...wd......wd......wd...中考專題-------三角形一．選擇題〔共3小題〕1．〔2014?山西〕如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N．假設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則重疊局部四邊形EMCN的面積為〔〕A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2D．a(chǎn)2考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．專題：幾何圖形問題；壓軸題．分析：過E作EP⊥BC于點(diǎn)P，EQ⊥CD于點(diǎn)Q，△EPM≌△EQN，利用四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解．解答：解：過E作EP⊥BC于點(diǎn)P，EQ⊥CD于點(diǎn)Q，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分線，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，四邊形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN〔ASA〕∴S△EQN=S△EPM，∴四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a，∴EP=PC=a，∴正方形PCQE的面積=a×a=a2，∴四邊形EMCN的面積=a2，應(yīng)選：D．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證出△EPM≌△EQN．2．〔2014?武漢模擬〕如圖∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，則以下結(jié)論，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正確的選項(xiàng)是〔〕A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④考點(diǎn)：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：根據(jù)三角形的中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊〞同時(shí)利用三角形的全等性質(zhì)求解．解答：解：如以以以下圖所示：連接AC，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AD交BC于Q，延長(zhǎng)CD交AB于P．∵∠ABC=∠C=45°∴CP⊥AB∵∠ABC=∠A=45°∴AQ⊥BC點(diǎn)D為兩條高的交點(diǎn)，所以BM為AC邊上的高，即：BM⊥AC．由中位線定理可得EF∥AC，EF=AC∴BD⊥EF，故①正確．∵∠DBQ+∠DCA=45°，∠DCA+∠CAQ=45°，∴∠DBQ=∠CAQ，∵∠A=∠ABC，∴AQ=BQ，∵∠BQD=∠AQC=90°，∴根據(jù)以上條件得△AQC≌△BQD，∴BD=AC∴EF=AC，故②正確．∵∠A=∠ABC=∠C=45°∴∠DAC+∠DCA=180°﹣〔∠A+∠ABC+∠C〕=45°∴∠ADC=180°﹣〔∠DAC+∠DCA〕=135°=∠BEF+∠BFE=180°﹣∠ABC故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；無法證明AD=CD，故④錯(cuò)誤．應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)：此題考點(diǎn)在于三角形的中位線和三角形全等的判斷及應(yīng)用．3．〔2013?河北模擬〕四邊形ABCD中，AC和BD交于點(diǎn)E，假設(shè)AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四個(gè)命題：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④AB=BE=AE．其中命題一定成立的是〔〕A．①②B．②③C．①③D．②④考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)是否正確即可．解答：解：∵AB=AE，一個(gè)三角形的直角邊和斜邊一定不相等，∴AC不垂直于BD，①錯(cuò)誤；利用邊角邊定理可證得△ADE≌△ABC，那么BC=DE，②正確；由△ADE≌△ABC可得∠ADE=∠ACB，那么A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠DBC=∠DAC=∠DAB，③正確；△ABE不一定是等邊三角形，那么④不一定正確；②③正確，應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了全等三角形的性質(zhì)，以及直角三角形中斜邊最長(zhǎng)；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；等邊三角形的三邊相等．二．填空題〔共6小題〕4．〔2015?泰安一?！橙鐖D，將一個(gè)正三角形紙片剪成四個(gè)全等的小正三角形，再將其中的一個(gè)按同樣的方法剪成四個(gè)更小的正三角形，…如此繼續(xù)下去，結(jié)果如下表，則an=3n+1〔用含n的代數(shù)式表示〕．所剪次數(shù)1234…n正三角形個(gè)數(shù)471013…an考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)．專題：壓軸題；規(guī)律型．分析：根據(jù)圖跟表我們可以看出n代表所剪次數(shù)，an代表小正三角形的個(gè)數(shù)，也可以根據(jù)圖形找出規(guī)律加以求解．解答：解：由圖可知沒剪的時(shí)候，有一個(gè)三角形，以后每剪一次就多出三個(gè)，所以總的個(gè)數(shù)3n+1．故答案為：3n+1．點(diǎn)評(píng)：此題主要考驗(yàn)學(xué)生的邏輯思維能力以及應(yīng)變能力．5．〔2013?宜興市一?！橙鐖D，在△ABC中，AC=BC＞AB，點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P與△ABC的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6個(gè)．考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，作出AB的垂直平分線，首先△ABC的外心滿足，再根據(jù)圓的半徑相等，以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫圓，AB的垂直平分線相交于兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫圓，與AB的垂直平分線相交于一點(diǎn)，再分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫圓，與⊙C相交于兩點(diǎn)，即可得解．解答：解：如以以下圖，作AB的垂直平分線，①△ABC的外心P1為滿足條件的一個(gè)點(diǎn)，②以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫圓，P2、P3為滿足條件的點(diǎn)，③分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫圓，P4為滿足條件的點(diǎn)，④分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫圓，P5、P6為滿足條件的點(diǎn)，綜上所述，滿足條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6．故答案為：6．點(diǎn)評(píng)：此題考察了等腰三角形的判定與性質(zhì)，主要利用了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，圓的半徑相等的性質(zhì)，作出圖形更形象直觀．6．〔2013?齊齊哈爾模擬〕如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，取BC的中點(diǎn)E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的面積記為S1，取BE的中點(diǎn)E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF．得到四邊形E1D1FF1，它的面積記作S2，照此規(guī)律，則S2012=．考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；三角形中位線定理．專題：壓軸題；規(guī)律型．分析：求出△ABC的面積是，求出DE是三角形ABC的中位線，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出==，求出S△CDE=×，S△BEF=×，求出S1=×，同理S2=×S△BEF=××，S3=×××S4=××××，推出S2012=×××…××〔2011個(gè)〕，即可得出答案．解答：解：∵BC的中點(diǎn)E，ED∥AB，∴E為BC中點(diǎn)，∴DE=AB，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴==〔〕2=，∵△ABC的面積是×1×=∴S△CDE=×，推理=，∴S△BEF=×∴S1=﹣×﹣×=×，同理S2=×S△BEF=××，S3=×××S4=××××，…，S2012=×××…××〔2011個(gè)〕，==，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：此題考察了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是總結(jié)出規(guī)律，題目對(duì)比好，但是有一定的難度．7．〔2015?和平區(qū)模擬〕如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面積等于．考點(diǎn)：勾股定理的逆定理；解分式方程；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：根據(jù)△ABE∽△ECF，可將AB與BE之間的關(guān)系式表示出來，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理AB2+BE2=AC2，可將正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB求出，進(jìn)而可將正方形ABCD的面積求出．解答：解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，BE的長(zhǎng)為a∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF=90°∴∠BAE=∠CEF∵∠B=∠C∴△ABE∽△ECF∴=，即=解得x=4a①在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴x2+a2=42②將①代入②，可得：a=∴正方形ABCD的面積為：x2=16a2=．點(diǎn)評(píng)：此題是一道根據(jù)三角形相似和勾股定理來求正方形的邊長(zhǎng)結(jié)合求解的綜合題．隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力．注意后面可以直接這樣x2+a2=42②，∴x2+〔〕2=42，x2+x2=42，x2=16，x2=．無需算出算出x．8．〔2015?湖州模擬〕a，b，c是直角三角形的三條邊，且a＜b＜c，斜邊上的高為h，則以下說法中正確的選項(xiàng)是

②．〔只填序號(hào)〕①a2b2+h4=〔a2+b2+1〕h2；②b4+c2h2=b2c2；③由可以構(gòu)成三角形；④直角三角形的面積的最大值是．考點(diǎn)：勾股定理的逆定理；勾股定理．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：根據(jù)直角三角形的面積公式和勾股定理將各式化簡(jiǎn)，等式成立者即為正確答案．解答：解：根據(jù)直角三角形的面積的不同算法，有ab=ch，解得h=．①將h=代入a2b2+h4=〔a2+b2+1〕h2，得a2b2+〔〕4=〔a2+b2+1〕〔〕2，得a2b2+〔〕4=〔c2+1〕〔〕2，得a2b2+〔〕4=a2b2+，得即〔〕4=，a2b2=c2，不一定成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②將h=代入b4+c2h2=b2c2，得b4+c2〔〕2=b2c2，b4+b2a2=b2c2，整理得b4+b2a2﹣b2c2=0，b2〔b2+a2﹣c2〕=0，∵b2+a2﹣c2=0，∴b2〔b2+a2﹣c2〕=0成立，故本選項(xiàng)正確；③∵b2+a2=c2，〔〕2+〔〕2=a+b，〔〕2=c，∴不能說明〔〕2+〔〕2=〔〕2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；④直角三角形的面積為ab，隨ab的變化而變化，所以無最大值，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故答案為②．點(diǎn)評(píng)：此題不僅考察了勾股定理，還考察了面積法求直角三角形的高，等式變形計(jì)算較復(fù)雜，要仔細(xì)．9．〔2013?賀州〕如圖，A、B、C分別是線段A1B，B1C，C1A的中點(diǎn)，假設(shè)△ABC的面積是1，那么△A1B1C1的面積7．考點(diǎn)：三角形的面積．專題：壓軸題．分析：連接AB1，BC1，CA1，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出△ABB1，△A1AB1的面積，從而求出△A1BB1的面積，同理可求△B1CC1的面積，△A1AC1的面積，然后相加即可得解．解答：解：如圖，連接AB1，BC1，CA1，∵A、B分別是線段A1B，B1C的中點(diǎn)，∴S△ABB1=S△ABC=1，S△A1AB1=S△ABB1=1，∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，∴△A1B1C1的面積=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．故答案為：7．點(diǎn)評(píng)：此題考察了三角形的面積，主要利用了等底等高的三角形的面積相等，作輔助線把三角形進(jìn)展分割是解題的關(guān)鍵．三．解答題〔共5小題〕10．〔2013?昭通〕△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)D不與B、C重合〕，以AD為邊作菱形ADEF〔A、D、E、F按逆時(shí)針排列〕，使∠DAF=60°，連接CF．〔1〕如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；〔2〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成立假設(shè)不成立，請(qǐng)寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；〔3〕如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：〔1〕根據(jù)得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；〔2〕求出∠BAD=∠CAF，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；〔3〕畫出圖形后，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．解答：〔1〕證明：∵菱形AFED，∴AF=AD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，即①BD=CF，②AC=CF+CD．〔2〕解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是AC=CF﹣CD，理由是：由〔1〕知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，即AC=CF﹣CD．〔3〕AC=CD﹣CF．理由是：∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF〔SAS〕，∴CF=BD，∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，即AC=CD﹣CF．點(diǎn)評(píng)：此題考察了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的推理能力，注意：證明過程類似，題目具有一定的代表性，難度適中．11．〔2013?青羊區(qū)一?！橙鐖D，△ABC中AB=AC，BC=6，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度一樣，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D．〔1〕如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；〔2〕如圖②，過點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段請(qǐng)說明理由；考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題；壓軸題；分類討論．分析：〔1〕過點(diǎn)P做PF平行與AQ，由平行我們得出一對(duì)同位角和一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角的相等，再由AB=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角得角B和角ACB的相等，根據(jù)等量代換的角B和角PFB的相等，根據(jù)等角對(duì)等邊得BP=PF，又因點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度一樣即BP=CQ，等量代換得PF=CQ，在加上對(duì)等角的相等，證得三角形PFD和三角形QCD的全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊邊相等得出DF=CD=CF，而又因P是AB的中點(diǎn)，PF∥AQ得出F是BC的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)的BC的長(zhǎng)，求出CF，即可得出CD的長(zhǎng)．〔2〕分兩種情況討論，第一種情況點(diǎn)P在線段AB上，根據(jù)等腰三角形的三線合一得BE=EF，再又第一問的全等可知DF=CD，所以ED=，得出線段DE的長(zhǎng)為定值；第二種情況，P在BA的延長(zhǎng)線上，作PM平行于AC交BC的延長(zhǎng)線于M，根據(jù)兩直線平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根據(jù)等量代換得到角ABC等于角PMB，根據(jù)等角對(duì)等邊得到PM等于PB，根據(jù)三線合一，得到BE等于EM，同理可得△PMD全等于△QCD，得到CD等于DM，根據(jù)DE等于EM減DM，把EM換為BC加CM的一半，化簡(jiǎn)后得到值為定值．解答：解：〔1〕如圖，過P點(diǎn)作PF∥AC交BC于F，∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度一樣，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，∴BP=PF，∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，∴證得△PFD≌△QCD，∴DF=CD=CF，又因P是AB的中點(diǎn)，PF∥AQ，∴F是BC的中點(diǎn)，即FC=BC=3，∴CD=CF=；〔2〕分兩種情況討論，得ED為定值，是不變的線段如圖，如果點(diǎn)P在線段AB上，過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F，∵△PBF為等腰三角形，∴PB=PF，BE=EF，∴PF=CQ，∴FD=DC，∴ED=，∴ED為定值，同理，如圖，假設(shè)P在BA的延長(zhǎng)線上，作PM∥AC的延長(zhǎng)線于M，∴∠PMC=∠ACB，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PMC，∴PM=PB，根據(jù)三線合一得BE=EM，同理可得△PMD≌△QCD，所以CD=DM，，綜上所述，線段ED的長(zhǎng)度保持不變．點(diǎn)評(píng)：此題考察了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，考察了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．12．〔2015?于洪區(qū)一?！橙鐖D1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．〔1〕如果AB=AC，∠BAC=90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)〔與點(diǎn)B不重合〕，如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為垂直，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為相等；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；〔2〕如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)∠ACB滿足什么條件時(shí)，CF⊥BC〔點(diǎn)C、F不重合〕，并說明理由．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題；開放型．分析：〔1〕當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．結(jié)合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．〔2〕當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，過點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由〔1〕①可知CF⊥BD．解答：證明：〔1〕①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．〔2〕當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，CF⊥BD〔如圖〕．理由：過點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠DAG=∠FAC〔同角的余角相等〕，AD=AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．點(diǎn)評(píng)：此題考察三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．13．〔2013?河南〕如圖1，將兩個(gè)完全一樣的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．〔1〕操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是DE∥AC；②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是S1=S2．〔2〕猜測(cè)論證當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜測(cè)〔1〕中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜測(cè)．〔3〕拓展探究∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點(diǎn)E〔如圖4〕．假設(shè)在射線BA上存在點(diǎn)F，使S△DCF=S△BDE，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長(zhǎng)．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：〔1〕①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60°，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解答；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；〔2〕根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊〞證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；〔3〕過點(diǎn)D作DF1∥BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)邊相等可得BE=DF1，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)F1為所求的點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，從而得到△DF1F2是等邊三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“邊角邊〞證明△CDF1和△CDF2全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，然后在等腰△BDE中求出BE的長(zhǎng)，即可得解．解答：解：〔1〕①∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等〔等底等高的三角形的面積相等〕，即S1=S2；故答案為：DE∥AC；S1=S2；〔2〕如圖，∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM〔AAS〕，∴AN=DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等〔等底等高的三角形的面積相等〕，即S1=S2；〔3〕如圖，過點(diǎn)D作DF1∥BE，易求四邊形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此時(shí)S△DCF1=S△BDE；過點(diǎn)D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F(xiàn)1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等邊三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2〔SAS〕，∴點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，∵∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的長(zhǎng)為或．點(diǎn)評(píng)：此題考察了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，〔3〕要注意符合條件的點(diǎn)F有兩個(gè)．14．〔2013?常德〕兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME．〔1〕如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MB∥CF；〔2〕如圖1，假設(shè)CB=a，CE=2a，求BM，ME的長(zhǎng)；〔3〕如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME．考點(diǎn)：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．專題：壓軸題．分析：〔1〕證法一：如答圖1a所示，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，證明BM為△ADF的中位線即可；證法二：如答圖1b所示，延長(zhǎng)BM交EF于D，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得AB∥EF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF，然后利用“角邊角〞證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠EBM=45°，從而得到∠EBM=∠ECF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明MB∥CF即可，〔2〕解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線；解法二：先求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BM=DM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；〔3〕證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM=DF，ME=AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明BM=ME；證法二：如答圖3b所示，延長(zhǎng)BM交CF于D，連接BE、DE，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行求出AB∥CF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF，然后利用“角邊角〞證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DF，BM=DM，再根據(jù)“邊角邊〞證明△BCE和△DFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可．解答：〔1〕證法一：如