冀教版八年級(jí)上第十七章特殊三角形17.3勾股定理第1課時(shí)認(rèn)識(shí)勾股定理01名師點(diǎn)金02認(rèn)知基礎(chǔ)練03素養(yǎng)提升練目

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勾股定理的適用條件：直角三角形.勾股定理反映了直

角三角形三邊的關(guān)系，即已知直角三角形兩邊長可求第三邊

長.對(duì)于非直角三角形問題，可根據(jù)圖形特征構(gòu)造直角三角

形，運(yùn)用時(shí)要分清直角邊和斜邊，在Rt△

ABC

中，斜邊不

一定是

c

.返回知識(shí)點(diǎn)1

勾股定理1.

在△

ABC

中，∠

C

＝90°，∠

A

，∠

B

，∠

C

的對(duì)邊分

別是

a

，

b

，

c

，則下列式子成立的是(

A

)A.

a2＋

b2＝

c2B.

a2＋

c2＝

b2C.

a2－

b2＝

c2D.

a

＋

b

＝

c

【點(diǎn)撥】∵∠

C

＝90°，∠

A

，∠

B

，∠

C

的對(duì)邊分別是

a

，

b

，

c

，∴

a2＋

b2＝

c2.故選A.

A123456789101112返回

(第2題)123456789101112

∴4×3＝4CD＋5CD，

由題意知AD平分∠BAC，∵DC⊥AC，∴CD＝

DM，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，

【點(diǎn)撥】如圖，作DM⊥AB于點(diǎn)M，D【答案】123456789101112返回3.

[2023·隨州]如圖，在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AC

＝

8，

BC

＝6，

D

為

AC

上一點(diǎn)，若

BD

是∠

ABC

的平分

線，則

AD

＝

?.(第3題)5

123456789101112【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)

D

作

DE

⊥

AB

于點(diǎn)

E

.

∵∠

C

＝90°，∴

CD

⊥

BC

，∵

BD

是∠

ABC

的平分線，∴

CD

＝

DE

.

∴Rt△

BCD

≌Rt△

BED

(HL).∴

BC

＝

BE

＝6.

123456789101112在Rt△

ADE

中，

AE2＋

DE2＝

AD2，∴42＋

x2＝(8－

x

)2，解得

x

＝3.∴

AD

＝8－

x

＝5.∴

AE

＝

AB

－

BE

＝10－6＝4.設(shè)

CD

＝

DE

＝

x

，則

AD

＝

AC

－

CD

＝8－

x

.123456789101112返回知識(shí)點(diǎn)2

勾股定理與圖形的面積4.

如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是

直角三角形.若正方形

A

，

C

，

D

的面積依次為4，6，

18，則正方形

B

的面積為(

A

)A.8B.9C.10D.12(第4題)123456789101112【點(diǎn)撥】如圖，由題意得

S正方形

A

＋

S正方形

B

＝

S正方形

E

，

S正方形

D

－

S正方形

C

＝

S正方形

E

，∴

S正方形

A

＋

S正方形

B

＝

S正方形

D

－

S正方形

C

.

又∵正方形

A

，

C

，

D

的面積依次為4，6，18，∴

S正方形

B

＋4＝18－6，∴

S正方形

B

＝8.【答案】A123456789101112返回5.

如圖，點(diǎn)

E

在正方形

ABCD

內(nèi)，滿足∠

AEB

＝90°，

AE

＝6，

BE

＝8，則陰影部分的面積是(

C

)A.48B.60C.76D.80(第5題)C【點(diǎn)撥】在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB＝10，∴S正方形ABCD＝102＝100.

123456789101112返回6.[新考法·計(jì)算比較法2023·日照]已知直角三角形的三邊

a

，

b

，

c

滿足

c

＞

a

＞

b

，分別以

a

，

b

，

c

為邊作三個(gè)正

方形，把兩個(gè)較小的正方形放置在最大正方形內(nèi)，如圖，

設(shè)三個(gè)正方形無重疊部分的面積為

S1，均重疊部分的面積

為

S2，則(

C

)A.

S1＞

S2B.

S1＜

S2C.

S1＝

S2D.

S1，

S2大小無法確定(第6題)C123456789101112【點(diǎn)撥】∵直角三角形的三邊

a

，

b

，

c

滿足

c

＞

a

＞

b

，∴該

直角三角形的斜邊為

c

，∴

c2＝

a2＋

b2.∴

c2－

a2－

b2＝0.∴

S1＝

c2－

a2－

b2＋

b

(

a

＋

b

－

c

)＝

ab

＋

b2－

bc

.易知

S2＝

b

(

a

＋

b

－

c

)＝

ab

＋

b2－

bc

，∴

S1＝

S2.故選C.

【答案】C123456789101112返回7.

[新考向·文化傳承2023·揚(yáng)州]我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾

股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽

弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組

成的，如圖，直角三角形的直角邊長為

a

，

b

，斜邊長為

c

，若

b

－

a

＝4，

c

＝20，則每個(gè)直角

三角形的面積為

?.96

(第7題)123456789101112∴

ab

＝192.

【點(diǎn)撥】由題意可得

a2＋

b2＝

c2，∴

a2＋

b2＝202，即(

a

－

b

)2＋2

ab

＝400.∴2

ab

＝400－(

a

－

b

)2＝400－42＝384，123456789101112返回易錯(cuò)點(diǎn)三角形高的位置不明確，因考慮問題不全面而導(dǎo)致

出錯(cuò)(分類討論思想)8.

在△

ABC

中，

AB

＝20，

AC

＝13，高

AD

＝12，則△

ABC

的面積為(

D

)A.66B.126C.55或44D.126或66123456789101112①如圖①，

AD

在△

ABC

內(nèi)部.在Rt△

ACD

中，由勾股定理得

CD

＝5，在Rt△

ABD

中，由勾股定理得

DB

＝16，∴

CB

＝

CD

＋

DB

＝5＋16＝21，

【點(diǎn)撥】由題意知，要分兩種情況求解：123456789101112②如圖②，

AD

在△

ABC

外部.在Rt△

ACD

中，由勾股定理得

CD

＝5，在Rt△

ABD

中，由勾股定理得

DB

＝16，∴

CB

＝

BD

－

CD

＝16－5＝11，

綜上所述，△

ABC

的面積為66或126.【答案】D123456789101112返回

利用勾股定理求作圖中線段的長

A.9B.8C.7D.6123456789101112【點(diǎn)撥】由題意得

MN

是

AC

的垂直平分線，∴

AC

＝2

AE

＝8，

DA

＝

DC

.

∴∠

DAC

＝∠

C

.

∵

BD

＝

CD

，∴

BD

＝

AD

.

∴∠

B

＝∠

BAD

.

∵∠

B

＋∠

BAD

＋∠

C

＋∠

DAC

＝180°，∴2∠

BAD

＋2∠

DAC

＝180°.∴∠

BAD

＋∠

DAC

＝90°.123456789101112

故選D.

【答案】D∴∠

BAC

＝90°.在Rt△

ABC

中，

BC

＝

BD

＋

CD

＝2

AD

＝10，

AC

＝8，123456789101112返回

利用勾股定理求圖形面積

【解】如圖所示，

AP

即為所求.123456789101112(2)在(1)所作圖形中，求△

ABP

的面積.

123456789101112返回

利用勾股定理求線段長11.

[新考向·傳承數(shù)學(xué)文化]《算法統(tǒng)宗》中記載：平地秋千

未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾

記……翻譯成現(xiàn)代文如下：如圖，秋千

OA

靜止的時(shí)

候，踏板離地高一尺(

AC

＝1尺)，將它往前推進(jìn)兩步

(

EB

＝10尺)，此時(shí)踏板升高，離地五尺(

BD

＝5尺)，求

秋千繩索

OB

的長度.123456789101112【解】設(shè)

OA

＝

OB

＝

x

尺，由題意，得

EC

＝

BD

＝5尺，

AC

＝1尺，∴

EA

＝

EC

－

AC

＝5－1＝4(尺)，

OE

＝

OA

－

AE

＝(

x

－4)尺，在Rt△

OEB

中，

OE

＝(

x

－4)尺，

OB

＝

x

尺，

EB

＝10尺，根據(jù)勾股定理得

x2＝(

x

－4)2＋102，整理得8

x

＝116，解得

x

＝14.5.∴秋千繩索

OB

的長度為14.5尺.123456789101112返回

利用作差法探究圖形中線段關(guān)系12.

[新考法·猜想驗(yàn)證法]在△

ABC

中，

BC

＝

a

，

AC

＝

b

，

AB

＝

c

.若∠

C

＝90°，如圖①，根據(jù)勾股定理，有

a2

＋

b2＝

c2.若△

ABC

不是直角三角形，而是圖②③所示

的銳角三角形和鈍角三角形.123456789101112(1)請(qǐng)你類比勾股定理，猜想

a2＋

b2與

c2的關(guān)系：圖②

中，

a2＋

b2

c2；圖③中，

a2＋

b2

c2.(填

“＞”“＜”或“＝”)＞

＜

123456789101112(2)說明你在(1)中猜想的結(jié)論的正確性.【解】如圖①，作

BC

邊上的高

AD

，則∠

ADC

＝∠

ADB