人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE1第3課時非線性經(jīng)驗回歸方程學(xué)習(xí)目標1.進一步掌握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計意義.2.了解非線性回歸模型.3.會通過分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果．一、指數(shù)函數(shù)模型y＝αeβx(α＞0)例1某景區(qū)的各景點從2010年取消門票實行免費開放后，旅游的人數(shù)不斷地增加，不僅帶動了該市淡季的旅游，而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結(jié)構(gòu)，促進了該市旅游向“觀光、休閑、會展”三輪驅(qū)動的理想結(jié)構(gòu)快速轉(zhuǎn)變．下表是從2010年至2019年，該景點的旅游人數(shù)y(萬人)與年份x的數(shù)據(jù)：第x年12345旅游人數(shù)(萬人)300283321345372第x年678910旅游人數(shù)(萬人)435486527622800該景點為了預(yù)測2022年的旅游人數(shù)，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：由最小二乘法公式求得y與x的經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝50.8x＋169.7；模型②：由散點圖的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線y＝aebx的附近．(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求模型②的經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝aebx(a精確到個位，b精確到0.01)；(2)根據(jù)下列表中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的決定系數(shù)R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測2022年該景區(qū)的旅游人數(shù)(單位：萬人，精確到個位)．經(jīng)驗回歸方程①eq\o(y,\s\up6(^))＝50.8x＋169.7②eq\o(y,\s\up6(^))＝aebxeq\i\su(i＝1,10,)(yi－eq\o(yi,\s\up6(^)))23040714607參考公式、參考數(shù)據(jù)及說明：①對于一組數(shù)據(jù)(v1，w1)，(v2，w2)，…，(vn，wn)，其經(jīng)驗回歸直線eq\o(w,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))v的斜率和截距的最小二乘法估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)wi－\x\to(w)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)vi－\x\to(v)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(w)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(v).②刻畫回歸效果的決定系數(shù)R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(yi,\s\up6(^))2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2).③參考數(shù)據(jù)：e5.46≈235，e1.43≈4.2.eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(u)eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))·(ui－eq\x\to(u))5.54496.058341959.00表中ui＝lnyi，eq\x\to(u)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,u)i.解(1)對y＝aebx取對數(shù)，得lny＝bx＋lna，設(shè)u＝lny，c＝lna，先建立u關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程．b＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)ui－\x\to(u),\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(9.00,83)≈0.108≈0.11，c＝eq\x\to(u)－beq\x\to(x)≈6.05－0.108×5.5＝5.456≈5.46，a＝ec≈e5.46≈235.∴模型②的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝235e0.11x.(2)由表格中的數(shù)據(jù)，知30407>14607，即eq\f(30407,\i\su(i＝1,10,)yi－\x\to(y)2)>eq\f(14607,\i\su(i＝1,10,)yi－\x\to(y)2)，即1－eq\f(30407,\i\su(i＝1,10,)yi－\x\to(y)2)<1－eq\f(14607,\i\su(i＝1,10,)yi－\x\to(y)2)，∴Req\o\al(2,1)<Req\o\al(2,2)，模型①的決定系數(shù)Req\o\al(2,1)小于模型②的Req\o\al(2,2)，說明回歸模型②的擬合效果更好．2022年時，x＝13，預(yù)測旅游人數(shù)為eq\o(y,\s\up6(^))＝235e0.11×13＝235e1.43≈235×4.2＝987(萬人)．反思感悟指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a回歸問題的處理方法(1)函數(shù)y＝ebx＋a的圖象，如圖所示．(2)處理方法：兩邊取對數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓(xùn)練1已知某種細菌的適宜生長溫度為10℃～25℃，為了研究該種細菌的繁殖數(shù)量y(單位：個)隨溫度x(單位：℃)變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如表：溫度x/℃12141618202224繁殖數(shù)量y/個2025332751112194對數(shù)據(jù)進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如表所示：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(k)eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,7,)(ki－eq\x\to(k))2eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\x\to(x))·(ki－eq\x\to(k))18663.81124.3142820.5其中ki＝lnyi，eq\x\to(k)＝eq\f(1,7)eq\i\su(i＝1,7,k)i.(1)請繪出y關(guān)于x的散點圖，并根據(jù)散點圖判斷y＝bx＋a與y＝哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程類型(只做出判斷，不必說明理由)；(2)當(dāng)溫度為25℃時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預(yù)測值為多少？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2,3，…，n)，其經(jīng)驗回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(β,\s\up6(^))u＋eq\o(α,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).參考數(shù)據(jù)：e5.2≈181.解(1)繪出的散點圖如圖所示，根據(jù)散點圖判斷y＝更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量y關(guān)于x的回歸方程類型．(2)∵y＝，設(shè)k＝lny，則k＝c2x＋lnc1，先建立k關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程．∴c2＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xi－\x\to(x)ki－\x\to(k),\i\su(i＝1,7,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(20.5,112)≈0.2，lnc1＝eq\x\to(k)－c2eq\x\to(x)＝3.8－0.2×18＝0.2，∴c1＝e0.2，y＝＝e0.2x＋0.2，當(dāng)溫度為25℃時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預(yù)測值為e5.2≈181.二、冪函數(shù)模型y＝αxβ(α＞0)例2某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))246.65636.8289.81.6eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))1469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的經(jīng)驗回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)測值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)測值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經(jīng)驗回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).解(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的經(jīng)驗回歸方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的經(jīng)驗回歸方程．由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y關(guān)于w的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時，年銷售量y的預(yù)測值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6(t)，年利潤z的預(yù)測值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32(千元)．②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以當(dāng)eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值．故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預(yù)測值最大．反思感悟冪函數(shù)型問題的處理方法冪函數(shù)型y＝axn(n為常數(shù)，a，x，y均取正值)兩邊取常用對數(shù)lgy＝lg(axn)，即lgy＝nlgx＋lga，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y′＝lgy，,x′＝lgx，))原方程變?yōu)閥′＝nx′＋lga，然后按線性回歸模型求出n，lga.跟蹤訓(xùn)練2某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成．每件產(chǎn)品的非原料成本y(元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(千件)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如表數(shù)據(jù)：x12345678y1126144.53530.5282524根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖．觀察散點圖，兩個變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型y＝a＋eq\f(b,x)和指數(shù)函數(shù)模型y＝cedx分別對兩個變量的關(guān)系進行擬合．已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝96.54e－0.2x，lny與x的樣本相關(guān)系數(shù)r1＝－0.94.參考數(shù)據(jù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中ui＝\f(1,xi)))：eq\i\su(i＝1,8,u)iyieq\x\to(u)eq\x\to(u)2eq\i\su(i＝1,8,u)eq\o\al(2,i)183.40.340.1151.53eq\i\su(i＝1,8,y)ieq\i\su(i＝1,8,y)eq\o\al(2,i)eq\r(0.61×6185.5)e－236022385.561.40.135(1)用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程；(2)用樣本相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好(精確到0.01)，并用其估計產(chǎn)量為10千件時每件產(chǎn)品的非原料成本．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經(jīng)驗回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\x\to(u)\x\to(v),\i\su(i＝1,n,u)\o\al(2,i)－n\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u)，樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\x\to(u)\x\to(v),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,n,u)\o\al(2,i)－n\x\to(u)2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,n,v)\o\al(2,i)－n\x\to(v)2)))).解(1)令u＝eq\f(1,x)，則y＝a＋eq\f(b,x)可轉(zhuǎn)化為y＝a＋bu，先建立y關(guān)于u的經(jīng)驗回歸方程，因為eq\x\to(y)＝eq\f(360,8)＝45，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,u)iyi－8\x\to(u)\x\to(y),\i\su(i＝1,8,u)\o\al(2,i)－8\x\to(u)2)＝eq\f(183.4－8×0.34×45,1.53－8×0.115)＝eq\f(61,0.61)＝100，則eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(u)＝45－100×0.34＝11，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝11＋100u，所以y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝11＋eq\f(100,x).(2)y與eq\f(1,x)的相關(guān)系數(shù)為r2＝eq\f(\i\su(i＝1,8,u)iyi－n\x\to(u)\x\to(y),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,8,u)\o\al(2,i)－8\x\to(u)2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,8,y)\o\al(2,i)－8\x\to(y)2))))＝eq\f(61,\r(0.61×6185.5))≈0.99.因為|r1|＜|r2|，所以用反比例函數(shù)模型擬合效果更好，當(dāng)x＝10時，y＝eq\f(100,10)＋11＝21(元)，所以當(dāng)產(chǎn)量為10千件時，每件產(chǎn)品的非原料成本為21元．1．知識清單：(1)指數(shù)函數(shù)模型．(2)冪函數(shù)模型．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化思想．3．常見誤區(qū)：非線性經(jīng)驗回歸方程轉(zhuǎn)化為經(jīng)驗回歸方程時的轉(zhuǎn)化方法．1．給出下列說法：①以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出非線性經(jīng)驗回歸方程，設(shè)z＝lny，經(jīng)計算得到經(jīng)驗回歸方程eq\o(z,\s\up6(^))＝0.3x＋4，則c，k的值分別是e4和0.3；②根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，若eq\o(b,\s\up6(^))＝2，eq\x\to(x)＝1，eq\x\to(y)＝3，則eq\o(a,\s\up6(^))＝1；③若變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，且變量y與z正相關(guān)，則x與z也正相關(guān)．其中正確說法的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3〖答案〗C〖解析〗由非線性經(jīng)驗回歸方程的求解過程可知①正確；易知②正確；根據(jù)y與z正相關(guān)，y與x負相關(guān)，可知x與z負相關(guān)，③錯誤．2．已知變量y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝ebx－0.5，其一組數(shù)據(jù)如表所示：x1234yee3e4e6若x＝5，則預(yù)測y的值可能為()A．e5B．C．e7D．〖答案〗D〖解析〗由eq\o(y,\s\up6(^))＝ebx－0.5，可得lneq\o(y,\s\up6(^))＝bx－0.5