湖北省八校2025屆高三數(shù)學第一學期期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（）A． B． C． D．2．若圓錐軸截面面積為，母線與底面所成角為60°，則體積為()A． B． C． D．3．設為定義在上的奇函數(shù)，當時，(為常數(shù))，則不等式的解集為（）A． B． C． D．4．如圖，網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構成，若粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)且的圖象恒過定點，則函數(shù)圖象以點為對稱中心的充要條件是()A． B．C． D．6．已知拋物線,過拋物線上兩點分別作拋物線的兩條切線為兩切線的交點為坐標原點若,則直線與的斜率之積為（）A． B． C． D．7．已知為坐標原點，角的終邊經(jīng)過點且，則()A． B． C． D．8．我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個比例為“白銀比例”，該比例在設計和建筑領域有著廣泛的應用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺到塔底的高度之比，第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺間高度差為100米，則下列選項中與該塔的實際高度最接近的是（）A．400米 B．480米C．520米 D．600米9．一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為，高為，有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切，則該球的表面積為（）A． B． C． D．10．《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認識，是中華人文文化的基礎，它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法．我們用近代術語解釋為：把陽爻“-”當作數(shù)字“1”，把陰爻“--”當作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：卦名符號表示的二進制數(shù)表示的十進制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“”表示的十進制數(shù)是（）A．18 B．17 C．16 D．1511．已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．3 D．412．已知，則（）A．2 B． C． D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，滿足約束條件則的最大值為__________.14．已知點是拋物線上動點，是拋物線的焦點，點的坐標為，則的最小值為______________．15．設為等比數(shù)列的前項和，若，且，，成等差數(shù)列，則.16．為了了解一批產(chǎn)品的長度（單位：毫米）情況，現(xiàn)抽取容量為400的樣本進行檢測，如圖是檢測結果的頻率分布直方圖，根據(jù)產(chǎn)品標準，單件產(chǎn)品長度在區(qū)間的一等品，在區(qū)間和的為二等品，其余均為三等品，則樣本中三等品的件數(shù)為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，直角梯形ABCD中，，，，四邊形EDCF為矩形，，平面平面ABCD．(1)求證：平面ABE；(2)求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值．(3)在線段DF上是否存在點P，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為，若存在，求出線段BP的長，若不存在，請說明理由．18．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，，，且的面積為.(1)求；(2)求的周長.19．（12分）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標方程與直線的普通方程；（2）已知點，直線與曲線交于、兩點，求.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面平面，點為棱的中點．（Ⅰ）在棱上是否存在一點，使得平面，并說明理由；（Ⅱ）當二面角的余弦值為時，求直線與平面所成的角．22．（10分）設橢圓：的右焦點為，右頂點為，已知橢圓離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線斜率的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知，ABD選項可以圍成三棱柱，C選項不是三棱柱展開圖.故選：C【點睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷，屬于基礎題.2、D【解析】

設圓錐底面圓的半徑為，由軸截面面積為可得半徑，再利用圓錐體積公式計算即可.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為，由已知，，解得，所以圓錐的體積.故選：D【點睛】本題考查圓錐的體積的計算，涉及到圓錐的定義，是一道容易題.3、D【解析】

由可得，所以，由為定義在上的奇函數(shù)結合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，注意到，再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因為在上是奇函數(shù).所以，解得，所以當時，，且時，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為，故有，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查學生對函數(shù)性質(zhì)的靈活運用能力，是一道中檔題.4、C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結合組合體的結構特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個圓柱和一個長方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，利用三視圖還原成幾何體是求解關鍵，側重考查直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).5、A【解析】

由題可得出的坐標為，再利用點對稱的性質(zhì)，即可求出和.【詳解】根據(jù)題意，，所以點的坐標為，又，所以.故選：A.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點問題和函數(shù)對稱性的應用，屬于基礎題.6、A【解析】

設出A，B的坐標，利用導數(shù)求出過A，B的切線的斜率，結合，可得x1x2＝﹣1．再寫出OA，OB所在直線的斜率，作積得答案．【詳解】解：設A（），B（），由拋物線C：x2＝1y，得，則y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故選：A．點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關系，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是解題的思路，由于與切線有關，所以一般先設切點，先設A,B,,再求切線PA,PB方程，求點P坐標，再根據(jù)得到最后求直線與的斜率之積.如果先設點P的坐標，計算量就大一些.7、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出結果.【詳解】根據(jù)題意，，解得，所以，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義的應用和二倍角的正弦公式，考查計算能力.8、B【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何關系，結合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離，進而由比例即可求得該塔的實際高度.【詳解】設第一展望臺到塔底的高度為米，塔的實際高度為米，幾何關系如下圖所示：由題意可得，解得；且滿足，故解得塔高米，即塔高約為480米.故選：B【點睛】本題考查了對中國文化的理解與簡單應用，屬于基礎題.9、B【解析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長為，高為，得到底面的中心到各棱的距離都是1，從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示：因為正四棱錐底邊邊長為，高為，所以，到的距離為，同理到的距離為1，所以為球的球心，所以球的半徑為：1，所以球的表面積為.故選：B【點睛】本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.10、B【解析】

由題意可知“屯”卦符號“”表示二進制數(shù)字010001，將其轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)即可.【詳解】由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進制數(shù)字010001，轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)的計算為1×20+1×24=1．故選：B．【點睛】本題主要考查數(shù)制是轉(zhuǎn)化，新定義知識的應用等，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.11、A【解析】

根據(jù)題意，由拋物線的方程可得其焦點坐標，由此可得雙曲線的焦點坐標，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，解可得，由離心率公式計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，拋物線的焦點為，則雙曲線的焦點也為，即，則有，解可得，雙曲線的離心率.故選：A．【點睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標準方程，關鍵是求出拋物線焦點的坐標，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．12、A【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案．【詳解】，；；故選：．【點睛】本題考查了函數(shù)值的求法，考查對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎題，解題時注意函數(shù)性質(zhì)的合理應用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

先畫出約束條件的可行域，根據(jù)平移法判斷出最優(yōu)點，代入目標函數(shù)的解析式，易可得到目標函數(shù)的最大值．【詳解】解：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域，由于，則，要求的最大值，則求的截距的最小值，顯然當平行直線過點時，取得最大值為：.故答案為：1．【點睛】本題考查線性規(guī)劃求最值問題，我們常用幾何法求最值.14、【解析】

過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當和拋物線相切時，的值最小.再利用直線的斜率公式、導數(shù)的幾何意義求得切點的坐標，從而求得的最小值.【詳解】解：由題意可得，拋物線的焦點，準線方程為，過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當最小時，的值最小.設切點，由的導數(shù)為，則的斜率為，求得，可得，，，.故答案為：.【點睛】本題考查拋物線的定義，性質(zhì)的簡單應用，直線的斜率公式，導數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.15、.【解析】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.16、100.【解析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率，然后可求得樣本中三等品的件數(shù)．詳解：由題意得，三等品的長度在區(qū)間，和內(nèi)，根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為，∴樣本中三等品的件數(shù)為.點睛：頻率分布直方圖的縱坐標為，因此每一個小矩形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率，把小矩形的高視為頻率時常犯的錯誤．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）見解析（II）（III）【解析】試題分析：（Ⅰ）取為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，由題意可得平面的法向量，且，據(jù)此有，則平面．（Ⅱ）由題意可得平面的法向量，結合(Ⅰ)的結論可得，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．（Ⅲ）設，，則，而平面的法向量，據(jù)此可得，解方程有或．據(jù)此計算可得．試題解析：（Ⅰ）取為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，∴，，設平面的法向量，∴不妨設，又，∴，∴，又∵平面，∴平面．（Ⅱ）∵，，設平面的法向量，∴不妨設，∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．（Ⅲ）設，，∴，∴，又∵平面的法向量，∴，∴，∴或．當時，，∴；當時，，∴．綜上，．18、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦，余弦定理對式子化簡求解即可；（2）利用余弦定理以及三角形的面積，求解三角形的周長即可．【詳解】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.（2）∵，所以，，又，且，，的周長為【點睛】本題考查正弦定理以及余弦定理的應用，三角形的面積公式，也考查計算能力，屬于基礎題.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）取中點，中點，連接，，.設交于，則為的中點，連接.通過證明，證得平面，由此證得平面平面.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點，中點，連接，，.設交于，則為的中點，連接.設，則，，∴.由已知，，∴平面，∴.∵，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）由（1）及已知可得平面，建立如圖所示的空間坐標系，設，則，，，，，，，，設平面的法向量為，∴，令得.設平面的法向量為，∴，令得，∴，∴二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、(1).(2)【解析】

（1）根據(jù)極坐標與直角坐標互化公式，以及消去參數(shù)，即可求解；（2）設兩點對應的參數(shù)分別為，，將直線的參數(shù)方程代入曲線方程，結合根與系數(shù)的關系，即可求解.【詳解】（1）對于曲線的極坐標方程為，可得，又由，可得，即，所以曲線的普通方程為.由直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)可得，即直線的方程為，即.（2）設兩點對應的參數(shù)分別為，，將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入曲線中，可得.化簡得：，則.所以.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.21、（1）見解析（2）【解析】

（Ⅰ）取的中點，連結、，得到故且，進而得到，利用線面平行的判定定理，即可證得平面.（Ⅱ）以為坐標原點建立如圖空間直角坐標系，設，求得平面的法向量為，和平面的法向量，利用向量的夾角公式，求得，進而得到為直線與平面所成的角，即可求解.【詳解】（Ⅰ）在棱上存在點，使得平面，點為棱的中點．理由如下：取的中點，連結、，由題意，且，且，故且.所以，四邊形為平行四邊形.所以，，又平面，平面，所以，平面.（Ⅱ）由題意知為正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以