1初一數(shù)學B班講座材料二元一次方程組一、基本知識1不定方程（組）的概念如果方程（組）中方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)，那么就稱此方程（組）為不定方程（組）2不定方程的整數(shù)解的性質(zhì)定理1二元一次不定方程ax+by=c中，若(a，b)c，則該方程無整數(shù)解定理2若a，b是互質(zhì)的正整數(shù)，c是整數(shù)，且方程ax+by=c有一組整數(shù)解(x0，y0)，則此方程的一切整數(shù)解可表示為00xxbtyyat，其中t=0，1，2，3，多元一次不定方程以及不定方程組?？苫癁槎淮尾欢ǚ匠探M來解二、習題1如果方程組60210mxymxy的解滿足x0，y0，求m的取值范圍解：得，(m1)x=6，當m1時，x=61m把x=61m代入得y=6211mm所以6216211xmmym由于x0，y0，所以602162101mmm解得m1，所以當m1時，原方程組的解滿足x0，y02已知a，b，c，d滿足方程組31393935abcdabcdabcdabcd則abcd=7516解：23若方程4x3m82xyn1=by+7是關于x、y的二元一次方程，則整數(shù)m、n、b所滿足的條件可能是（B）Am=3，n=2，b0Bm=3，n=1，b0Cm=83，n=2，b=0Dm=3，n=1或2，b=0解：由題意得3810100mnb或即833100mnb或故選B4解方程組34xy=2xy=2x+y3解：原方程組即342232xyxyxyxy整理并解得這個方程組得31xy5解下列方程組：（1）73766189825xyxy解：由+得91x+91y=91，即x+y=1，變形為x=1y，代入，解得y=780，從而得x=7380，所以原方程組的解是7380780xy（2）1752319596xyxy解：由2，消去常數(shù)項，得15x+45y=0，即x=3y，代入，解得y=3，從而得x=9，所以原方程組的解是93xy36對于實數(shù)x、y規(guī)定一個新運算“xy=ax+by（a、b是常數(shù)）”，已知23=11，5(3)=10求a、b的值，并計算(2)35解：本題實際已知23115310abab解得353ab，所以(2)35=3(2)+5335=6+1=57解方程組0.10.30.050.0460.20.03311366xyxyxy解：把方程的系數(shù)化為整數(shù)，得354623xy，去分母并整理得3x+10y=19；方程整理得x2y=1，解、組成的方程組，得31xy8解方程組23101460xyxy解：設1x=m，1y=n，原方程組可化為2310460mnmn解這個方程組得145115mn所以514511xy經(jīng)檢驗，它就是原方程組的解9解關于x、y的方程組3223232232xaybaxayba4解：方法1設32xa=m，23yb=n，原方程組化為22amnamn解這個方程組得20amn，即322203xaayb，解得22xayb方法2由原方程組得32322323xaybxayb，即2203yb，由此得322xaa，易求得原方程組的解是22xayb10已知關于x、y的方程組1axyaxy（1）當a1時，解這個方程組（2）若a=1時，方程組解的情況怎樣？（3）若a=1，方程組2axyaxy解的情況怎樣？解：（1）兩式相減，整理得(a1)x=a1，因為a1，所以x=1，進而求得y=0所以原方程的解為10xy（2）當a=1時，方程(a1)x=a1的解是一切實數(shù)，方程組的解是滿足方程xy=1的任意實數(shù)對，事實上這時方程組中的兩個方程相同，所以方程組有無數(shù)個解（3）當a=1時，方程組化為12xyxy，這時不論x、y取何值，兩個方程都不可能同時成立，方程組無解11當a取何值時，關于x、y的方程組5232xyaxya有正整數(shù)解5解：方法1解方程組得83473axay即223123axaya根據(jù)題意8034703aa且a是被3除余2的整數(shù)，據(jù)此易得只有當a=5，2，1時，x、y均是正整數(shù)，所以所求a的值5、2、1方法2在原方程組中消去a，的4x+y=13，這個方程的正整數(shù)解是19xy；25xy；31xy當19xy時a=5；當25xy時，a=2；當31xy時，a=1所以所求a的值為5、2、112已知346xyz，求代數(shù)式324xyzy的值解：方法1由346xyz可得x=12z，y=23z所以324xyzy=3423243zyzz=11683zz=1116方法2設346xyz=k，則x=3k，y=4k，z=6k代入原式得324xyzy=9861111161616kkkkkk方法3由346xyz得34xy，32yz324xyzy=3231133113114444244424216xyzxzyyyyy613已知3754103xyzxyz，求x+y+z的值解：方法1解關于x、y的方程組3754103xyzxyz得2932112zxzy所以x+y+z=2931122zzz=9方法2方程中分離出所求的代數(shù)式：由得x+y+z+2x+6y=5，由得x+y+z+3x+9y=332，即得x+y+z=914求方程14x+8y=200的正整數(shù)解解：由于(14，8)=2|200，故先從兩邊除以2，得7x+4y=100y=10074x=25x34x所以4|x，取x=4，則y=18，從而x=4，y=18是原方程的一組解，方程的整數(shù)解為：44187xtytt是整數(shù)因為題目要求的正整數(shù)解，所以4401870tt解得187t1，故t=2，1，0代入得原方程的正整數(shù)解為：124xy811xy418xy15解下列各方程組（1）258320322035273yxxy解：設x3=m，23+y=n（*），則原方程組為：582020527nmmn由于n的系數(shù)相同，7用加減消元法解得14245mn回代（*）式，得原方程組的解為13411315xy（2）58342321xyxzxyz解：方法1由前兩個方程得y=58x，z=34x，進而代入第三個方程，消去y和z得x的一元一次方程，解得x后，再回代、求得y和z方法2從前兩個方程求得x：y：z=8：5：6，設x=8k，y=5k，z=6k，代入第三個方程消去x、y、z三個未知數(shù)，轉化為關于k的一元一次方程求得k，則求出241518xyz16解方程組1221xyxy解：+得|x1|+2x=1，解得x=0代入得y=1，原方程的解是01xy或01xy17公元5世紀，我國數(shù)學家張丘建在算經(jīng)中提出了數(shù)學史上著名的“百錢買百雞問題”：今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一凡百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？解：設雞翁、雞母分別買了x只、y只，則雞雛買了(100xy)只根據(jù)題意的方程5x+3y+13(100xy)=100整理得7x+4y=100無法再列出第二個方程，但由題意可知，未知數(shù)x、y及100xy的值只能取小于100的正整數(shù)，且x必是4的倍數(shù)在此條件下，共求得3個正整數(shù)解，雞翁、母、雛的只數(shù)分別為4，18，78；8，11，81或12，4，84818某商場計劃撥款9萬元從廠家購進50臺電視機已知該廠家生產(chǎn)不同型號的電視機，出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元（1）若商場同時購進兩種不同型號的電視機50臺，共付9萬元，請?zhí)骄恳幌律虉龅倪M貨方案；（2）若商場銷售一臺甲種電視機可獲利150元，銷售一臺乙種電視機可獲利200元，銷售一臺丙種電視機可獲利250元在同時購進兩種不同電視機的方案中，哪種能使獲利最大？（3）若商場準備用9萬元同時購進三種不同型號的電視機50臺，請你設計進貨方案解：（1）分三種情況討論：設購進甲種電視機x臺，乙種電視機y臺，列方程組501500210090000xyxy解得2525xy；同理求得若同時購進甲、丙電視機分別為35臺和15臺；不可能同時購進乙、丙兩種電視機（方程組無正整數(shù)解）（2）通過直接計算，上述