氣體動理論7.1氣體系統(tǒng)熱運動的微觀特征7.2理想氣體的壓強7.3溫度的微觀解釋7.4能量均分原理7.5麥克斯韋速率分布定律7.6玻耳茲曼分布律7.7氣體分子的平均自由程7.1氣體系統(tǒng)熱運動的微觀特征氣體(理想氣體)一、研究對象二、研究方法

從物質的微觀模型出發(fā)，應用力學規(guī)律和統(tǒng)計方法研究大量粒子熱運動規(guī)律的微觀理論,揭示粒子的微觀運動與宏觀熱現(xiàn)象之間的深刻聯(lián)系。揭示宏觀熱現(xiàn)象的微觀本質。分子運動的基本觀點:1.宏觀物體由大量粒子(分子、原子等)組成。2.分子在永不停息地作無序熱運動。(布朗運動)不同結構的分子其尺度不一樣。例如標準狀態(tài)氧分子直徑阿伏伽德羅常數(shù)1mol物質含有的分子個數(shù)。

分子有單原子分子、雙原子分子、多原子分子和千萬個原子構成的高分子。3.分子間存在相互作用力。分子力與分子間距離的關系f(r)r0~10-9mr/mo合力引力斥力當時,

當r<r0

時,分子力主要表現(xiàn)為斥力；當r>r0

時,分子力主要表現(xiàn)為引力。r0—平衡位置

一切宏觀物體都是由大量分子組成的，分子都在永不停息地作無序熱運動，分子之間有相互作用的分子力。三、氣體分子運動的規(guī)律2.氣體分子間的相互碰撞是非常頻繁的。大量分子都在不停地作無規(guī)熱運動,在常溫常壓情況下,一個氣體分子在1s的時間里大約經(jīng)歷10億次碰撞,每個分子的運動狀態(tài)都有一定的偶然性。1.氣體中分子間的距離相對較大，分子之間、分子與器壁之間產(chǎn)生瞬間碰撞，分子在兩次碰撞之間的運動可以看作是在慣性支配下的自由運動。分子運動是無序的。

通過對大量分子運動狀態(tài)的觀察，發(fā)現(xiàn)有一定的規(guī)律性。例如，在平衡態(tài)時，容器內各處的溫度、密度和壓強都是均勻分布。這表明，在大量的偶然、無序的分子運動中包含一種規(guī)律性，稱為統(tǒng)計規(guī)律性。四、氣體分子熱運動滿足的統(tǒng)計規(guī)律

1.在忽略重力和其他外力作用的條件下，每一個分子在容器中任意位置出現(xiàn)的概率是相等的。3.速度分量vx、v

y、vz平方的平均平衡狀態(tài)時，氣體分子沿各方向運動的概率相等，則2.分子速度分量的統(tǒng)計平均值氣體在平衡狀態(tài)時，分子沿各方向運動的概率相等，故1.分子線度與分子間距相比較可忽略,分子被看做質點。2.由于分子力的作用距離很短，可以認為氣體分子之間除了分子碰撞的瞬間外,其相互作用力可忽略不計。3.氣體分子在運動中遵守經(jīng)典力學規(guī)律，假設碰撞為彈性碰撞。

按照這三條假設，可以把理想氣體看成一個質點系，這些看成質點的理想氣體分子除了碰撞的瞬間外,都在做自由的慣性運動。也就是說，理想氣體分子好像是一個沒有大小，并且除碰撞的瞬間外沒有相互作用的彈性球。一、理想氣體的微觀模型7.2理想氣體的壓強二、理想氣體的壓強公式容器器壁單位面積上所受的正壓力。壓強

P宏觀量

微觀上看，氣體作無規(guī)熱運動，氣體的壓強等于大量分子在單位時間內施加在單位面積器壁上的平均沖量。如何求得F?如何求得

?為了討論方便，我們把N個分子分為若干組，每組分子具有相同的速度。設第i組分子的速度為：第i

組分子的分子數(shù)密度為：一定質量的處于平衡態(tài)的某種理想氣體，被封閉在體積為V的任意形狀的容器中，氣體分子的質量為

，容器內分子總數(shù)為N，分子數(shù)密度為。任意一個分子速度：第i組分子的分子數(shù)為?Nix設器壁上面積元dA法向為x軸,速度為的分子碰撞器壁一次所受的沖量等于它的動量的增量：由牛頓第三定律，受分子碰撞一次,器壁所受的沖量：在dt時間內與dA碰撞的分子數(shù)（即斜柱體內的分子）：這些分子在dt時間內對dA的總沖量為：所有分子在dt時間內對dA的總沖量為：氣體對器壁的宏觀壓強為：則定義:分子平均平動動能3.顯示了宏觀量與微觀量的關系，是力學原理與統(tǒng)計方法相結合得出的統(tǒng)計規(guī)律。2.壓強是大量分子對時間、對面積的統(tǒng)計平均結果。討論

統(tǒng)計關系式宏觀可測量量微觀量的統(tǒng)計平均值1.氣體對容器器壁的壓強正比于氣體的分子數(shù)密度n和氣體分子的平均平動動能。例1

體積V=10-3m3的容器中貯有理想氣體，其分子總數(shù)N=1023，每個分子質量,分子方均根速率。求：（1）分子總平均平動動能。（2）氣體的壓強。解（1）（2）理想氣體物態(tài)方程若分子總數(shù)為N玻爾茲曼常數(shù)則7.3溫度的微觀解釋所以（1）處于平衡態(tài)的理想氣體，分子的平均平動動能與氣體的溫度成正比。同一溫度下,各種氣體分子平均平動動能均相等。比較與壓強公式得(3)溫度是統(tǒng)計概念,是大量分子熱運動的集體表現(xiàn)。對于少量的分子，溫度的概念就失去了意義。說明(2)溫度的本質是物體內部分子熱運動劇烈程度的標志。是分子熱運動平均平動動能的度量。例1.容積V的容器中裝有N1個氧分子和N2個氮分子的混合氣體，混合氣體的壓強P，求：（1）分子的平均平動動能；（2）混合氣體的溫度。解：（1）由壓強公式（2）自由度（i）

:確定一個物體在空間的位置所必需的獨立坐標數(shù)目。7.4能量均分原理一、自由度的概念i=3i=2i=1t平動自由度；r轉動自由度。v

振動自由度。

自由度數(shù)目1.單原子分子(看作質點)t=3.i=3

既有平動，又有轉動。平動可看作質心的平動。

兩個被看作質點的原子被一質量不計的剛性桿相連。xyzμ1μ2C2.剛性雙單原子分子t=3,r=2，i=5。3.多原子分子六個自由度水蒸氣、甲烷等t=3,r=3，i=6。三個或三個以上原子構成的分子。剛性分子自由度633多原子分子523雙原子分子303單原子分子總i轉動r平動t分子自由度分子的平均平動動能：二、能量按自由度均分定理能量均分定理在溫度為T的平衡態(tài)下，物質分子的每個自由度都具有相同的平均動能，其值為。自由度為i的分子的平均動能：單原子分子多原子分子雙原子分子理想氣體的內能：分子動能和分子內原子間的勢能之和。

1mol

理想氣體的內能

νmol理想氣體的內能三、理想氣體的內能

理想氣體的內能只是溫度的函數(shù)，與熱力學溫度成正比。例1體積為V的鋼瓶中盛有氧氣，使用一段時間后，測瓶中氣體壓強為P。求:

此時氧氣的內能。

解:內能利用理想氣體物態(tài)方程得氧氣的內能例2在容積為V的容器內盛有質量不等的兩種單原子分子理想氣體，設處于平衡狀態(tài)時，它們的內能相等，且均為E，求混合氣體的壓強。

解:設兩種氣體的物質的量分別為和

混合氣體物態(tài)方程兩種氣體的內能分別聯(lián)立可得一、速率分布函數(shù)在平衡態(tài)下，0℃空氣分子數(shù)按速率的分布100200300400500600700m/s5%10%15%20%25%0每一速率區(qū)間內分子數(shù)取決于速率和速率區(qū)間間隔大小。7.5麥克斯韋速率分布定律1、速率分布函數(shù)

平衡態(tài)下，在v~v

+dv

區(qū)間內分子數(shù)dN占總分子數(shù)N比率為，由于和速率區(qū)間dv有關，dv越大，則越大，通常用來反映分子的速率分布，它與所取區(qū)間無關，而僅與速率v有關。我們把這個比值定義為平衡態(tài)下的速率分布函數(shù)物理意義：在速率v附近單位速率間隔內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。2、速率分布曲線Ovf(v)f(v)以v為橫軸，f(v)為縱軸，作出的分布函數(shù)f(v)的曲線，稱為分布曲線。它反映了平衡態(tài)下氣體分子數(shù)按速率的分布規(guī)律。窄條面積：總面積：歸一化條件：部分面積：Ovf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v2速率分布曲線下的面積

v~v

+dv區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比率v1~v

2區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比率Ovf(v)dvvf(v)f(v)dv二、速率分布函數(shù)的應用利用速率分布函數(shù)可求出：1.v~v

+dv區(qū)間的分子數(shù)v~v

+dv區(qū)間內分子數(shù)：dN總分子數(shù)：N3.v~v

+dv區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比率2.v1~v

2區(qū)間的分子數(shù)4.v1~v

2區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比率5.v1~v

2區(qū)間分子的平均速率

v1~v

2區(qū)間內分子平均速率：

v1~v

2內任取

v~v

+dv

區(qū)間，其中。該區(qū)間內的分子個數(shù)因為dv很小，可近似認為dN個分子的速率相等，均為v，于是dN個分子的速率之和為：

v1~v

2內的分子速率之和為：

v1~v

2內的分子總數(shù)：

v1~v

2內的分子的平均速率6.v1~v

2區(qū)間分子的方均速率

v1~v

2區(qū)間內分子方均速率：

v1~v

2內任取

v~v

+dv

區(qū)間，其中。該區(qū)間內的分子個數(shù)因為dv很小，可近似認為dN個分子的速率相等，均為v，于是dN個分子的速率的平方的和為：

v1~v

2內的分子速率的平方的和為：

v1~v

2內的分子總數(shù)：

v1~v

2內的分子的方均速率7.分子的平均速率8.分子的方均速率9.最概然速率vp（1）定義：速率分布函數(shù)曲線（f(v)~v)曲線峰值所對應的速率。（2）意義：在vp附近單位速率區(qū)間內的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)的比率最大。分子的平均速率，方均根速率和最概然速率

vp統(tǒng)稱為速率分布的特征速率。Ovf(v)例1有N個粒子，其速率分布曲線如下圖，則求常數(shù)a等于:()O解：(A)(B)速率分布函數(shù)的歸一化條件為：即速率分布曲線下的總面積等于1，即(C)(D)答案為（C）例2有N個粒子，其速率分布函數(shù)為：(1)作速率分布曲線并求常數(shù)a；(2)求速率區(qū)間在(

，

）內分子的平均速率；(3)求速率區(qū)間在(0

，

）之間的分子數(shù)解(1)由歸一化條件，得O(2)(3)三、麥克斯韋速率分布定律1.麥克斯韋速率分布定律其中，m為分子質量，

T為溫度，k=1.38×10-23J/K是玻耳茲曼常量。早在1859年，麥克斯韋應用統(tǒng)計概念和力學原理導出在平衡態(tài)下氣體分子速率分布函數(shù)的具體形式2.麥克斯韋速率分布曲線的性質氣體分子速率可取的一切值，但v

很小和v很大的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比率大。

Ovf(v)vp3.三個統(tǒng)計平均值(1)平均速率

(2)方均根速率

利用公式

(3)最概然速率,

vp在vp時,分布函數(shù)應有極大值。利用公式

三種統(tǒng)計速率比較f(v

)vf(vP)研究碰撞討論分布計算平均平動動能O同溫度下不同氣體速率分布N2分子在不同溫度下的速率分布1.

vp

與溫度

T的關系:2.

vp

與分子質量

的關系:討論氫氣分子氧氣分子例3計算在27oC時，氫氣和氧氣分子的方均根速率。解例4如圖示兩條曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線，從圖上數(shù)據(jù)求出兩氣體最概然速率.2000解:49507.6玻耳茲曼分布律一定量的氣體處于平衡態(tài)時，若不計外力場的作用，其分子將均勻分布，分子數(shù)密度和溫度都是處處相等的。當考慮外力場對氣體作用時，其分子數(shù)密度和壓強將不再是均勻分布了。1877年玻耳茲曼求出了在外力場中氣體分子按能量分布的規(guī)律——玻耳茲曼分布律。51一、玻耳茲曼分布律由麥克斯韋速率分布律式中因子指數(shù)是一個與分子平動動能有關的量：故麥克斯韋速率分布律可以表示為52麥克斯韋速率分布律

玻耳茲曼將分布推廣到分子在外力場（如重力場）中的情況，認為分子總能量為動能勢能

平衡態(tài)下溫度為T的氣體中，位置在x~x+dx，y~y+dy，

z~z+dz

中，且速度在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz區(qū)間分子數(shù)為53式中n0表示勢能為零處單位體積內含有各種速度的分子數(shù)。

上式反映了氣體分子按能量的分布規(guī)律，稱為玻耳茲曼能量分布律。54二、重力場中粒子按高度的分布在重力場中，分子受到兩種作用：一是分子熱運動，使得分子趨于均勻分布；二是重力作用，使得分子趨于向地面降落。當這兩種作用共同存在而達到平衡時，氣體分子在空間形成一種非均勻穩(wěn)定分布，氣體分子數(shù)密度和壓強都將隨高度而減小。55

在x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz

區(qū)間中的分子數(shù)為分子按勢能分布規(guī)律括號內積分為1，所以56兩邊與dV=dxdydz相比，得勢能為處單位體積內含有各種速度的分子數(shù)—分子按勢能的分布律。在重力場中，地球表面附近分子的勢能為57分子在重力場中按勢能分布為式中n0、n分別為h=0和h=h處分子數(shù)密度。說明

（1）分子數(shù)密度n隨高度的增大按照指數(shù)減小。

（3）氣體溫度越高（分子熱運動劇烈），n就減小的越緩慢。

（2）分子質量

越大（重力的作用顯著），n就減小的越迅速。58三、氣壓公式將地球表面的大氣看作理想氣體，有代入式子，得氣壓公式結論：大氣壓強隨高度增加按照指數(shù)減小。氣體分子平均速率空氣分子在270C時的平均速率為476m/s.矛盾克勞修斯指出：氣體分子的速度雖然很大，但前進中要與其他分子作頻繁的碰撞，每碰一次，分子運動方向就發(fā)生改變，所走的路程非常曲折。分子運動論佯謬:在常溫下，空氣分子速率400~500米/秒，如果在講臺上打開一瓶香水，后排的同學立刻就可聞到香水味。但實際需要1~2分鐘才能聞到，擴散與分子速率102m/s矛盾.7.7氣體分子的平均自由程

單位時間內分子與其他分子碰撞的平均次數(shù)。一、分子的平均碰撞頻率dA

研究分子碰撞規(guī)律時，可把氣體分子看作相互間無吸引力的有效直徑為d的彈性小球。分子之間的碰撞為完全彈性碰撞。

跟蹤分子A,觀察它在

t時間內與多少分子相碰。

圓柱體的