專題08方程與不等式【必拿分】

一、規(guī)律分析

“方程”通常出現(xiàn)在天津中考數(shù)學(xué)選擇題部分第7題或第9題，“不等式”通常出現(xiàn)在天津中考數(shù)學(xué)解答題部分第

19題，主要涵蓋以下幾個(gè)考點(diǎn)：

1.解一元二次方程；

2.解二元一次方程組；

3.解一元一次不等式組。

二、考點(diǎn)詳解

1.解一元二次方程

(1)用“配方法”解一元二次方程

①把原方程化為a/+bx+c=0(aWO)的形式；

②方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1,并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，可以通過直接開平方法求解；如果右邊是負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解。

(2)用“因式分解法”解一元二次方程

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；

②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；

③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；

④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。

(3)根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

①一元二次方程。/+加+'=0QW0)的根與根的判別式(△=廬-4℃)有如下關(guān)系

1°當(dāng)△>?時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；反過來，當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，△X)。

2°當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；反過來，當(dāng)方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，△二。。

3°當(dāng)△<()時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根；反過來，當(dāng)方程無實(shí)數(shù)根時(shí)，△VO。

②根與系數(shù)的關(guān)系

bc

如果xi,X2是一兀二次方程ax2+6x+c=0(a*0)的兩根，那么xi+x2=---,xix2——

aa

2.解二元一次方程組

(1)用“代入法”解二元一次方程組

①從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡單的方程，將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來；

②將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；

③解這個(gè)一元一次方程，求出x(或y)的值；

④將求得未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；

⑤把求得的X、y的值寫在一起，用［x=a的形式表示，就是方程組的解。

ly=b

（2）用“加減法”解二元一次方程組

①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某

一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)；

②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；

③解這個(gè)一元一次方程，求得x（或y）的值；

④將求得未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；

⑤把求得的x、y的值寫在一起，用，的形式表示，就是方程組的解。

ly=b

3.解一元一次不等式（組）

（1）不等式的基本性質(zhì)

①不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或含有字母的式子，不等號的方向不變，

即若a>b,那么a+m>b+m；

②不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變，

即若a>6,且卬>0,那么a/>6必或包>包；

mm

③不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，

即若a>6,且必VO,那么印?<麻或包〈包；

mm

（2）不等式的變形

①兩邊都加、減同一個(gè)數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項(xiàng)”，此時(shí)不等號方向不變，但移項(xiàng)要變號。

②兩邊都乘、除同一個(gè)數(shù)，只有乘、除負(fù)數(shù)時(shí)，不等號方向才改變。

（3）解一元一次不等式步驟

①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1。以上步驟中，只有“去分母”和“系數(shù)化為1”可

能改變不等號方向，其他都不會改變不等號方向。

三、真題在線

1.（2022?天津中考?第9題）方程，+4x+3=0的兩個(gè)根為（）

A.xi=l,X2=3B.xi=-LX2=3

C.xi=1,X2~~~3D.xi=-1,X2~~~3

解：X2+4X+3=0,

（x+3）（x+1）=0,

x+3=0或x+l=0,

XI-—3,X2~~-1,

答案：D.

2.(2021?天津中考?第7題)方程組HU=：的解是()

(3%+y=4

fx=0(x=2-1%=3

A.]B.].C.]D.]

(y=Q2(y=1(y=-2Qty=-Q3

解」:+y=2幺

(3x+y=4@

由②-①，得：2x=2,

??X=1,

把X=1代入①式，得：l+y=2,

解得：y=l,

所以，原方程組的解為

答案:B.

3.(2020?天津中考?第7題)方程組px+yn*的解是()

\x—y=—1

AA，[(xy=21B-](yx==_—23C'|(yx==02-D(,%==3-1

解:產(chǎn)+y=4%

[x-y=-1@

①+②得：3x=3,

解得：x=l,

把x=l代入①得：y=2,

則方程組的解為｛;二

答案:A.

2x>x-1,①

4.（2022?天津中考?第19題）解不等式組

.%+1<3.②

請結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

（I）解不等式①，得后-1；

（II）解不等式②，得xW2；

（III）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來:

IIIIII?

-2-10123

（IV）原不等式組的解集為-f.

解：（I）解不等式①，得X2-1；

（II）解不等式②，得x<2；

（III）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來:

^2-10123

(IV)原不等式組的解集為-1WXW2,

答案：x2-1,xW2,-1WXW2.

5.（2021?天津中考?第19題）解不等式組1”+4'3,2請結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

（6%<5%+3.②

（I）解不等式①，得2-1;

（II）解不等式②，得xW3；

（III）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

-5-4-3-2-1012345

（IV）原不等式組的解集為.

解：（I）解不等式①，得X，-1；

（II）解不等式②，得xW3；

（III）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

-5-4-3-24012345

（IV）原不等式組的解集為-1WXW3.

答案：xN-1,-1W%W3.

6.（2020?天津中考?第19題）解不等式組F*“2x+l，@

12x4-5>-1.（2）

請結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

（I）解不等式①，得xWl；

（II）解不等式②，得x》-3；

（III）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

（IV）原不等式組的解集為-3WxWl.

!IIIII【.

-4-3-2-1012

解：（I）解不等式①，得xWl；

（II）解不等式②，得X2-3；

（III）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

III.,、

-4-3-2-102

(IV)原不等式組的解集為-3WxWl.

答案：xWl,x2-3,-3WxWl.

四、趨勢預(yù)測

重點(diǎn)關(guān)注“解二元一次方程組”和“解一元一次不等式組”。

7.對于二元一次方程組［二二將①式代入②式，消4可以得到()

A.x+2x-1=7B.x+2x-2=7C.x+x-1=7D.x+2x+2=7

解：一1幺，將①式代入②式,

1%+2y=7(2)

得x+2(x-1)=7,

??x+2x-2=7,

答案:B.

8.方程組管十丈\的解是(|

(6%—zy=11

.『三?尸；.尸x=2

A1BC3D.

(y=5(y=2{y=-1y-i

(3x+2y=7@,

(6%—2y=11@

①+②得，x=2,

把x=2代入①得，6+2y=7,解得y=±,

(x=2

故原方程組的解為：1.

\y=2

答案：D.

9.已知方程組匕3?=；,則x-y的值為()

(%+zy=1/

5

A.-B.2C.3D.-2

3

解：由方程組可得：2x+y-(x+2y)=4-1=3,

則x-y=3f

答案：C.

10.我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公,眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一

房空.”詩中后面兩句的意思是：如果一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果一間客房住9人，那么就空

出一間客房，若設(shè)該店有客房x間，房客y人，則列出關(guān)于x、y的二元一次方程組正確的是()

卜一二(7x+7=y

A7yB.八'

A-[9(x-l)=y(Q9(r久—1)=y

f7x+7=yD.莊一「

{9x-l=y(9x—1=y

解：設(shè)該店有客房X間，房客y人;

根據(jù)題意得：

答案：B.

II.端午節(jié)前夕，某食品加工廠準(zhǔn)備將生產(chǎn)的粽子裝入/、5兩種食品盒中，/種食品盒每盒裝8個(gè)粽子，3種食

品盒每盒裝10個(gè)粽子，若現(xiàn)將200個(gè)粽子分別裝入N、3兩種食品盒中（兩種食品盒均要使用并且裝滿），則不

同的分裝方式有（）

A.2種B.3種C.4種D.5種

解：設(shè)/種食品盒x個(gè)，2種食品盒y個(gè)，根據(jù)題意得:

8x+10y=200,

?\y=20-0.8x,

'%=5(%=10x=15(x=20

???方程的正整數(shù)解為:y=16，ty=12y=8，［y=4>

答案：C.

12.若工=-1是方程/+%+加=0的一個(gè)根,則此方程的另一個(gè)根是（)

A.-1B.0C.1D.2

解：設(shè)/+%+加=0另一個(gè)根是a,

-l+a=-1,

...a=0,

答案：B.

13.方程f-2x-24=0的根是()

A.xi=6,X2=4B.xi=6,X2=-4

C.x\~~~6,%2=4D.xi=-6,X2=-4

解：x2-2x-24=0,

(x-6)(x+4)=0,

x-6=0或x+4=0,

解得X1=6,X2=-4,

答案：B.

14.若關(guān)于x的一元二次方程Qf+2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍是（）

A.aWOB.。>-1且aWOC.心-1且20D.a>-1

解：由題意可得；［（a22H+04QO'

：.a>-1且aWO,

答案：B.

15.二元一次方程組［二￡=5的解是_{；二.

解」乂+2療①，

{y=2%②

將②代入①，得x+4x=5,

解得x=1,

將x=l代入②)，得y=2,

???方程組的解為

口木：(y=2.

16.若一元二次方程/+x-c=O沒有實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍是jV-L.

解：根據(jù)題意得△=12+4CV0,

解得cV—

答案：?！匆话?

1

17.設(shè)XI與X2為一元二次方程y2+3x+2=0的兩根，則(XI-X2)2的值為20

角軍：由題意可知:Xl+X2=-6,X1X2=4f

(xi-X2)2=(xi+%2)2-4x1X2

=(-6)2-4X4

=36-16

=20,

答案：20.

18.解不等式組:/A6：：①

請結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

(I)解不等式①，得x(3.

(II)解不等式②，得-2.

(Ill)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

??????IIIA

-4-3-2-101234

(IV)所以原不等式組的解集為24W3.

U-l<3(x+l)@-

(I)解不等式①，得xW3,

(II)解不等式②，得X2-2,

(III)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

(IV)所以原不等式組的解集為-2<xW3,

答案：(I)xW3；

(II)X2-2；

(Ill)數(shù)軸表示見解答;

(IV)—

?____??__?____?___??A

-4-3-2-101234

19.解不等式組2①.請結(jié)合題意完成本題的解答(每空只需填出最后結(jié)果).

解：解不等式①，得x>-2.

解不等式②，得.9.

把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

-3-2-1012345

所以原不等式組解集為-2<x<3.

解：解不等式①，得x>-2.

解不等式②，得xW3.

把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

-1---------------1-----1---------1------11------L->

-3-2-1012345

所以原不等式組解集為-2VxW3,

答案：x>-2,xW3,-2<xW3.

2Y+1>%+2

{2x—1(x+4)

(2x+l>x+2①

解：^^—［〈★(久+旬②，

解不等式①，得xNl,

解不等式②，得x<2,

故原不等式組的解集為：

(3(%-1)<2x-2?

21.解不等式組x+3x+2^，并將其解集在數(shù)軸上表示出來.

IIIIIIIIIIIII?

-6-5Y-3-2-10123456

解：由①得：

由②得：x<6,

???不等式組的解集為xWl,

解集表示在數(shù)軸上，如圖所示：

-6-5-4-3-240123456

(2(%—1)>—4

22.解不等式組：與<“一1并寫出它的正整數(shù)解.

解：解不等式2(x-1)>-4得X2-1.

3%—6

解不等式二一<r-1得x<4,

不等式組的解集為：-1WXV4.

...不等式組的正整數(shù)解為：1,2,3.

23.某水果經(jīng)營戶從水果批發(fā)市場批發(fā)水果進(jìn)行零售，部分水果批發(fā)價(jià)格與零售價(jià)格如下表:

水果品種梨子菠蘿蘋果車?yán)遄?/p>

批發(fā)價(jià)格(元4g)45640

零售價(jià)格(元/左g)56850

請解答下列問題:

(1)第一天，該經(jīng)營戶用1700元批發(fā)了菠蘿和蘋果共300奴，當(dāng)日全部售出，求這兩種水果獲得的總利潤？

(2)第二天，該經(jīng)營戶依然用1700元批發(fā)了菠蘿和蘋果，當(dāng)日銷售結(jié)束清點(diǎn)盤存時(shí)發(fā)現(xiàn)進(jìn)貨單丟失，只記得這

兩種水果的批發(fā)量均為正整數(shù)且菠蘿的進(jìn)貨量不低于88館，這兩種水果已全部售出且總利潤高于第一天這兩種

水果的總利潤，請通過計(jì)算說明該經(jīng)營戶第二天批發(fā)這兩種水果可能的方案有哪些？

解：(1)設(shè)第一天，該經(jīng)營戶批發(fā)了菠蘿Mg,蘋果/g,

依題意得:&X騫。0,

解得:｛江湍

???(6-5)x+(8-6)y=(6-5)X100+(8-6)X200=500(元).

答：這兩種水果獲得的總利潤為500元.

1700—5m?

(2)設(shè)購進(jìn)加像菠蘿，則購進(jìn)-?------彷平果m,

6

m>88

依題意得:"l、,八1700—5m

(6—5)??i+(8—6)X------g-----〉500

解得：88W加V100.

1700—5m

又,：m,均為正整數(shù),

6

???加可以為88,94,

?,?該經(jīng)營戶第二天共有2種批發(fā)水果的方案,

方案1：購進(jìn)88飯菠蘿，210版蘋果；

方案2：購進(jìn)94飯菠蘿，205版蘋果.

24.為貫徹執(zhí)行“德、智、體、美、勞”五育并舉的教育方針，內(nèi)江市某中學(xué)組織全體學(xué)生前往某勞動(dòng)實(shí)踐基地開

展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)