＝

CE

，∴

AB

＋

CE

＝

CD

＋

AC

＝

AD

.

12345678應用3

全等三角形在證明線段倍分關系中的應用4.

求證：三角形一邊的中線小于其他兩邊和的一半.12345678證明：如圖，延長

AD

至點

E

，使

DE

＝

AD

，連接

BE

.

因為

D

是

BC

的中點，所以

BD

＝

CD

.

在△

BED

和△

CAD

中，

【解】已知：如圖，在△

ABC

中，

D

是

BC

邊上的中點.

12345678所以△

BED

≌△

CAD

(SAS).所以

BE

＝

AC

.

在△

ABE

中，

AE

＜

AB

＋

BE

.

因為

AE

＝

AD

＋

DE

＝2

AD

，

12345678【點方法】證明一個幾何問題的一般步驟：(1)明確問題中的已知和待證明的結論；(2)根據(jù)題

意，畫出圖形，并用符號表示已知和待證明的結論；(3)經(jīng)過分析，找出由已知推出要證明的結論的途

徑，寫出證明過程.12345678應用4

全等三角形在證明線段位置關系中的應用5.

[2024·石家莊欒城區(qū)期末]如圖，點

B

，

F

，

C

，

E

在一條

直線上，

A

，

O

，

D

在一條直線上，

OA

＝

OD

，

AC

∥

FD

，

BF

＝

CE

.

求證：

AB

∥

DE

.

12345678

123456786.

兩個大小不同的等腰直角三角形的三角尺如圖①放置，圖

②是由它抽象出的幾何圖形，

B

，

C

，

E

在同一條直線

上，連接

DC

.

(1)請找出圖②中的全等三角形，并

說明理由；(注：結論中不得含

有未標識的字母)12345678【解】題圖②中△

ABE

≌△

ACD

.

理由：因為△

ABC

與△

AED

均為等腰直角三角形，所

以

AB

＝

AC

，

AE

＝

AD

，∠

BAC

＝∠

EAD

＝90°.所以∠

BAC

＋∠

CAE

＝∠

EAD

＋∠

CAE

，即∠

BAE

＝∠

CAD

.

所以△

ABE

≌△

ACD

(SAS).12345678(2)求證：

DC

⊥

BE

.

【證明】由(1)知△

ABE

≌△

ACD

，則∠

ACD

＝∠

ABE

.

因為∠

ABC

＋∠

ACB

＝90°，所以∠

ACD

＋∠

ACB

＝∠

BCD

＝90°，即

DC

⊥

BE

.

12345678應用5

全等三角形在線段或角的計算中的應用7.

[2024·湖州一模]如圖，在△

ABC

中，∠

C

＝50°，將

AB

沿射線

BC

的方向平移至

A

'

B

'，使

B

'為

BC

的中點，連接

AA

'，記

A

'

B

'與

AC

的交點為

O

.

(1)求證：△AOA'≌△COB'.12345678【證明】∵

B'為

BC

的中點，∴BB'＝CB'，∵將

AB

沿射線

BC

的方向平移至A'B'，∴AA'∥

BC

，

AA'＝BB'＝CB'.∴∠

AA

'

O

＝∠

CB

'

O

，∠

A

'

AO

＝∠

B

'

CO

.

∴△AOA'≌△COB'.12345678(2)若

AC

平分∠BAA'，求∠

B

的度數(shù).【解】∵

AC

平分∠BAA'，∴∠

A

'

AO

＝∠

BAC

.

∵∠A'AO＝∠

C

＝50°，∴∠

BAC

＝50°.∴∠

B

＝180°－50°－50°＝80°.123456788.

[2024·廣東實驗中學期中]如圖，在△

ABC

中，∠

ABC

＝

45°，

AD

⊥

BC

于點

D

，

BE

⊥

AC

于點

E

，交

AD

于點

F

.

(1)求證：△

BDF

≌△

ADC

；12345678

12345678(2)若

BC

＝10，

DF

＝4，求

AF

的長.【解】由(1)知△

BDF

≌△

ADC