第八章相量法

求解電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，在數(shù)學(xué)上是求非齊次微分方程的特解.引用相量

法使求解微分方程特解的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)運(yùn)算,從兒大大簡化了正弦穩(wěn)

態(tài)響應(yīng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算.

所謂相量法，就是電壓、電流用相量表示,RLC元件用阻抗或?qū)Ъ{表示，畫出

電路的相量模型,利用KCL,KVL和歐姆定律的相量形式列寫出未知電壓、電流相

量的代數(shù)方程加以求解,因此，應(yīng)用相量法應(yīng)熟練掌握：（1）正弦信號的相量表

示；（2）KCL,KVL的相量表示；（3）RLC元件伏安關(guān)系式的相量形式；（4）復(fù)

數(shù)的運(yùn)算.這就是用相量分析電路的理論根據(jù).

8-1將以下復(fù)數(shù)化為極坐標(biāo)形式：

（1）々=-5-/；（2）尸2=工+乃；⑶B=2。+產(chǎn)；

⑷。⑸石="；⑹&=2.78+J9.20

解：（1）F>=5-7=aN°

"V5）2+（-5）2=5<2

0=arctan----二~135o

-5（因1在第三象限）

故：的極坐標(biāo)形式為q=5、：2/135。

（2）F=-4+J3="-4）2+31/arctan（3,--4）=5/143.13.（尸在第一

、少224人一

象限）

（3）Fa=20+;40=J2（h+402/irctan（40/20）=44.72/63.43.

⑷氏二10J=10/90o

（5）區(qū)=-3=3/180.

（6）/6=2.78+/9.20=32.782+9.2（）2Arctan（9.20/2.78）=9.61/73.19.

注：一個復(fù)數(shù)可以用代數(shù)型表示,也可以用極坐標(biāo)型或指數(shù)型表示,即

"二〃J3二/二的。，它們相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系為：

a

,-----0=arctan一

a-Ja2+(22a

■I21

和a-acosOa=asinQ

需要指出的,在轉(zhuǎn)換過程中要注意F在復(fù)平面上所在的象限,它關(guān)系到.的取值

及實(shí)部一和虛部」的正負(fù).

8-2將以下復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式：

(04=102—73.；(2)月=15/112.6.；QF=1.2Z152o;

(4)4=10/-90.;(5).=5/—180.;⑹勺=10/735..

解：(1)=10Z-73o=10Xcos(-73o)+jlOxsin(-73o)=2.92-

j9.56

(2)F=15Z112.60=15cos112.60+15sin112.60=-5.76+)3.85

(3)F=1.2Z152o=1.2cosl52o+1.2sinl52o=-1.06+JO.56

QF=10Z-90o=-jlO

(5)F=5/-180.=-5

(6)勺=10/—135.=10cos(-135o)+10sin(-135o)=-7.07-j-7.07

8—3假設(shè)10°/0.+AN600二175Nep.求人和平.

解；原式二L.+Acos60.+jasin60o=175cos(p+j-175sin(p根據(jù)復(fù)數(shù)相

等的定義,應(yīng)有實(shí)部和實(shí)部相等,即

Acos60o+100=175cos(p

虛部和虛部相等Asin60.175sin①

把以上兩式相加,得等式

A2+100A-20625=0

,-100±71002+4x20625[102.07

2[-202.069

解得

,Asin60

sin申二一

102.07x—

175

-----------2,:0.505

所以175

Q>30.34.

8-4求8-1題中的F2?用和E+

解：#x=(-4+力)x(2.78+j9,20)=5/143.13.*9.61/73.19.

=48.05/216.32.=48.05/-143.68.

-4+產(chǎn)-5/143.13.

=0.52/69.94.

2=2.78+J9.20—9.61/73.19.

8-5求8-2題中的小巧和J&

解.F+Fs=10/-73,+5/-180.

二lOcos(-73.)+jlOsin(-73.)-5

=-2.08-j9.56=9.78/-102.27.

FF=鋤一個二2/-73,+180.=2/107.

?55/-180.

86假設(shè)?力=-5cos(314/+60.)4h=10sin(3147+60.)4

i=4cos(314/+60.)A3

(1)寫出上述電流的相量,并繪出它們的相量圖；

(2)力與力和Z與力的相位差；

(3)繪出力的波形圖；

(4)假設(shè)將〈表達(dá)式中的負(fù)號去掉將意味著什么

(5)求力的周期7和頻率f

解：(1)(=-5cos(314/+60.)=5cos(314/+60,-180.)=5cos(3141-120.)

i=10sin(3147+60.)=10cos(3147—30.)

故r,J；和人的相量表達(dá)式為

戌二27ionA冷-史Z-30。4，戌=4=Z60o力

小乙Z-120。4戌-/2<2

1，

題解8-6圖

力①二中一中二-120。-(-30。)=-90o

'乙加I2

①二①一①二一120。一60.二一180oi3i3

(3)2.(t)的波形圖見題解圖1b)所示.

(4)假設(shè)將力(t)中的負(fù)號去掉，意味著力的初相位超前了180。.即

力的參考方向反向.

(5)[(t)的周期和頻率分別為

2兀2兀

T-----=-=0.02s=20ms

3314

1

----=50Hz0.02

注：定義兩個同頻電的正弦信號的相位差等于它們的初相之差，因此在

比擬相位差時，兩個正弦量必須滿足(1)同頻率；(2)同函數(shù)，即都是正弦

或都是余弦；(3)同符合，即都為正號或都為負(fù)號，才能進(jìn)行比擬.

8-7假設(shè)兩個同頻正弦電壓的相量分別為

U=50/304,〃=-100Z-150。匕其頻率f=100Hz.求:

(1)寫出u/,s的時域形式：(2)u1與出的相位差.

(1)u\3=50您cos(2兀餐+30.)=50V2cos(628*30o)V

Ui(￡)=/00'2cos(2兀-150.)=1002cos(628/-150.=

180.；V

=1Q0V2CCS(628/+30.)V

(2)由于〃=50/30K,U=-100/-150.V：100/30V

30300

故相位差為①二一.二.，即s與s同相位.

8—8:川⑺=22072cos(314力120。)V

(t]=220<2cos(3147+30.)V

(1)畫出它們的波形圖,求出它們的有效值、頻率/和周期T;

(2)寫出它們的相量和畫出其相量圖,求出它們的相位差；

解：(1)波形如題解8—8圖(a)所示.

%(1)2(上).+；

題解8—8圖

u=u=220Vu

(3)如果把電壓也的參考方向反向，重新答復(fù)(1),(2).

有效值為

頻率

314

二50必2兀

一二0.02s

周期2/50

(2)u和一的相量形式為

U=220/-120.VU=220Z30.V

I2

八一八120301

故相位差為5=QQ=.=50.

相量圖見題解圖(b)所示.

(3)口的參考方向反向,1(t)變?yōu)橐弧?(t),有效值、頻率和周期均不

變，一仿⑴的相量為吟二220Z30-180.=200Z-150.V

“12015030

故'/和"，的相位差為5二QQ=/C.)=.

波形圖和向量圖見題解圖(a)和(b).

8-9一段電路的電壓、電流為:

u=10sin(1037-20.)V

i=2COS(1037-50.)J

(1)畫出它們的波形圖和向量圖；(2)求出它們的相量差.

10sin(1032010cos(103110),一,

解：⑴"二.)=f.-故u和i的相量分別為

回段/T10，咫二Z-5O.A

<2<2

8-10圖示三個電壓源的電壓分別為:

W=22儼/2cos(①t+10JV,劭=220Aco$(①t-110JV,

u=220J2cos(?t+130.)匕

求：⑴3個電壓的和；（2）;（3）畫出它們的相量圖.

十

題解8-10圖

解：匕，％,%的相量為

U=220Z10.V

a

U=220/—110.V

b

U=220Z130.V

c

(1)應(yīng)用相量法有

或+或+220Z10,+220Z—110.+220Z130.

（0

即三個電壓的和％，）十心）十心）二

欣伏一U=ZZUZ1IJ.-ZZU/-11U.而

⑵

ab=220<3Z40.V

U二成f=220/-H0「220Z130.bcbc

二220c3/~80.V

（3）相量圖如題解8-10圖所示.

8T1圖⑸中電壓表讀數(shù)為匕：3"；Z：圖/）中的：：加

1如‘；：IO'。（電壓表的讀數(shù)為正弦電壓的有效值.）求圖中電壓〃

4

-

O￡

以

-

題8-11圖

解法一：

Q）圖：設(shè)回路中電流隹”0.,根據(jù)元件的電壓、電流相量關(guān)系，可得

題8Tl圖

1=Rr=y?z/o.=30/0.v

R

或="恒X7/90.=60/90.VLLL

那么總電壓火二+色二30+J60y

?人6026708

所以“S的有效值為。S=蔻02+=-v

（b）圖：設(shè)回路中電流相量匡〃。4由于

"=RI/O=15/0,V

R

港二"坦-1/90=80/90.V

LLL

兀件相量關(guān)系有效值關(guān)系相位關(guān)系相量圖

電阻R寸2，良

〃二不戌UR=RIR=4

RR

=-JX^.XZZ-90I=100Z-90oKccc

幾〃〃/r1580100.1520V

所以總電壓Us=BvlhU=+j萬-J

3220225

故"的有效值為監(jiān)=-門+=

解法二：利用相量圖求解.設(shè)電流隹/0.為參考相量,電阻電壓UR與

1同相位,電感電壓叫超前戌90.,電容電壓〃要滯后戌90.，總電壓〃與各元l

件電壓向量構(gòu)成一直角三角形.題解8-11圖(a)和(b)為充應(yīng)原圖(a)和

(b)的相量圖.由題解圖(a)可得

US=U+U2=0302+602=67.08V

由題解圖(b)可得

Us=4UR+(Uc-二<152+(100-80)2：258V

題解8—11圖

注：這一題的求解說明,R,L,C元件上電壓與電流之間的相量關(guān)系、有效

值和相位關(guān)系(如下表所示)是我

們分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的根底，必須很好地理解和掌握.

電感Lj

Ut=jXF0=0.+90o〃i

LLL

卜

電容C

u=~jx戌U=Xclc0=0.—90o

CCC(

8-12圖示正弦電流電路中，電流表的讀數(shù)分別為A：5A；4：2.A：

XA?25，.求：（1）圖中電流表A的讀數(shù)；（2）如果維持41的讀數(shù)不變,而把電

源的頻率提升一倍,再求電流表A的讀數(shù).

0—z—④T卜-o

S—@—

題8-12圖

解法一:

。并聯(lián)，設(shè)元件的電壓為

根據(jù)元件電壓、電流的相量關(guān)系，可得

我二曾二。二5Z0oJ

RRR

以二立」390。4二J204

JXL乂乙

戌二-U一二'Z900=25Z900=j25J

C~jXcXcJ

應(yīng)用KLC的相量形式,總電流相量為

恒戌+戌+戌=5-J20+j25=5+j5=5%；2Z45°A

RLC

故總電流表的讀數(shù)③■=/=Y=707

（2）設(shè)If二二1T二百二『二UZOo

5Z0-J位於

當(dāng)電流的頻率提升一倍后,由于"斤〃不變，所以〃4牟不

變,而‘乙二23'增大一倍，02①.減小一倍,因此,有

世上或］

-----~x20Z

i2?L2

=2><25/90.=50/90.A

是戌+戌+戌=5—J10+J50=5

所以

即，電流表的讀數(shù)

題解8—12圖

解法二：利用相量圖求解.設(shè)隹0/°.二專二4二啤為參考向量，根

據(jù)元件電壓、電流的相位關(guān)系知，耳和港同相位,與超前90.,號滯后幽0.,相量圖

如題解8-12圖所示，總電流龍與岑,丹和耳組成一個直角三角形.故電流表的讀

數(shù)為

④“”心,12A

即(1)@=2+(25-20'=7.07A

(2)@=<,52+(25-10)2=40.31A

注：從8—11題的解法二，可以體會到應(yīng)用向量圖分析電路的要點(diǎn)，那就是

首先要選好一個參考相量,這人參考相量的選擇,必須能方便地將電路中其它電

壓、電流相量，根據(jù)電路的具體結(jié)構(gòu)及參數(shù)特點(diǎn)逐一畫出,把所給的條件轉(zhuǎn)化成相

量圖中的幾何關(guān)系.最后根據(jù)相量圖中的相量關(guān)系，使問題得到解決.一般對串聯(lián)

電路,選電流作參考方向較方便,如8-11題.對并聯(lián)電路,那么選電壓作參考相量

較方便,如8-12題.有些問題通過相量圖分析將很直觀和簡便.

8-13對RL串聯(lián)電路作如下兩次測量,⑴端口加90V直流電壓(?=。)時,

50

輸入電流為3A；(2)端口力Uf=Hz的正弦電壓90V時,輸入電流為,求A和

A的值.

〔

丑

￡

S

題解8—13圖

解：由題意畫電路如題解8—13圖所示.

(1)當(dāng)“為90V直流電壓時，電感L看作短路，那么電阻

“二彳刁30="Q

⑵當(dāng)法為90V交流電壓時，設(shè)電流隹//..=1.8/0/，根據(jù)相量法,

U=/?N/是30X1.8+JXX1.8

t/=90=1.8XUO2+X2

SL

:90

X=.()2—302=40Q

,12

40

根據(jù)十2對100兀

8-14某一元件的電壓、電流(關(guān)聯(lián)方向)分別為下述4種情況時，它可能是

什么元件

u=10cos(102+45jrJu=10sin(100^)K(2)[i

i=2sin(102+135.)4-2cos(100^)J

Ju--lOcos2V45.)K

⑶]i=…i=2cos(314Z4

u二10cos(3142+

2cos(10135902cos(1045

解：(1)把電流變?yōu)橛嘞倚问接?，二?),

〃和/的相量

為

回山/45W

<2

U,

*=5/0..

在

即電壓、電流同相位，根據(jù)元件電壓、電流相位關(guān)系可知這是一個5.的電阻元

件.

_A_cos(10090)

(1)把電壓變?yōu)橛嘞倚问接小?一，.V

102

(2)3-0/45.隹一/0.A

〃和/的相量為V2"2

或L〃5一

下=5/45.=-1+j)=/?+

產(chǎn)<2,

，-2.的電阻和氣一正.的電感的串聯(lián)組合.

即這是一個

8-15電路由電壓源〃/0℃os(103加及發(fā)和片串聯(lián)組成.電感端電壓的有

效值為25V.求★值和電流的表達(dá)式.

解：由題意畫電路的相量模型如題解8-15圖(a)所示，相量圖如題解圖

(b)所示.由于

?100小

段=一/0.

$<2、

/二①L二10.3義0.025

25.

故電流的有效值為

1100...........................

)2—252=66.144F

2