專題2.4《等式與不等式》單元測試卷一、單選題1．（2024·大名中學(xué)高二月考）設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意集合，集合，所以由補集定義可得，所以.故選:D.2．（2024·浙江省高三其他）設(shè)，則“”成立的必要不充分條件是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，解得.所以，“”成立的必要不充分條件是.故選：B.3．（2024·陜西省高二期末（理））已知，且，則的最小值為（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【解析】因為，且，即為，則，當且僅當，即取得等號，則的最小值為.故選：C．4．（2024·寧夏回族自治區(qū)賀蘭縣景博中學(xué)高一期末）若函數(shù)對都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由都有恒成立當時，恒成立當時，則綜上所述：故選：A5．（2024·河南省信陽市第六高級中學(xué)高二月考（文））設(shè)，且，若，則必有（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，利用基本不等式代換，所以6．（2024·南昌市八一中學(xué)高一期中）已知正實數(shù)a、b滿意a+b=ab，則ab的最小值為（）A．1 B． C．2 D．4【答案】D【解析】∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，當且僅當a=b=2時取等號，故ab的最小值為4，故選：D．7．（2024·銀川唐徠回民中學(xué)高三三模（理））下列說法正確的個數(shù)為()①若，則；②，，則；③若，，則；④若，，則.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①,依據(jù)不等式的性質(zhì),可得,故①正確；②當,時,滿意,且設(shè),,滿意,此時,故②不正確；③當,時,滿意,且設(shè),,滿意,此時,故③不正確；④,,對兩邊同時除以得；又,,故④正確；綜上,正確的為①④,共2個故選：B8．（2024·全國高三課時練習(xí)）若不等式對隨意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵不等式對隨意，恒成立，∴，∵，當且僅當，即時取等號，∴，∴，∴，∴實數(shù)的取值范圍是，故選B.9．（2024·大名中學(xué)高二月考）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則A． B．C． D．【答案】B【解析】關(guān)于的不等式的解集為，可得，且，3為方程的兩根，可得，，即，，，，可得，（1），（4），可得（4）（1），故選．10．（2024·晉中市和誠中學(xué)有限公司高三月考（理））在R上定義運算:=ad-bc,若不等式≥1對隨意實數(shù)x恒成立,則實數(shù)a的最大值為()A．- B．- C． D．【答案】D【解析】由定義知,不等式≥1等價于x2-x-(a2-a-2)≥1,所以x2-x+1≥a2-a對隨意實數(shù)x恒成立.因為x2-x+1=+≥,所以a2-a≤,解得-≤a≤,則實數(shù)a的最大值為.選D.二、多選題11．（2024·江蘇省高一期末）使不等式成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C．或 D．【答案】AC【解析】不等式等價于，也就是，故不等式的解集為.A、B、C、D四個選項中，只有A、C中的不等式（不等組）對應(yīng)的集合為的真子集.故選：AC.點睛:（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應(yīng)集合互不包含．12．（2024·山東省高三二模）設(shè)表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù)，則滿意關(guān)于x的不等式的解可以為（）A． B．3 C．-4.5 D．-5【答案】BC【解析】因為不等式，所以，所以，又因為表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù)，所以不等式的解可以為3，-4.5.故選：BC13．（2024·山東省高二期中）已知，關(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則的值可以是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】ABC【解析】設(shè)，其圖像為開口向上，對稱軸是的拋物線，如圖所示.若關(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，因為對稱軸為,則解得，.又，故可以為6，7，8.故選:ABC14．（2024·江蘇省高一期末）對于給定的實數(shù)，關(guān)于實數(shù)的一元二次不等式的解集可能為（）A． B． C． D．【答案】ABCD【解析】對于一元二次不等式，則當時，函數(shù)開口向上，與軸的交點為，，故不等式的解集為；當時，函數(shù)開口向下，若，不等式解集為；若，不等式的解集為，若，不等式的解集為，綜上，都成立，故選：．三、填空題15．（2024·江蘇省連云港市錦屏高級中學(xué)高三期中）若關(guān)于x的不等式的解集是，則_________.【答案】－14【解析】不等式的解集是，所以對應(yīng)方程的實數(shù)根為和，且，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，，故答案為.16．（2024·湖南省長沙一中高三月考（理））設(shè)，若是的最小值，是的取值范圍為______________．【答案】【解析】解：當時，當且僅當，即時，等號成立，此時有最小值為，因為是的最小值，所以當時，單調(diào)遞減，故，此時最小值，故，解得，綜上所述的取值范圍為.故答案為：.17．（2024·天津高三其他）設(shè)，，則的最小值為_____________.【答案】【解析】，，，，當且即，時，等號同時成立，的最小值為1.故答案為：1.四、雙空題18．（2024·浙江省高三其他）已知正數(shù)a，b滿意a+b=1，則的最小值等于__________，此時a=____________.【答案】3【解析】依據(jù)題意，正數(shù)a、b滿意，則，當且僅當時，等號成立，故的最小值為3，此時.故答案為：3；.19．（2024·浙江省高三月考）已知，，則的最大值為________，的取值范圍是________．【答案】【解析】因為，，所以．因為，所以，解得，當且僅當時取等號．又，所以，，解得，所以的取值范圍是．故答案為：；．20．（2024·海南省海南中學(xué)高三月考）某電動車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)電動車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，安排提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為，則出廠價相應(yīng)提高的比例為，且當不超過0.5時，預(yù)料年銷售量增加的比例為，而當超過0.5時，預(yù)料年銷售量不變．已知年利潤=（出廠價－投入成本）×年銷售量．則本年度預(yù)料的年利潤與投入成本增加的比例的關(guān)系式為______；為使本年度利潤比上年有所增加，投入成本增加的比例的取值范圍為______．【答案】【解析】當時，；當時，；年利潤與投入成本增加的比例的關(guān)系式為.上年利潤為，令，解得：；令，解得：（舍）；所求的取值范圍為.故答案為：；.21．（2024·浙江省高三其他）已知函數(shù)，當時，不等式的解集是________，，若存在兩個零點，則的取值范圍是________．【答案】【解析】當時，不等式可得：，即解得．即要保證存在兩個零點需保證有兩個不同實根，有兩個不同實根，即函數(shù)與的圖象有兩個交點，令，①當時，，當且僅當時取等號；②當時，，當且僅當時取等號．畫出的圖象：如圖由的圖象可知，若函數(shù)與的圖象有兩個交點，則．故答案為：；.五、解答題22．（2024·鹽城市伍佑中學(xué)高二月考）已知不等式的解集為或.（1）求實數(shù)的值（2）解不等式【答案】（1），（2）【解析】（1）不等式的解集為或.由不等式與方程關(guān)系可知，和是方程的兩個根，將代入可得，將代入方程可得，解得或，所以.（2）將，代入不等式可得，即，解得，所以不等式的解集為.23.（2024·河北安平中學(xué)高三月考（文））對于函數(shù)（）．（Ⅰ）當時，求函數(shù)的零點；（Ⅱ）若對隨意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的零點，求實數(shù)的取值范圍【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）當時，，所以由可得；（Ⅱ）由函數(shù)恒有兩個相異的零點，得恒成立，即對于恒成立，這是一個關(guān)于的二次不等式，所以，即可解得．試題解析：（Ⅰ）當時，代入得，所以由可得，所以函數(shù)的零點為；（Ⅱ）由題意可得，則對于恒成立，所以，從而解得．24．（2024·上海市七寶中學(xué)高三月考）某工廠在制造產(chǎn)品時須要用到長度為698mm的A型和長度為518mm的B型兩種鋼管，工廠利用長度為4000mm的鋼管原材料，裁剪成若干A型和B型鋼管。假設(shè)裁剪時損耗忽視不計，裁剪后所剩廢料與原材料的百分比稱為廢料率.（1）有兩種裁剪方案的廢料率小于4.5%，請說明這兩種方案并計算它們的廢料率；（2）工廠現(xiàn)有100根原材料鋼管，一根A型和一根B型鋼管為一套毛胚。按（1）中的方案裁剪，最多可裁剪多少套毛胚？最終的廢料率為多少？【答案】（1）方案一：，廢料率最小為，方案二：，廢料率其次小為；（2）最多可裁剪320套毛胚，最終的廢料率為2.72%【解析】（1）設(shè)每根原材料可裁剪成根A型鋼管和根B型鋼管，則，方案一：，廢料率最小為；方案二：，廢料率其次小為；（2）設(shè)用方案一裁剪根原材料，用方案二裁剪根原材料，共裁剪得套毛胚，則，當，套，廢料率為綜上：最多可裁剪320套毛胚，最終的廢料率為2.72%.25．（2024·上海市進才中學(xué)高三月考）已知函數(shù)的圖像過點，且函數(shù)圖像又關(guān)于原點對稱.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）依題意，函數(shù)的圖象過點和.所以，故.（2）不等式可化為.即對一切的恒成立.因為，當且僅當時等號成立，所以.點睛：依據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種方法：（1）分類探討法：依據(jù)參數(shù)的臨界值分類探討參數(shù)的取值是否滿意要求；（2）參變分別法：將參數(shù)從不等式中分別出來，通過函數(shù)或者不等式確定最值，由此得到參數(shù)范圍.26．（2024·江西省都昌蔡嶺慈濟中學(xué)高三月考（文））投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起一座蔬菜加工廠，經(jīng)營中，第一年支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元，設(shè)表示前n年的純利潤總和（前年總收入-前年的總支出-投資額72萬元）（Ⅰ）該廠從第幾年起先盈利？（Ⅱ）該廠第幾年平均純利潤達到最大？并求出年平均純利潤的最大值.【答案】（I）從第三年起先盈利；（II）第6年，投資商年平均純利潤達到最大，年平均純利潤最大值16萬元【解析】(Ⅰ)依題意前年總收入-前年的總支出-投資額72萬元,可得由得,解得由于,所以從第3年起先盈利.(Ⅱ)年平均利潤當且僅當,即