滬科版八年級(jí)上第8招三角形內(nèi)角與外角及它們的關(guān)系的常見(jiàn)題型01教你一招02典例剖析03分類(lèi)訓(xùn)練目

錄CONTENTS三角形的內(nèi)角與外角有著廣泛的應(yīng)用，利用它們可以解

決有關(guān)角的很多問(wèn)題，一般可用于直接計(jì)算角度、三角尺或

直尺中求角度、與平行線的性質(zhì)綜合求角度、截角或折疊問(wèn)

題中求角度等.

如圖，將△

ABC

沿著

DE

翻折，使

B

點(diǎn)與B'點(diǎn)重合，若

∠1＋∠2＝78°，求∠

B

的度數(shù).解：由折疊知∠

BED

＝∠B'ED，∠

BDE

＝∠B'DE，∴∠1＋∠2＋2(∠

BED

＋∠

BDE

)＝360°，即78°＋2(∠

BED

＋∠

BDE

)＝360°.∴∠

BED

＋∠

BDE

＝141°.∴∠

B

＝180°－(∠

BED

＋∠

BDE

)＝180°－141°＝39°.

根據(jù)折疊的對(duì)稱(chēng)性，即可求得答案.

三角形內(nèi)角和定理在求角度中的應(yīng)用1.

如圖，在△

ABC

中，

D

是

BC

上一點(diǎn)，

F

是

BA

延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，

DF

交

AC

于點(diǎn)

E

，∠

B

＝42°，∠

C

＝59°，∠

DEC

＝47°，求∠

F

的度數(shù).123456【解】∵∠

B

＝42°，∠

C

＝59°，∴∠

BAC

＝180°－∠

B

－∠

C

＝79°.∵∠

DEC

＝47°，∠

DEC

＝∠

AEF

，∴∠

AEF

＝47°，∴∠

F

＝∠

BAC

－∠

AEF

＝32°.123456

三角形內(nèi)角和定理在拼圖中的應(yīng)用2.

一副三角板按如圖所示擺放，以

AC

為一邊，在△

ABC

外

作∠

CAF

＝∠

DCE

，

AF

交

DC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F

，求∠

F

的度數(shù).123456【解】∵∠

BCA

＝90°，∠

DCE

＝30°，∴∠

ACF

＝180°－∠

BCA

－∠

DCE

＝180°－90°－

30°＝60°.∵∠

CAF

＝∠

DCE

＝30°，∴∠

F

＝180°－∠

CAF

－∠

ACF

＝180°－30°－60°

＝90°.123456

三角形內(nèi)角和定理在探究與折疊問(wèn)題有關(guān)的角的關(guān)系

中的應(yīng)用3.

[2024·合肥蜀山區(qū)期中]現(xiàn)有一張△

ABC

紙片，點(diǎn)

D

，

E

分別是△

ABC

邊上兩點(diǎn)，沿直線

DE

折疊，折

成如圖的形狀.(1)若∠1＝25°，∠2＝100°，求∠

A

的度數(shù)；123456【解】易知∠

A

＝∠A'.∵∠2＝100°，∴∠AEA'＝180°－∠2＝80°.∵∠

BDE

＝∠

A

＋∠

AED

，∠A'＋∠1＋∠

BDE

＋∠A'ED＝180°，∴∠A'＋∠1＋∠

A

＋∠

AED

＋∠A'ED＝180°.∴∠1＋2∠

A

＋∠AEA'＝180°.∴25°＋2∠

A

＋80°＝180°.∴∠

A

＝37.5°.123456(2)猜想∠1，∠2和∠

A

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【解】∠2＝2∠

A

＋∠1，理由如下：由(1)得∠1＋2∠

A

＋∠AEA'＝180°.∴∠1＋2∠

A

＝180°－∠AEA'＝∠2.123456

三角形外角的性質(zhì)在比較角的大小中的應(yīng)用4.

如圖，在△

ABC

中，

BD

⊥

AC

于點(diǎn)

D

.

若∠

A

∶∠

ABC

∶

∠

ACB

＝3∶4∶5，

E

為線段

BD

上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)

B

，

D

重合).(1)求∠

ABD

的度數(shù)；123456【解】∵∠

A

∶∠

ABC

∶∠

ACB

＝3∶4∶5，且∠

A

＋∠

ABC

＋∠

ACB

＝180°，∴∠

A

＝45°，∠

ABC

＝60°，∠

ACB

＝75°.∵

BD

⊥

AC

，∴∠

BDA

＝90°.∴∠

ABD

＝180°－90°－45°＝45°.123456(2)求證：∠

BEC

＞∠

ABD

.

【證明】∵∠

BDC

是△

ABD

的一個(gè)外角，∴∠

BDC

＞∠

ABD

.

∵∠

BEC

是△

DEC

的一個(gè)外角，∴∠

BEC

＞∠

BDC

.

∴∠

BEC

＞∠

ABD

.

123456

三角形外角的性質(zhì)在探究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中有關(guān)角度之間的

關(guān)系的應(yīng)用5.

[2024·淮南二中期末]如圖，在△

ABC

中，∠

B

＝∠

C

＝

45°，點(diǎn)

D

在

BC

邊上，點(diǎn)

E

在

AC

邊上，連接

DE

，

AD

，且∠

ADE

＝∠

AED

.

(1)當(dāng)∠

BAD

＝60°時(shí)，求∠

CDE

的度數(shù)；123456【解】∵∠

ADC

是△

ABD

的外角，

∴∠

ADC

＝∠

B

＋∠

BAD

＝105°.∵∠

AED

是△

CDE

的外角，∴∠

AED

＝∠

C

＋∠

CDE

＝45°＋∠

CDE

.

∵∠

ADE

＝∠

AED

，∴∠

ADC

－∠

CDE

＝∠

AED

，即105°－∠

CDE

＝

45°＋∠

CDE

，解得∠

CDE

＝30°.123456(2)當(dāng)點(diǎn)

D

在

BC

(點(diǎn)

B

，

C

除外)邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試寫(xiě)出∠

BAD

與∠

CDE

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【解】∠

BAD

＝2∠

CDE

.

理由如下：∵∠

ADC

是△

ABD

的外角，∴∠

ADC

＝∠

B

＋∠

BAD

＝45°＋∠

BAD

.

∵∠

AED

是△

CDE

的外角，123456∴∠

AED

＝∠

C

＋∠

CDE

＝45°＋∠

CDE

.

∵∠

ADE

＝∠

AED

，∴∠

ADC

－∠

CDE

＝∠

AED

，即45°＋∠

BAD

－∠

CDE

＝45°＋∠

CDE

，∴∠

BAD

＝2∠

CDE

.

123456

利用三角形內(nèi)角、外角關(guān)系探究角平分線夾角的規(guī)律6.

[2024·合肥蜀山區(qū)期中](1)如圖①的圖形我們把它稱(chēng)為“8

字形”，求證：∠

A

＋∠

B

＝∠

C

＋∠

D

.

【證明】∵∠

A

＋∠

B

＋∠

AOB

＝180°，∠

C

＋∠

D

＋∠

COD

＝180°，∴∠

A

＋∠

B

＋∠

AOB

＝∠

C

＋∠

D

＋∠

COD

.

∵∠

AOB

＝∠

COD

，∴∠

A

＋∠

B

＝∠

C

＋∠

D

.

123456(2)如圖②，

AP

，

CP

分別平分∠

BAD

，∠

BCD

，若∠

ABC