2025年高考數(shù)學模擬檢測卷（立體幾何突破應用題試題）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面π：x＋2y＋3z＋1＝0的距離為（）A.1B.2C.3D.42.已知直線l：x＝1，平面α：x＋y＋z＝1，則直線l與平面α的位置關系是（）A.平行B.相交，但不垂直C.垂直D.直線在平面內(nèi)3.如果一個三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，側面與底面所成的二面角均為60°，那么這個三棱錐的高為（）A.1B.2C.√3D.2√34.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AD＝3，A1A＝4，則點A1到平面BC1D的距離為（）A.2B.√5C.√7D.35.已知點P（1，2，3）和點Q（3，2，1），則向量PQ與z軸所成的角的余弦值為（）A.1/2B.1/√2C.1/√3D.16.如果一個四棱錐的底面是邊長為1的正方形，側面都是等邊三角形，那么這個四棱錐的體積為（）A.√2/3B.√3/3C.1/3D.2/37.已知平面α和平面β相交于直線l，且平面α的法向量為（1，0，1），平面β的法向量為（0，1，1），則直線l的斜率為（）A.-1B.1C.√2D.-√28.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A到平面ABB1A1的距離與點A到平面BCC1B1的距離之比為（）A.1：1B.1：2C.2：1D.1：√29.已知點A（1，0，0），點B（0，1，0），點C（0，0，1），則向量AB與向量AC所成的角的余弦值為（）A.1/3B.1/2C.2/3D.√3/210.如果一個三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，側面與底面所成的二面角均為60°，那么這個三棱錐的表面積為（）A.6B.6√3C.12D.12√311.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到直線l：x＝1，y＝2＋t，z＝3－t的距離為（）A.1B.√2C.√3D.212.已知平面α和平面β相交于直線l，且平面α的法向量為（1，1，0），平面β的法向量為（1，0，1），則直線l與z軸所成的角的正弦值為（）A.1/√3B.1/√2C.1/√6D.1/√5二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在答題卡相應位置。）13.在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，則二面角P-BC-A的余弦值為______。14.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AD＝3，A1A＝4，則點A1到直線BC的距離為______。15.已知點A（1，2，3），點B（3，2，1），點C（2，1，2），則向量AB與向量AC所成的角的正弦值為______。16.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A到平面ABB1A1的距離與點A到平面BCC1B1的距離之比為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，E是PC的中點。求證：平面ABE⊥平面PBC。18.（12分）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AD＝3，A1A＝4，點E是棱CC1的中點，點F是棱BB1的中點。求三棱錐A-EBF的體積。19.（12分）已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，點D在棱PC上，且CD＝1/2PC。求二面角D-BC-A的余弦值。20.（12分）在空間直角坐標系中，點A（1，2，3），點B（3，2，1），點C（2，1，2），求過點A且與向量AB、向量AC都垂直的平面方程。21.（12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E在棱BB1上，點F在棱CC1上，且EF⊥平面ABB1A1。若EF＝√2，求正方體的棱長。22.（10分）已知點P（1，2，3）在平面α：x＋y＋z＝1上，點Q（3，2，1）在平面β：x－y＋z＝1上，求點P到直線PQ的距離。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：根據(jù)點到平面的距離公式，點A（1，2，3）到平面π：x＋2y＋3z＋1＝0的距離為d＝|1×1＋2×2＋3×3＋1|/√(1^2＋2^2＋3^2)＝|1＋4＋9＋1|/√14＝15/√14≈3。所以選C。2.答案：C解析：直線l：x＝1是垂直于x軸的直線，而平面α：x＋y＋z＝1的法向量為（1，1，1），由于直線l的方向向量（0，0，1）與平面α的法向量（1，1，1）的點積為0，說明直線l與平面α的法向量垂直，因此直線l與平面α垂直。所以選C。3.答案：A解析：設三棱錐的高為h，由于側面與底面所成的二面角均為60°，所以側面與底面的夾角為60°，即側面上的高h'＝h。在三棱錐的底面正三角形中，高為√3/2×邊長＝√3。由于側面與底面所成的二面角為60°，所以側面上的高h'＝h＝√3×sin60°＝√3×√3/2＝3/2≈1。所以選A。4.答案：B解析：點A1（0，2，4）到平面BC1D的距離，可以通過向量法計算。設平面BC1D的法向量為n，則n＝BC1×BD＝（1，0，-2）×（-2，1，0）＝（0，4，2）。點A1到平面BC1D的距離d＝|n·A1|/|n|＝|(0，4，2)·(0，2，4)|/√(0^2＋4^2＋2^2)＝|0×0＋4×2＋2×4|/√20＝16/√20＝4/√5＝√5。所以選B。5.答案：C解析：向量PQ＝（3－1，2－2，1－3）＝（2，0，-2）。向量PQ與z軸所成的角的余弦值為cosθ＝|PQ·k|/|PQ|/|k|＝|(2，0，-2)·(0，0，1)|/√(2^2＋0^2＋(-2)^2)/1＝|-2|/2＝1/√3。所以選C。6.答案：B解析：四棱錐的底面是邊長為1的正方形，側面是等邊三角形，高為√(邊長^2－(√3/2邊長)^2)＝√(1－(√3/2)^2)＝√(1－3/4)＝√(1/4)＝1/2。體積V＝1/3×底面積×高＝1/3×1×1/2＝√3/3。所以選B。7.答案：A解析：平面α的法向量為（1，0，1），平面β的法向量為（0，1，1），兩平面的交線l的方向向量為（1，0，1）×（0，1，1）＝（-1，-1，1）。直線l的斜率為-1。所以選A。8.答案：A解析：點A到平面ABB1A1的距離為A到AB的距離，即AD/2＝3/2。點A到平面BCC1B1的距離為A到BC的距離，即AD/2＝3/2。所以距離之比為1：1。所以選A。9.答案：B解析：向量AB＝（0，1，0），向量AC＝（-1，1，1）。兩向量的點積為（0，1，0）·（-1，1，1）＝0×(-1)＋1×1＋0×1＝1。兩向量的模分別為√(0^2＋1^2＋0^2)＝1，√((-1)^2＋1^2＋1^2)＝√3。所以余弦值為1/(1×√3)＝1/√3。所以選B。10.答案：A解析：底面正三角形的面積為(√3/4)×2^2＝√3。側面與底面所成的二面角為60°，側面上的高為2×sin60°＝√3。表面積為√3×3＝3√3。所以選A。11.答案：B解析：點A（1，2，3）到直線l：x＝1，y＝2＋t，z＝3－t的距離為|向量AA1|，其中A1在直線上，為（1，2＋t，3－t）。向量AA1＝（0，t－2，t－3）。模長為√((t－2)^2＋(t－3)^2)＝√(2t^2－10t＋13)＝√2。所以選B。12.答案：A解析：兩平面的法向量為（1，1，0）和（1，0，1），它們的叉積為（1，1，0）×（1，0，1）＝（1，-1，-1）。直線l的方向向量為（1，-1，-1），z軸的方向向量為（0，0，1）。兩向量的點積為（1，-1，-1）·（0，0，1）＝-1。兩向量的模分別為√(1^2＋(-1)^2＋(-1)^2)＝√3，√(0^2＋0^2＋1^2)＝1。所以正弦值為-1/(√3×1)＝-1/√3。所以選A。二、填空題答案及解析13.答案：√3/2解析：設PC的中點為E，則PE⊥BC?！螾BC＝∠PAC＝60°，所以二面角P-BC-A的平面角為∠PEA＝60°。余弦值為cos60°＝√3/2。14.答案：√5解析：點A1（0，2，4）到直線BC的距離，可以通過向量法計算。設平面BCD的法向量為n，則n＝BC×BD＝（1，0，-2）×（-2，1，0）＝（0，4，2）。點A1到平面BCD的距離d＝|n·A1|/|n|＝|(0，4，2)·(0，2，4)|/√(0^2＋4^2＋2^2)＝|0×0＋4×2＋2×4|/√20＝16/√20＝4/√5＝√5。15.答案：1/2解析：向量AB＝（2，0，-2），向量AC＝（1，-1，-1）。兩向量的點積為（2，0，-2）·（1，-1，-1）＝2×1＋0×(-1)＋(-2)×(-1)＝4。兩向量的模分別為√(2^2＋0^2＋(-2)^2)＝2√2，√(1^2＋(-1)^2＋(-1)^2)＝√3。所以余弦值為4/(2√2×√3)＝1/(√6)＝√6/6≈0.408。所以選1/2。16.答案：1：1解析：點A到平面ABB1A1的距離為A到AB的距離，即AD/2＝3/2。點A到平面BCC1B1的距離為A到BC的距離，即AD/2＝3/2。所以距離之比為1：1。三、解答題答案及解析17.證明：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，E是PC的中點。由于PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，PA⊥CD，PA⊥AD。連接AE，由于E是PC的中點，所以AE平行于BC，且AE＝1/2PC。又因為AB⊥BC，所以平面ABE⊥平面PBC。所以平面ABE⊥平面PBC。18.解析：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AD＝3，A1A＝4，點E是棱CC1的中點，點F是棱BB1的中點。三棱錐A-EBF的體積V＝1/3×底面積×高。底面EBF是△EBF，其中EF＝√(1^2＋2^2)＝√5，EB＝√(1^2＋2^2)＝√5，F(xiàn)B＝2。高為A到平面EBF的距離，即A1到平面EBF的距離。設平面EBF的法向量為n，則n＝EF×FB＝（1，2，0）×（0，2，-2）＝(-4，0，2)。點A1（0，2，4）到平面EBF的距離d＝|n·A1|/|n|＝|(-4，0，2)·(0，2，4)|/√((-4)^2＋0^2＋2^2)＝|-8|/√20＝8/√5＝4√5/5。所以體積V＝1/3×(1/2×√5×√5)×(4√5/5)＝1/3×(1/2×5)×(4√5/5)＝4√5/6。19.解析：設PC＝x，則CD＝x/2，PD＝x/2。由于PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC。在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC＝(PA^2＋AC^2－PC^2)/(2×PA×AC)＝(4＋4－x^2)/(2×2×2)＝8－x^2/16。在△PAC中，由正弦定理得sin∠PAC＝(AB×PC)/AC＝2×2/2＝2。二面角D-BC-A的平面角為∠PDC，cos∠PDC＝(PD^2＋CD^2－PC^2)/(2×PD×CD)＝(x^2/4＋x^2/4－x^2)/(2×x/2×x/2)＝0。所以二面角D-BC-A的余弦值為0。20.解析：過點A且與向量AB、向量AC都垂直的平面方程為n·(x－1，y－2，z－3)＝0，其中n＝AB×AC＝（2，0，-2）×（1，-1，-1）＝（2，2，2）。所以平面方程為2(x－1)＋2(y－2)＋2(z－3)＝0，即x＋y＋z＝6。所以平面方程為x＋y＋z＝6。21.解析：設正方體的棱長為a，點E在棱BB1上，點F在棱CC1上，且EF⊥平面ABB1A1。若EF＝√2。由于EF⊥平面ABB1A1，所以EF⊥BE，EF⊥AE。設BE＝x，則CF＝x，EF＝√2。在△BEF中，由勾股