PAGE第2課時(shí)指數(shù)冪及運(yùn)算內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義．2．駕馭根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．3．駕馭有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).提升數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展邏輯推理授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第35頁(yè)[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)一分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P50－51，思索并完成以下問(wèn)題)牛頓是大家所熟識(shí)的物理學(xué)家，你知道他在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)嗎？他在1676年6月13日寫給萊布尼茲的信里說(shuō)：“因?yàn)閿?shù)學(xué)家將aa，aaa，aaaa…寫成a2，a3，a4…，所以可將eq\r(a)，eq\r(a3)，…寫成aeq\f(1,2)，aeq\f(3,2)，…；將eq\f(1,a)，eq\f(1,aa)，eq\f(1,aaa)，…寫成a－1，a－2，a－3…”．這是牛頓首次運(yùn)用隨意實(shí)數(shù)指數(shù)，這正是這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的指數(shù)冪的擴(kuò)充過(guò)程．能否把eq\r(4,a3)，eq\r(3,b2)，eq\r(4,c5)寫成下列形式：eq\r(4,a3)＝aeq\f(3,4)(a>0)；eq\r(3,b2)＝beq\f(2,3)(b>0)；eq\r(4,c5)＝ceq\f(5,4)(c>0)．提示：能．學(xué)問(wèn)梳理1.規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．2．規(guī)定正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．3．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P51－53，思索并完成以下問(wèn)題)(1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)有哪些？提示：①am·an＝am＋n；②(am)n＝am·n；③eq\f(am,an)＝am－n(m＞n，a≠0)；④(a·b)m＝am·bm.(2)零和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是如何規(guī)定的？提示：規(guī)定：a0＝1(a≠0)；00無(wú)意義，a－n＝eq\f(1,an)(a≠0)．學(xué)問(wèn)梳理1.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．2．無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．[自我檢測(cè)]1．等于()A．25 B.eq\r(5,16)C. D.eq\r(5,4)解析：＝eq\r(5,42)＝eq\r(5,16)，故選B.答案：B2．已知a>0，則等于()A.eq\r(a3) B.eq\f(1,\r(3,a2))C.eq\f(1,\r(a3)) D．－eq\r(3,a2)解析：＝＝eq\f(1,\r(3,a2)).答案：B3．()4＋(－1)0＝__________.解析：()4＋(－1)0＝m2＋1.答案：m2＋1授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第36頁(yè)探究一根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化[例1](1)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是()(2)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式：④法一：從外向里化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：法二：從里向外化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：[答案](1)C(2)見(jiàn)解析方法技巧根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化技巧(1)在解決根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是熟記根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化式子：，其中字母a要使式子有意義．(2)將含有多重根號(hào)的根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的途徑有兩條：一是由里向外化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；二是由外向里化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．跟蹤探究1.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(其中a＞0)：(1)a3·eq\r(3,a2)；(2)探究二利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪求值[閱讀教材P51例2]求值：題型：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪求值[例2]計(jì)算下列各式：方法技巧利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值的方法(1)進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時(shí)兼顧運(yùn)算的依次．(2)在明確根指數(shù)的奇偶(或詳細(xì)次數(shù))時(shí)，若能明確被開(kāi)方數(shù)的符號(hào)，則可以對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算．(3)對(duì)于含有字母的化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示．跟蹤探究2.計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù))：探究三指數(shù)冪運(yùn)算中的條件求值[例3]已知aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2)＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[解析](1)將aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2)＝4兩邊平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)將a＋a－1＝14兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.延長(zhǎng)探究1.在本例條件不變的條件下，求a－a－1的值．解析：令a－a－1＝t，則兩邊平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq\r(3)，即a－a－1＝±8eq\r(3).2．在本例條件不變的條件下，求a2－a－2的值．解析：由上題可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq\r(3)×14＝±112eq\r(3).方法技巧解決條件求值的思路(1)在利用條件等式求值時(shí)，往往先將所求式子進(jìn)行有目的的變形，或先對(duì)條件式加以變形、溝通所求式子與條件等式的聯(lián)系，以便用整體代入法求值．(2)在利用整體代入的方法求值時(shí)，要留意完全平方公式的應(yīng)用．授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第37頁(yè)[課后小結(jié)]1.eq\r(n,am)＝aeq\f(m,n)(a>0)可以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化，但要留意根指數(shù)是分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母．2．在應(yīng)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的計(jì)算時(shí)，應(yīng)留意把根式統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式．當(dāng)所求根式含有多重根號(hào)時(shí)，應(yīng)由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出，然后再利用性質(zhì)運(yùn)算．3．對(duì)于已知數(shù)值條件的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，常利用“整體代入”的思想求解．[素養(yǎng)培優(yōu)]忽視運(yùn)算性質(zhì)的條件而致誤求的值．易錯(cuò)分析：原式＝1－eq