基坑工程第4章支擋結構內力ExcavationEngineering

2§4.1文克勒地基模型§4.2文克勒地基上無限長梁的解答§4.3文克勒地基上豎直梁的計算§4.4支擋結構的彈性支點法§4.5平面連續(xù)介質有限元法第4章支擋結構內力基坑支護工程要達到的目的，是一個可開挖的、穩(wěn)定的系統，這取決于支擋結構強度（變形）與基坑穩(wěn)定（主要是土體的相關穩(wěn)定）這兩大方面。豎向支擋結構主要有排樁（鋼筋砼灌注樁、型鋼水泥土攪拌墻）、地下連續(xù)墻等形式，水平向的支撐則有鋼筋砼（鋼管）內支撐、錨桿（錨索）等形式。根據具體的支擋形式，基坑的穩(wěn)定性有抗傾覆穩(wěn)定性、抗隆起穩(wěn)定性嵌固穩(wěn)定性、抗?jié)B透穩(wěn)定性，以及基坑整休穩(wěn)定性等。因此，基坑工程的計算主要包括這兩方面，一是支擋結構內力與變形計算，二是基坑的相關穩(wěn)定性計算。概述擋土結構內力分析是基坑工程設計中的重要內容。隨著基坑工程的發(fā)展和計算技術的進步，擋土結構的內力分析方法，從早期的古典分析方法，到解析方法，再到解決復雜問題的數值分析方法，經歷了不同的發(fā)展階段。古典分析方法主要包括平衡法、等值梁法、塑性鉸法等。平衡法又稱自由端法，適用于底端自由支承的懸臂式擋土結構和單錨式擋土結構。等值梁法又稱假想鉸法，可以求解多支撐（錨桿）的擋土結構內力。塑性鉸法又稱太沙基法，該方法假定擋土結構在橫撐（除第一道撐）支點和開挖面處形成朔性鉸，從而解得擋土結構內力。解析方法是通過將擋土結構分成有限個區(qū)間，建立彈性微分方程，再根據邊界條件和連續(xù)條件，求解擋土結構內力和支撐軸力。常見的解析方法主要有山肩幫男法、彈性法和彈塑性法。早期的古典分析方法和解析方法由于在理論上存在各自的局限性而難以滿足復雜基坑工程的設計要求，因而現在已應用得很少。目前常用的分析方法主要有平面彈性地基梁法，又稱彈性支點法（規(guī)范推薦方法）和平面連續(xù)介質有限元方法。教材重點介紹了平面彈性地基梁法。地下結構計算模型：進行地基上梁和板分析時，必須解決基底壓力分布和沉降計算問題，它涉及土應力應變關系，表達這種關系模式稱為地下結構模型。土的應力應變特性：非線性、彈塑性、土的各向異性、結構性、流變性、剪脹性。影響土應力應變關系的應力條件：應力水平、應力路徑、應力歷史?！?.1文克勒地基模型Winkler地基模型假定地基是由許多獨立的且互不影響的彈簧組成，即假定地基任一點所受的壓力強度p只與該點的地基變形s成正比，而p不影響該點以外的變形。文克勒地基模型:解析解：指能以函數的形式解析地表達出來地解答。如文克勒地基上梁的解答。數值解：把梁或板微分方程離散化，最終得到一組線性代數方程，從而求得近似地數值解。有限單元法有限差分法─地基基床系數，表示產生單位變形所需的壓力強度（kN/m3）；

─地基上任一點所受的壓力強度（kPa）；

─作用點位置上的地基變形（m）。表達式Winkler地基模型：

柔性基礎

剛性基礎s1867年捷克工程師文克勒提出如下假設：地基上任一點所受的壓力強度p與該點的地基沉降量s成正比。把地基劃分許多豎直土柱，每條土柱可由一根彈簧代替。壓力與變形成正比?；追戳D形與豎向位移相似，如剛度大（基礎）受荷后基礎底面仍保持平面，基底反力圖形按直線規(guī)律變化。適用范圍：1）地基主要受力層為軟土；2）厚度不超過基礎底面寬度之半的薄壓縮層地基；3）塑性區(qū)較大時；4）支承在樁上的連續(xù)基礎，可以用彈簧體系代替群樁。優(yōu)點：形式簡單、參數少，應用比較廣泛。缺陷：該模型不能擴散應力和變形，不能傳遞剪力。關于基床系數k的確定：

根據式（4-1）的定義，基床系數k可以表示為：

k=p/s

由上式可知，基床系數k不是單純表征土的力學性質的計算指標，其值取決于許多復雜的因素，例如基底壓力的大小及分布、土的壓縮性、土層厚度、鄰近荷載影響等。因此，嚴格說來，在進行地基上梁或板的分析之前，基床系數的數值是難于準確預定的。

12基床系數k的大小取決于基底壓力大小及分布、土的壓縮性、土層厚度、鄰近荷載等等因素。物理意義：使土體產生單位位移所需的應力；（1）按基礎的預估沉降量確定

對于某個特定的地基和基礎條件，可用下式估算基床系數：

k=p0/sm

式中p0——基底平均附加壓力；sm——基礎的平均沉降量。

對于厚度為h的薄壓縮層地基，基底平均沉降sm=σzh/Es≈p0h/Es，代入上式得：

k=Es/h

式中

Es——土層的平均壓縮模量。

如薄壓縮層地基由若干分層組成，則上式可寫成

式中

hi、Esi——第i層土的厚度和壓縮模量。

14（2）按載荷試驗成果確定如地基壓縮層內土質均勻，可用在載荷試驗p-s曲線確定k。取對應于基底平均反力p及其對應的沉降值s。承壓板邊長30cm

太沙基建議的方法：1ch×1ch的方形載荷板砂土考慮了砂土的變形模量隨深度逐漸增大的影響。粘性土（3）其他方法（表格法等）基床系數k

值土的分類土的狀態(tài)kN/m3淤泥質粘土3.0～5.0淤泥質粉質粘土5.0～10粘土，粉質粘土軟塑可塑硬塑5.0～2020～4040～100砂土松散中密密實7.0～1515～2525～40礫石中密25～4017

基床系數k的取值對計算結果的影響：

在常用k

值范圍內（k＝0.1～50MN/m3

），對彎矩影響不大，但對地基沉降影響很大。18如果將圖（c）中的剛性基礎換成一根梁的話，就轉化為文克勒地基上梁的問題。作用在梁上的力有地基反力p，梁上的分布荷載q，以及作用在梁上的集中力F和彎矩M0

等?！?.2文克勒地基上無限長梁的解答根據材料力學，梁撓度ω的微分方程式為：21梁的位移——撓度和轉角：

直梁在對稱平面xy內彎曲時其原來的軸線AB將彎曲成平面曲線AC1B。梁的橫截面形心(即軸線AB上的點)在垂直于x軸方向的線位移w稱為撓度，橫截面對其原來位置的角位移q稱為橫截面的轉角。22

在圖示坐標系中，撓度w向下為正，向上為負；

順時針轉向的轉角

為正，逆時針轉向的轉角

為負。23

彎曲后梁的軸線——撓曲線為一平坦而光滑的曲線，它可以表達為w=f(x)，此式稱為撓曲線方程。由于梁變形后的橫截面仍與撓曲線保持垂直，故橫截面的轉角q也就是撓曲線在該相應點的切線與x軸之間的夾角，從而有轉角方程：梁的撓曲線的概念：24

直梁彎曲時的撓度和轉角這兩個位移不但與梁的彎曲變形程度(撓曲線曲率的大小)有關，也與支座約束的條件有關。圖a和圖b所示兩根梁，如果它們的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，顯然它們的變形程度(也就是撓曲線的曲率大小)相同，但兩根梁相應截面的撓度和轉角則明顯不同。(a)(b)25梁的撓曲線近似微分方程：

在材料力學中曾得到等直梁在線彈性范圍內純彎曲情況下中性層的曲率為這也就是位于中性層內的撓曲線的曲率的表達式。26

在橫力彎曲下，梁的橫截面上除彎矩M=M(x)外，還有剪力FS=FS(x)，剪力產生的剪切變形對梁的變形也會產生影響。但工程上常用的梁其跨長l往往大于橫截面高度h的10倍，此時剪力FS對梁的變形的影響可略去不計，而有27從幾何方面來看，平面曲線的曲率可寫作式中，等號右邊有正負號是因為曲率1/r為度量平面曲線(撓曲線)彎曲變形程度的非負值的量，而w"是q=w'沿x方向的變化率，是有正負的。28再注意到在圖示坐標系中，負彎矩對應于正值w"

，正彎矩對應于負值的w"

，故從上列兩式應有由于梁的撓曲線為一平坦的曲線，上式中的w

2與1相比可略去，于是得撓曲線近似微分方程一般記為因此，梁撓度ω的微分方程式為：294.2.1無限長梁的解答一、微分方程根據材料力學，梁撓度w的微分方程式為：由梁的微單元的靜力平衡條件∑M=0、∑V=0得到：

將上式連續(xù)對坐標x取兩次導數，便得：

對于沒有分布荷載作用（q=0）的梁段，上式成為：

上式是基礎梁的撓曲微分方程，對哪一種地基模型都適用。

采用文克勒地基模型時文克勒地基上梁的撓曲微分方程柔度特征值：λ單位為m-1,其倒數為特征長度。λ值與地基基床系數和梁的抗彎剛度有關，λ值越小，則基礎的相對剛度愈大。四階常系數線性常微分方程特征方程特征方程根

解得該方程的通解為：式中C１、C２、C３和C４為積分常數

當基礎是無限長梁時，在特定荷載情況下，可以獲得文克勒地基上無限長梁的解析解。對有限長梁，施加邊界力后視為無限長梁，采用無限長梁的公式計算疊加，可以得到有限長梁的解答。1.集中荷載作用下的解答(1)豎向集中力作用下邊界條件：當x→∞時，w→0。將此邊界條件代入上式，得C１=C２=0。梁的右半部，上式成為：

對稱性：在x=0處，dw/dx=0，代入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C，則上式成為

F0Ox4-8靜力平衡條件：再在O點處緊靠F0的左、右側把梁切開，則作用于O點左右兩側截面上的剪力均等于F0之半，且指向上方。根據符號規(guī)定，在右側截面有V=－F0/2，由此得C=F0λ/2kb

。F0+V符號規(guī)定F0Ox將上式對x依次取一階、二階和三階導數：

對F0左邊的截面（x＜0），需用x

的絕對值代入計算，計算結果為w和M時正負號不變，但q和V則取相反的符號。

（2）集中力偶作用下當x→∞時，w→0，C１=C２=0。

當x=0時w=0，所以C3=0。

M0M0/2在右側截面有M=M0/2，由此得C4=M0λ2/kb，于是

M0Ox求w對x的一、二和三階導數后，所得的式子歸納如下：

當計算截面位于M0的左邊時，上式中的x取絕對值，w和M取與計算結果相反的符號，而q和V的符號不變。

2、多個集中荷載作用下無限長梁計算集中力集中力偶把各荷載單獨作用時在該截面引起的效應疊加，即得到共同作用下的總效應：集中力集中力偶注意：1）在每次計算時，均需把坐標原點移到相應的集中荷載作用點處；正確利用對稱性；

2）Aa、Da、Cb等系數是根據相應λx值分別查表得到；

4.2.2有限長梁思路：把有限長梁轉化為無限長梁計算。

以無限長梁為基礎，利用疊加原理來求得滿足有限長梁兩自由邊界條件的解答。附加荷載FA、MA和FB

、MB稱為梁端邊界條件力。設外荷載在梁ⅡA、B兩截面上所產生的彎矩和剪力分別為Ma、Va及Mb、Vb，則

解上述方程組得：1、將有限長梁視為無限長梁，求解所有集中力和力偶作用下梁端A,B處的內力，并疊加為2、在無限長梁A、B處施加梁端邊界條件力MA，PA，MB，PB,使其產生的A,B處的內力為，-Ma，-Va，-Mb，-Vb；可求出梁端邊界條件力。3、在無限長梁上，計算梁上外荷載以及兩端邊界力共同作用下無限長梁上待求位置處的內力及位移。有限長梁的計算步驟：掌握有限長梁的計算3.柔度指數梁的柔度特征值

表征文克勒地基上梁的相對剛柔程度的一個無量綱值按ll值的大小將梁可劃分三種：計算模式：對于短梁，采用基底反力呈直線分布的簡化方法計算；對于有限長梁，應用疊加原理，轉化為無限長梁計算；對于長梁，如柔度較大的梁，可直接按無限長梁進行簡化計算；但如梁上的集中荷載與梁端的最小距離x<π/λ時，按有限長梁計算。在選擇計算方法時，除了按λl值劃分梁的類型外，還需兼顧外荷載的大小和作用點位置。

在實際工程中，基礎梁還存在一端為有限梁端，另一端為無限長，稱為半無限長梁。如圖4-1中的條形基礎抗彎剛度EI=4.3×103MPa·m4，長l=17m，底面寬b=2.5m，預估平均沉降sm=39.7mm。試計算基礎中點C處的撓度、彎矩和基底凈反力。例題4-1主要步驟：首先判斷梁的柔度；將有限長梁轉化為無限長梁計算；求得邊界條件力；將外荷載和梁端邊界條件力同時作用于無限長梁，求得待求截面處彎矩、撓度等結果。【解】（1）確定基床系數k設基底附加壓力p0約等于基底平均凈反力pj：

將單樁視為文克勒地基上的一根豎直梁，梁上作用水平荷載，文克勒地基則由水平向放置的若干彈簧構成，與長梁類似，通過建立豎向梁的撓曲微分方程，計算樁身的彎矩、剪力、撓曲等。§4.3文克勒地基上豎直梁的計算文克勒地基上豎直梁的水平反力（抗力）與變形的關系為：4.3.1水平抗力系數的比例系數m此式忽略樁土之間的摩阻力對水平抗力的影響以及鄰樁的影響。─作用在樁身的水平反力，或地基土的水平反力，（kN/m2）；

─水平反力系數，或水平基床系數，（kN/m3）；

─水變形，（m）；

地基水平抗力系數kx的分布和大小，將直接影響撓曲微分方程的求解和樁身截面內力的變化。各種計算理論假定的kx分布圖式不同。較為常用的有下列四種計算方法。

①常數法：假定沿深度為均勻分布即kx=k。這是我國學者張有齡在三十年代提出的方法。②

k法：假定在樁身第一撓曲零點以上按直線分布即kx=kz；以下段為常數，即kx=k。③m法：假定kx沿深度z成正比增加，即kh=mz。圖4-3（c）。④c值法：假定kx沿深度z按cz1/2的規(guī)律分布，即kx=cz1/2。

實測資料表明：m法（當樁的水平位移較大時）和c值法（當樁的水平位移較小時）比較接近實際。

實測資料表明，m法（當樁的水平位移較大時）和c值法（當樁的水平位移較小時）比較接近實際。在采用m法進行水平受荷樁設計計算時，水平抗力系數的比例系數m應按單樁水平靜載試驗確定，如無試驗資料，可參考表4-1取值。

上述四種方法各自假定的地基系數隨深度分布規(guī)律不同，其計算結果有所差異。目前應用較廣并列入設計規(guī)范中的是“m”法。按“m”法計算時，地基系數的比例系數m值可根據試驗實測決定，無實測數據時可參考下表中的數值選用；非巖石類土的比例系數m值序號土的分類m或m0（MN/m4）1流塑粘性土IL>1、淤泥3～52軟塑粘性土1>IL>0.5、粉砂5～103硬塑粘性土0.5>IL>0、細砂、中砂10～204堅硬、半堅硬粘性土IL<0、粗砂20～305礫砂、角礫、圓礫、碎石、卵石30～806密實粗砂夾卵石，密實漂卵石80～120基于“m”法彈性單排樁基樁內力和位移計算“m”法的基本假定是認為樁側土為文克爾離散線性彈簧，不考慮樁土之間的粘著力和摩阻力，樁作為彈性構件考慮，當樁受到水平外力作用后，樁土協調變形，任一深度h處所產生的樁側土水平抗力與該點水平位移x成正比，即px=kxx，且水平基床系數kx隨深度成線性增長，即kx=mh?；谶@一基本假定，進行樁的內力與位移的理論公式推導和計算。（1）撓曲微分方程4.3.2樁的撓曲微分方程

樁頂若與地面平齊（Z=0），且已知樁頂作用有水平荷載H0及彎矩M0，此時樁將發(fā)生彈性撓曲，樁側土將產生橫向抗力px，如圖1所示。從材料力學中知道，梁軸的撓度與梁上分布荷載q之間的關系式，即梁的撓曲微分方程為式中：E、I——梁的彈性模量及截面慣矩。因此可以得到圖1所示樁的撓曲微分方程為圖1樁身受力圖示

在公式推導和計算中，取圖1和圖2所示的坐標系統，對力和位移的符號作如下規(guī)定：橫向位移順x軸正方向為正值；轉角逆時針方向為正值；彎矩當左側纖維受拉時為正值；橫向力順x軸方向為正值，如下圖2所示。圖2力與位移的符號規(guī)定

式中：E、I——樁的彈性模量及截面慣矩；

px——樁側土抗力px=kxx，kx為水平基床系數；

b0——樁的計算寬度；

x——樁在深度z處的橫向位移（即樁的撓度），m。將上式整理可得：

或式中：

——樁-土變形系數，（1）（2）土反力計算寬度b0由試驗研究分析得出，樁在水平外力作用下，樁后的樁側土受到擠斥，除了樁身寬度內樁側土受擠壓外，在樁身寬度以外的一定范圍內的土體也受到一定程度的影響（空間受力）。且對不同截面形狀的樁，土受到的影響范圍大小也不相同。為了將空間受力簡化為平面受力，并綜合考慮樁的截面形狀，將樁的設計寬度b（直徑或邊長）換算成相當于實際工作條件下的影響寬度b0，又稱樁的土反力計算寬度。樁的土反力計算寬度可按以下方法確定：（1）方形截面樁：當實際寬度b>1m時，b0=b+1；當b≤1m時，bo

=1.5b+0.5。（2）圓形截面樁：當樁徑d>1m時，b0=0.9（d+1）；當d≤1m時，b0=0.9（1.5d+0.5）。

從上式中不難看出：樁的橫向位移與截面所在深度、樁的剛度（包括樁身材料和截面尺寸）以及樁周土的性質等有關，

是與樁土變形相關的系數。（1）

式（1）為四階線性變系數齊次常微分方程，在求解過程中注意運用材料力學中有關梁的撓度xz與轉角

z、彎矩Mz和剪力Qz之間的關系即

若地面處（Z=0）樁的水平位移、轉角、彎矩和剪力分別以x0、

0、M0和Q0表示，解方程組（1），得到樁身任一截面的轉角

Z、彎矩MZ，及剪力QZ的計算公式：

（2）（3）（4）（5）

A1、B1……C4、D4——16個無量綱系數，根據不同的無量綱深度可將其制成表格供查用（可參見《公橋基規(guī)》）。根據土抗力的基本假定，可求得樁側土抗力的計算公式：（6）px=kxx，kx=mz

以上求算樁的內力位移和土抗力的式（2）～（6）五個基本公式中均含有x0、

0、M0、Q0這四個參數。其中M0、Q0可由已知的樁頂受力情況確定，而另外兩個參數x0、

0則需根據樁底邊界條件確定。由于不同類型樁，其樁底邊界條件不同，現根據不同的邊界條件求解x0、

0如下。1．摩擦樁、支承樁x0、

0的計算

摩擦樁、支承樁在外荷作用下，樁底將產生位移xh、

h。當樁底產生轉角位移

h時，樁底的土抗力情況如右圖所示，與之相應的樁底彎矩值Mh為式中：A0——樁底面積；

I0——樁底面積對其重心軸的慣性矩；

C0——基底土的豎向地基系數，Co=m0h。

這是一個邊界條件，此外由于忽略樁與樁底土之間的摩阻力，所以認為Qh=0，這為另一個邊界條件。將分別代入式（4）、（5）中得又解以上聯立方程，并令，則得

根據分析，摩擦樁且ah>2.5或支承樁且ah≥3.5時，Mh幾乎為零，且此時Kh對、……等影響極小，可以認為Kh=0，則上式可簡化為均為

Z的函數，已根據

Z值制成表格，可參考《公橋基規(guī)》。(7)2.嵌巖樁、的計算

如果樁底嵌固于未風化巖層內有足夠的深度，可根據樁底xh、

h等于零這兩個邊界條件，解得也都是

Z的函數，根據

Z值制成表格，可查閱有關規(guī)范。(8)（二）計算樁身內力及位移的無量綱法

按上述方法，用基本公式（2）、（3）、（4）、（5）計算xz、

z、Mz、Qz時，計算工作量相當繁重。若樁的支承條件及入土深度符合一定要求，可采用無量綱法進行計算，即直接由已知的M0、Q0求解。1．的摩擦樁及的支承樁將式（7）代入式（2）得式中：（9a）

同理，將式（7）分別代入式（3）、（4）、（4-5）再經整理歸納即可得（9b）（9c）（9d）2．

h>2.5的嵌巖樁將式(8)分別代入式(2)、(3)、(4)、(5)再經整理得（10a）（10b）（10c）（10d）（三）樁身最大彎矩位置ZMmax和最大彎矩Mmax的確定

目的：用于檢驗樁的截面強度和配筋計算（關于配筋的具體計算方法，見結構設計原理教材內容）。

一般方法：要找出彎矩最大的截面所在的位置及相應的最大彎矩Mmax值。一般可將各深度Z處的Mz值求出后繪制Z－Mz圖，即可從圖中求得。

數解法

：

在最大彎矩截面處，其剪力Q等于零，因此Qz=0處的截面即為最大彎矩所在的位置。（四）樁頂位移的計算公式

右圖為置于非巖石地基中的樁，已知樁露出地面長l0，若樁頂為自由，其上作用了Q及M，頂端的位移可應用疊加原理計算。設樁頂的水平位移為x1，它是由：樁在地面處的水平位移x0、地面處轉角

0所引起在樁頂的位移

0l0、樁露出地面段作為懸臂梁樁頂在水平力Q作用下產生的水平位移xQ以及在M作用下產生的水平位移xm組成，即樁頂位移計算

樁頂轉角

1則由：地面處的轉角

0，樁頂在水平力Q作用下引起的轉角

Q及彎矩作用下所引起的轉角

m組成即經計算和經整理歸納，可得到如下計算結果：（五）單樁、單排樁計算步聚及驗算要求

綜上所述，對單樁及單排樁基礎的設計計算，首先應根據上部結構的類型，荷載性質與大小，地質與水文資料，施工條件等情況，初步擬定出樁的直徑、承臺位置、樁的根數及排列等，然后進行如下計算：

1．計算各樁樁頂所承受的荷載Pi、Qi、Mi；

2．確定樁在最大沖刷線下的入土深度（樁長的確定）；3．驗算單樁軸向承載力；4．確定樁的計算寬度b1；5．計算樁—土變形系數

值；6．計算地面處樁截面的作用力Q0、M0，并驗算樁在地面或最大沖刷線處的橫向位移x0不大于6mm。然后求算樁身各截面的內力，進行樁身配筋及樁身截面強度和穩(wěn)定性驗算；7．計算樁頂位移和墩臺頂位移，并進行驗算；8．彈性樁樁側最大土抗力是否驗算，目前無一致意見，現行樁基設計規(guī)范對此也未作要求。將單位寬度的擋土結構（鋼筋砼灌注樁、型鋼水泥土攪拌墻、地下連續(xù)墻等）作為豎向放置的彈性地基梁，支撐和錨桿簡化為彈簧支座，基坑內開挖面以下土體采用彈簧模擬，擋土結構外側作用已知的水壓力和土壓力，這種計算支擋結構內力的方法，稱為彈性支點法?！?.4支擋結構的彈性支點法4.4.1繞曲微分方程取計算寬度為b0的支護結構（對于樁來說，就是一根樁的土反力計算寬度）作為分析對象，可列出豎向彈性地基梁的撓曲微分方程。對于懸臂式支擋結構，其撓曲微分方程如下：對于有支點處擋土結構的撓曲微分方程為支撐與描桿作用點處，其撓曲微分方程如下：─z深度處的主動土壓力，（kN/m2）；

─水平荷載計算寬度，（m）；

─錨桿或內支撐對支擋結構計算寬度內的彈性支點水平反力，（kN）；

考慮土體的分層（m值不同）及水平支撐的存在等實際情況，需沿著豎向將支護體劃分成若干單元，列出每個單元的上述微分方程，一般可采用桿系有限元方法求解。劃分單元時應考慮土層的分布、地下水位、支撐的位置、基坑的開挖深度等因素。分析多道支撐分層開挖時，根據基坑開挖、支撐情況劃分施工工況，按照工況的順序進行支護結構的變形和內力計算，計算中需考慮各工況下邊界條件、荷載形式的變化，并取