成都市技師學(xué)院

理論課教案首頁

7.3平面向

課程名稱數(shù)學(xué)課題名稱量的內(nèi)積課時(shí)2

授課日期任課教師謝春霞

目標(biāo)群體14級五高汽車工程系2,3,4班教學(xué)環(huán)境理論課堂

知識目標(biāo)：

(1)了解平面向量內(nèi)積的概念及其幾何意義.

(2)了解平面向量內(nèi)積的計(jì)算公式.利用向量的內(nèi)積研究有關(guān)問題奠定基礎(chǔ).

職業(yè)通用能力目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，理解數(shù)形結(jié)合的思想方法.

學(xué)習(xí)目標(biāo)

制造業(yè)通用能力目標(biāo)：

通過把實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化,滲透數(shù)學(xué)建模的思想,提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的

意識,及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好.

平面向量數(shù)量積的概念及計(jì)算公式.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)

數(shù)量積的概念及利用數(shù)量積來計(jì)算兩個(gè)非零向量的夾角.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)

教法：講授為主，學(xué)生自主預(yù)習(xí)為輔。

學(xué)法：直觀學(xué)習(xí)法、練習(xí)、討論

課件，教材

教學(xué)媒體

教師：準(zhǔn)備課件、學(xué)生練習(xí)的資料

教學(xué).

學(xué)習(xí)準(zhǔn)備學(xué)生：教材、練習(xí)冊

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教學(xué)教師學(xué)生

教學(xué)內(nèi)容時(shí)間

環(huán)節(jié)活動活動

情景創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入提問思考

引入

分析分析

講解

理解

強(qiáng)調(diào)

掌握10

圖7—21

如圖7—21所示，水平地面上有一輛車，某人用100N的力,

朝著與水平線成30。角的方向拉小車，使小車前進(jìn)了100m.那么，

這個(gè)人做了多少功？

【新知識】

新知

我們知道，這個(gè)人做功等于力與在力的方向上移動的距離的乘

探索

積.如圖7—22所示，設(shè)水平方向的單位向量為i,垂直方向的單

位向量為j，則

F=xi+yj=|F|sin30-i+|F|cos30-j,

即力廠是水平方向的力與垂直方向的力的和，垂直方向上沒有產(chǎn)生講解

強(qiáng)調(diào)

位移，沒有做功，水平方向上產(chǎn)生的位移為s,即

思考

F1cos30°-1s1=100X10=500V3(J)

w=|分析

2

板書理解

10

------司丁)

/3掌握

/；

/I

/?分析

'/i

/

講解

Oix

圖7—22

這里，力產(chǎn)與位移s都是向量，而功W是一個(gè)數(shù)量，它等于

由兩個(gè)向量尸，s的模及它們的夾角的余弦的乘積，W叫做向量尸

與向量s的內(nèi)積，它是一個(gè)數(shù)

量，又叫做數(shù)量積./A

如圖7—23,設(shè)有兩個(gè)非/

oZl________b_____.B

零向量a,b,作。4=a,OB

圖7—23

=上由射線OA與。8所形成

的角叫做向量a與向量b的夾角，記作<a力〉.

兩個(gè)向量a,b的模與它們的夾角的余弦之積叫做向量a與向量

b的內(nèi)積，記作a?b,即

a?b=1a仙|cos〈a力〉(7.10)

上面的問題中，人所做的功可以記作W=F?s.10

由內(nèi)積的定義可知a?0=0,0?a=0.思考

由內(nèi)積的定義可以得到下面幾個(gè)重要結(jié)果：板書分析

1當(dāng).<。力>=0時(shí)，a?b=\a\\b\；當(dāng)<a,b>=180時(shí)，a?b=-\a\\b\.理解

分析

c,ab

2.cos<a,p>=--------.掌握

\a\\b\

講解

力=〃時(shí)，有<a,a>=0,所以a?a=|a||a|=|aF，即⑷=a.

<a,b>=90時(shí)，aA.b9因此，a?b=|a|-|Z>|cos90=0,因此對非零

向量a,b,有a?力=0Oa_L兒

可以驗(yàn)證，向量的內(nèi)積滿足下面的運(yùn)算律：

(1)a?b=b?a.思考10

(2)(Aa)?b=A(a?b)=a?(Ab).分析

(3)(a+b)?c=a,c+b?c.理解

例題例1己知|a|=3M=2,<a,b>=60°,求a?h.板書

掌握

解a?b=\a\\b\cos<a,b>=3X2Xcos60°=3.

分析

例2已知|a|=|〃|=V2,a?b=一^^,求<。力>.

講解

Ag,a-b—V2A/2

解cos<a,b>=-----=—j=~；==-----.

\a\\b\V2-V22

由于0WS>W180P,

所以<a,b>—135.

巡視練習(xí)10

練習(xí)*運(yùn)用知識強(qiáng)化練習(xí)

設(shè)平面向量a=(xi,yi)力=(*2,竺)，i，j分別為x軸，y軸上的單

新知識

位向量，由于i_Lj,故=0,又|i|=l/l=l，所以板書

思考

a?Z>=(JCIi+yif)?(x2i+y2f)

分析

=xixii?/+xiy2i>7+xiy\i,j+yi”J'j分析

22理解

=xix21/|+y\yi[/I

講解

=x\x+y\yi.

2掌握

這就是說，兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即

a?b=x\M+y\yi(7.11)

利用公式(7.11)可以計(jì)算向量的模.設(shè)a=(x,y),則

\a\=={x2+y2，即|a|=Jx2+y2

由平面向量內(nèi)積的定義可以得到，當(dāng)。、)是非零向量時(shí)，

10

-ab_用—+2為

cos<ab>.(7.13)

"QI也廣+才&2+為2

利用公式(7.13)可以方便地求出兩個(gè)向量的夾角.

板書

由于a_L〃Oa=0,由公式(7.11河知

a,/>=0ox\X2+y\y2=0.

分析

因此a_LbOx\X2+yiJ2—0.(7.14)思考10

例3求下列向量的內(nèi)積：講解分析

例題

(1)a=(2,-3),5=(1,3)；理解

(2)a=(2,-1),/>=(1,2)；

掌握

(3)a=(4,2),b=(-2,-3).

解(1)。?力=2Xl+(-3)X3=-7；

(2)a?Z>=2Xl+(-l)X2=0；

(3)a?ft=2X(-2)+2X(-3)=-14.

例4已知a=(T,2),Z>=(-3,l).求a,b,|a|,|Z>|,<a,b>.

解a?*=(-1)(-3)+2Xl=5；板書

思考

|a|=y/a^a-J(-l)2+22=；

分析

分析

|fe|=VT*=7(-3)2+12=Vio；

理解

講解

_ah_5V2

COS<Q,Lb>.-,——,掌握

\a\\b\M亞2

所以<a,b>=45.

例5判斷下列各組向量是否互相垂直：

(1)。=(-2,3),)=(6,4)；

(2)a=(0,-l),〃=(1,-2).

解(1)因?yàn)閍?。=(-2)義6+3*4=0,所以aJ_b.

(2)因?yàn)閍?6=0Xl+(-l)X(-2)=2,所以a與b不垂直.10

巡視練習(xí)

*運(yùn)用知識強(qiáng)化練習(xí)

練習(xí)

*歸納小結(jié)強(qiáng)化思想

小結(jié)