第14章全等三角形專(zhuān)題訓(xùn)練10【一題多解】構(gòu)造全等三角形的輔助線作法

遇到中點(diǎn)，可嘗試倍長(zhǎng)中線法或作平行線法1.

如圖，

AD

是△

ABC

的邊

BC

上的中線，

AB

＝7，

AD

＝

5，求

AC

長(zhǎng)的取值范圍.(試用2種方法完成此題)21解法一：(可以嘗試倍長(zhǎng)中線

AD

，再根據(jù)

SAS

證全等)如圖①，延長(zhǎng)

AD

至

E

，使

DE

＝

AD

＝5，連接

CE

.

∵

AD

是△

ABC

的中線，∴

BD

＝

CD

.

在△

ABD

和△

ECD

中，

∴△

ABD

≌△

ECD

(

SAS

)，∴

CE

＝

AB

＝7.在△

ACE

中，

AE

－

CE

＜

AC

＜

AE

＋

CE

，∴5＋5－7＜

AC

＜5＋5＋7，即3＜

AC

＜17.21解法二：(可以嘗試過(guò)點(diǎn)

C

作

AB

的平行線，交

AD

的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)

E

，或過(guò)點(diǎn)

B

作

AC

的平行線，交

AD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E

，

再根據(jù)

AAS

或

ASA

證全等)1.

如圖，

AD

是△

ABC

的邊

BC

上的中線，

AB

＝7，

AD

＝

5，求

AC

長(zhǎng)的取值范圍.(試用2種方法完成此題)21如圖②，過(guò)點(diǎn)

C

作

AB

的平行線，交

AD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E

，

∵

AD

是△

ABC

的中線，∴

BD

＝

CD

.

∵

CE

∥

AB

，∴∠

DAB

＝∠

E

，∠

B

＝∠

DCE

.

∴△

ABD

≌△

ECD

(

AAS

).∴

DE

＝

AD

＝5，

CE

＝

AB

＝7.

在△

ACE

中，

AE

－

CE

＜

AC

＜

AE

＋

CE

，∴5＋5－7＜

AC

＜5＋5＋7，即3＜

AC

＜17.21

遇到角平分線，可嘗試截長(zhǎng)補(bǔ)短法2.

已知，如圖，在△

ABC

中，

AB

＞

AC

，∠1

＝

∠2，

D

為

BC

上一點(diǎn)，

P

為

AD

上任一點(diǎn)，求證：

AB

－

AC

＞

PB

－

PC

.

(試用2種方法完成此題)證法一：(利用截長(zhǎng)法，再根據(jù)

SAS

證全等)21如圖①，在

AB

上截取

AN

＝

AC

，連接

PN

，在△

APN

和△

APC

中，∵

AN

＝

AC

，∠1＝∠2，

AP

＝

AP

，∴△

APN

≌△

APC

(

SAS

)，∴

PC

＝

PN

.

∵在△

BPN

中，有

PB

－

PN

＜

BN

，∴

AB

－

AN

＞

PB

－

PN

，∴

AB

－

AC

＞

PB

－

PC

.

212.

已知，如圖，在△

ABC

中，

AB

＞

AC

，∠1

＝

∠2，

D

為

BC

上一點(diǎn)，

P

為

AD

上任一點(diǎn)，求證：

AB

－

AC

＞

PB

－

PC

.

(試用2種方法完成此題)證法二：(利用補(bǔ)短法，再根據(jù)

SAS

證全等)21如答圖，延長(zhǎng)

AC

至

M

，使

AM

＝

AB

，連接

PM

，在△

ABP

和△

AMP

中，∵

AB

＝

AM

，∠1＝∠2，

AP

＝

AP

，∴△

ABP

≌△

AMP

(

SAS

)，∴

PB

＝

PM

.

∵在△

PCM

中，