2025屆高三年級10月新起點(diǎn)調(diào)研模擬試卷（二）

數(shù)學(xué)試題

2024.10

★祝考試順利★

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米，黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.

3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語、等式與不等式、函數(shù)及其性質(zhì)、指對暴函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其

應(yīng)用.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合”={xlx=4〃+1/eZ},N={x|x=3〃+1/eZ},尸={x|x=12〃+1,”eZ},貝！|（）

A.MuPB.NuP

C.McN匚PD.Mr~\N=0

2.己知命題夕：Hxe[0,3],a=-/+2x：命題q:e[—1,2],/一8<0.若夕為假命題，q為真命

題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.[-3,l]B,[-7,-3）U（1,2]C.（-。,2]D.（-。，-3）u（l，2]

3.已知定義在R上的奇函數(shù)/（x）滿足：/（x）=/（x-6）,且當(dāng)0<x<3時(shí)，

/、Q+10gns（X+1）,0<X<l/、/、

/（x）=,7AI-為常數(shù)），貝|J/（2O23）+/（2O25）的值為（）

A.-2B.OC.lD.2

4.函數(shù)/（力=%05兀「付——）》€(wěn)（—4,4）的圖象大致為（）

yk

c.

5.若a=log3gb=,則的大小關(guān)系為()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.c<b<a

6.核酸檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級增加的

靶標(biāo)DNA實(shí)時(shí)監(jiān)測，在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號強(qiáng)度達(dá)到閾值時(shí)，DNA的數(shù)量工與擴(kuò)增次數(shù)

〃滿足lgX“=〃lg(l+p)+lgXo,其中0為擴(kuò)增效率，X“為DNA的初始數(shù)量.已知某被測標(biāo)本DNA擴(kuò)

增10次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍，那么該樣本的擴(kuò)增效率?約為()(參考數(shù)據(jù)：

10°-2?1.585,1O-0-2?0.631)

A.36.9%B.41.5%C.58.5%D.63.4%

7.己知函數(shù)/("=口》2-2%+11?有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)石,%2，則/(玉)+/(々)的取值范圍為()

A」一",一若]B.(-oo,-V5jC.(一e,-3]D.(-oo,-3)

8.己知函數(shù)/(x)=優(yōu)①>0且aw1)滿足/(I)>1,且函數(shù)y=log,(/—?—1)在[2,3]上單調(diào)遞增，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

人”)C.(l,4]D]|,4

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知a>0,b>0,ab=2,貝|()

A.log2a?log2b的最大值為g

B.2"+4,的最小值為8

的最小值為4后

172

D.—H—的最小值為一

ba2

10.已知函數(shù)/(x)=k-2|e'-a,則()

AJ(x)在(1,2)上單調(diào)遞增

B.當(dāng)x=1和x=2時(shí)，函數(shù)/(x)分別取得極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)

C./(x)無最大值，有最小值

D.當(dāng)aw(1,2)時(shí),/(x)有三個(gè)零點(diǎn)

11.若定義在R上的函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,2)成中心對稱，且/(x+1)是偶函數(shù)，貝()

AJ(x)圖象關(guān)于x=1軸對稱

B./(x+2)-2為奇函數(shù)

C./(x+2)=/(x)

20

D.￡/(/)=42

i=0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.^20=54=—,則工+1=_________.

10ab

13.己知函數(shù)/(x)=x"-logfex(a>l,b>1)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則ab的取值范圍為.

14.設(shè)函數(shù)/⑴在R上存在導(dǎo)數(shù)/'(%),對于任意的實(shí)數(shù)x,有/(%)-/(一力+2%=0,當(dāng)xe(-oo,0]

時(shí)，/'("+1<2%,若/(2+m)—/(一m)<2m+2,則實(shí)數(shù)切的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題13分)

已知集合/={x“2x-6|V4},5={x|x2-4mx+(2m+1)(2m-1)<o}.

(1)若夕：,且夕是4的必要不充分條件，求加的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=log2(ax2—3tzx+2)的定義域?yàn)镃,且4cC#0,求a的取值范圍.

16.(本小題15分)

Q

已知函數(shù)/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x?0時(shí)，f[x}=a-y-yx,且

(1)求。的值，并求出/(x)的解析式；

(2)若A/(x)—9，-9-工一14W0在xe(O,+”)上恒成立，求X的取值范圍.

17.(本小題15分)

設(shè)a>0且aw1,函數(shù)/(x)=log?(x-l),g(x)=logfl(2x+t)(teR).

⑴當(dāng)”1時(shí)，求不等式2/(x”g(x)的解集；

(2)若函數(shù)〃(x)=a/㈤+什+2/+2在區(qū)間(1,3］上有零點(diǎn),求/的取值范圍.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)g(x)=21n(—x-l)+cos(—x-2),函數(shù)/(x)與g(x)的圖像關(guān)于x=-l對稱，.

(1)求/(x)的解析式；

(2)/(%)-14辦在定義域內(nèi)恒成立，求a的值；

(3)求證：2八工—3卜M4，?eN*-

k=n+\I?Z)

19.(本小題17分)

偏導(dǎo)數(shù)在微積分領(lǐng)域中有重要意義.定義：設(shè)二元函數(shù)2=/卜/)在點(diǎn)(%,%)附近有定義，當(dāng)y固定在

%而x在天處有改變量Ax時(shí)，相應(yīng)的二元函數(shù)z=/(x,y)有改變量A2=/(XO+AXJO)-/(XO/O),

如果lim—存在，那么稱此極限為二元函數(shù)z=/(x,y)在點(diǎn)(%,%)處對了的偏導(dǎo)數(shù)(計(jì)算時(shí)相當(dāng)于將

—Ax

dz/、/、

，視為常數(shù))，記作丁，若Z=/(XJ)在區(qū)域。內(nèi)每一點(diǎn)(X4)對X的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)

M國,%)

偏導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)關(guān)于X的偏導(dǎo)函數(shù)，它被稱為二元函數(shù)z=/(x,y)對x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作一.以上定義

OX

同樣適用于三元函數(shù).

PVdPdVST

(1)氣體狀態(tài)方程描述的三個(gè)變量P、V,T滿足：一=R(R是非零常量).求------------的值,

TdVdTdP

并說明其為常數(shù).

8z

(2)求值：對2=片飛由上的偏導(dǎo)數(shù)記;

：,2

JC~

(3)將偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于包絡(luò)線在金融領(lǐng)域可以發(fā)揮重要價(jià)值.在幾何學(xué)中，某個(gè)平面內(nèi)曲線族的包絡(luò)線是跟

該曲線族的每條線都至少有一點(diǎn)相切的一條曲線，例如：曲線族C：(x-/)2+y2=l的包絡(luò)線為y=±l.不

難發(fā)現(xiàn)：對于任何一個(gè)給定的毛的值，包絡(luò)線與原曲線的切點(diǎn)(后,%)的為總是對應(yīng)y值在參數(shù)取遍后得

到的極值.已知函數(shù)/(X)=/工+一必“工。，aO)的包絡(luò)線為g(x).

(i)求證：/(x)<g(x).

(ii)設(shè)/(x)的極值點(diǎn)構(gòu)成曲線。(x),求證：當(dāng)。>1時(shí)，。(力與g(x)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

2025屆高三年級10月新起點(diǎn)調(diào)研模擬試卷(二)?數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分標(biāo)準(zhǔn)

1.C

2.B命題?：王式0,3],。=一/+2%為假命題，q=—Y+2x在xe[0,3]上無解，即N與

y=-x2+2x,xe[o,3]函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，由圖可知：或<?<一3,

「9]—Q—8Ko

命題1：\/1€[_1,2]/2+6?―840為真命題，貝“4+2。_8<0，解得_7<q<2,綜上所述：實(shí)數(shù)a

的取值范圍為[—7,-3)”1,2].

3.D因?yàn)?(x)在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=a+logo,51=0,解得a=0,所以

log(x+l)(0<x<l)

〃x)=,05

x-(x-2)(1<x<3)

因?yàn)?(x)=/(x—6),所以/(%)的周期為6,所以〃2023)+/(2025)=/⑴+/⑶=-1+3=2.

4.B因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又/(—x)=；coseX)=—；cos7u?(eX—b)=—/(%),

177

即/(x)=/。$7a，(e*-b)為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤，又當(dāng)x=]時(shí)，COSTU=cos$=0,當(dāng)

時(shí)，此時(shí)cosm)。，又易知當(dāng)”>。時(shí)，ex-e-^>0>所以

時(shí)，/(x)>0,結(jié)合圖象可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.

5.A因?yàn)榱?log3%是(0,+“)上的增函數(shù)，所以0=log31<log3g<log33=l,即0<a<l,又因?yàn)?/p>

y=5工是增函數(shù),=5°」〉5°=1,又y=x°」是[0,+“)上的增函數(shù)，所以

G］=5°」〉［||〉］￡)=1,即b>c〉l,綜上所述，。力,c的大小關(guān)系為a<c<6.

6.C由題意可知，lglOOXo=lOlg(l+同+lgXo，即2+lgX0=lOlg(l+p)+lgXo，所以

1+^=10°-2?1.585,解得夕=0.585.

7.D由/(x)="2—2x+lnx(x>0),求導(dǎo)得廣⑴=2辦—2+工=也三出，由函數(shù)/⑴有兩

XX

A=4—8tz>0

個(gè)不同的極值點(diǎn)石廣2，得方程2。/—2x+l=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，貝人x+x=—>0,解得

12a

x.x=—>0

1922a

0<Q<一，于是

2

ax

/(石)+/(%2)=i-2再+InXi+ax；-2x2+lnx2

=〃+x)2-2(再+12)+1口(再％2)----l-ln(26z),h(a)------l-ln2tz|0<(7],

2-2XXX2

L-ci2J

求導(dǎo)得/(0)=寧>0,函數(shù)〃(a)=—：—1—In2a在H上單調(diào)遞增，則刈。)</zg]=-3,所

以/(/)+/(%)的取值范圍為/(玉)+/(工2)<-3.

8.B因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=a%a>0且awl)滿足即/(1)=〃>1,所以a>l,又函數(shù)

y=log〃(x2—ax—l)在[2,3]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)8(力=/—^—1在[2,3]上單調(diào)遞增，所以

-<2,33

〈2,解得。<—,所以1<。<一.

[4-2a-l>0'2/2

9.BCD因?yàn)镼>0]>0,〃b=2,

對于A：log2a?log2/)W[log2a:logz^]=[電磬]=；,當(dāng)且僅當(dāng)°=6=正時(shí)等號成立，故A錯(cuò)

誤；

對于B：20+4^=+22b>2^2a-22b=2^2a+2b>2722^=8J當(dāng)且僅當(dāng)〃=2/=1時(shí)等號成立，

故B正確;

對于C：+人3=(Q+〃)(q2_ab+/)=(q+〃)(q2—2+),又

23

a+bN2M=26,a+b222ab=4,Q2+b?—2N2所以a+b324行,當(dāng)且僅當(dāng)Q=6=應(yīng)時(shí)等號

成立，故C正確；

22

IT1ba+ba+b1/22、>Hti\2,/\

對于D：—I—=-------=-------=——Fb,設(shè)/r(，)=—kb2(b7>0n),則nl

baab22\bJb

=_2+26=2僅-―1)=2(6一])(6+]),所以當(dāng)。<6<1時(shí)/⑸<0,則/。)單調(diào)遞減，當(dāng)

v7b-Z?2b-

112

時(shí)/'(9>0,則/⑸單調(diào)遞增，所以/僅"/⑴=3,所以：+―的最小值為一，當(dāng)且僅當(dāng)

ba2

6=1、。=2時(shí)取等號，故D正確.

10.CD

11.BD因?yàn)槎x在R上的函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,2)成中心對稱，所以

/(-x)+/(4+x)=4,/(l-x)+/(3+x)=4,又/(x+1)是偶函數(shù)，所以/(x+l)=/(l—x),且函

數(shù)/(X)的圖象關(guān)于X=1軸對稱，即

/(x+l)+/(x+3)=4,/(x+3)+/(x+5)=4^>/(x+l)=/(x+5),即

/(x)=/(x+4)=4-/(-x),對于A項(xiàng)，由上不能得出/(x)圖象關(guān)于x=l軸對稱，只能得出/(x)

關(guān)于(0,2)中心對稱，故A錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，易知/(x+2)—2+/(2—x)-2=0,所以/(x+2)-2為

奇函數(shù)，故B正

確；對于C項(xiàng)，由上只能得出/(x)的一個(gè)周期為7=4,故C錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，由上易知

/(2)=2=/(0),/(1)+/(3)=4,所以

20

￡/(Z)=5x[/(0)+/(1)+/(2)+/(3)]+/(20)=40+/(0)=42,故D正確；

z=0

12.-1

13.ee,+oo依題意得g(x)=x"與丸(x)=log/只有一個(gè)交點(diǎn)，即兩曲線相切,則g'(x)=〃'(x)只有

I7

一個(gè)解，

??.4/7=工，化簡得x=將其代入/(x)得

---+—log^(tzlnZ7)=0,/.log^e+log^(alnb)=0,即

ainba」

Jb，1'

eainb=1,a=—^—r:a>1,—^—>1,/.1<Z)<ee,則〃b=設(shè)03)=-TT，則

elnZ?einbM')eln隊(duì)J

/j_A11_

他)在1?單調(diào)遞減,0⑸〉。ee=ee,「.ab>ee,「.副的取值范圍是

e(lnb)I\I)

ee,+??

k)

14.(-<?,-1]令函數(shù)g(x)=/(x)-x2+x,因?yàn)閤e(-e,0],時(shí)/'(x)+l<2x,所以

g,(x)=/,(x)-2x+l<0,所以函數(shù)g(x)在xe(-”,0]上單調(diào)遞減，又因?yàn)?/p>

g(x)-g(-x)=/(x)-x2+x-[/(-x)-(-x)2-x]=/(x)-/(-x)+2x=0,所以函數(shù)

g(-x)=g(x),所以g(x)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，可得/(X)在(0,+動上單調(diào)遞增，若

f(2+加)一/(一加)<2加+2則g(2+加)+(2+加了++(—加)<2m+2,整理

得g(2+^)Wg(一加)，所以|2+加閆一同，兩邊平方可得加+4切+44/,解得機(jī)<一1,即實(shí)數(shù)加

的取值范圍為

15.(1)由題意知幺={52%一5|<3}=[1,4],

解不等式——4M+(2機(jī)+1)(2%—1)W0,解得2〃z-l<x<2m+l,所以8=[2掰-1,2加+1],

因?yàn)?。?的必要不充分條件，所以8是/的真子集,

2m-1>1,

所以《且等號不同時(shí)成立,

2m+1<4,

33

解得IV加<一,即加的取值范圍是1,-

22

(2)因?yàn)?cCw0,所以4、2一3%+2>0在XE[1,4]上有解,

23

所以Q>一--+-,

XX

人1「1JI23c2々「59一

令,二一￡—,1,貝！J7-1=-2彳+3zG—,

x4xx88

所以a>2,即。的取值范圍是住,+“

818J

1Q

16.(1)因?yàn)?⑴是偶函數(shù)，所以/(—l)=/(l)=3a—§=§,

解得a=l,

當(dāng)x<0時(shí)，可得-x>0,所以=力=3一，34)=3一，3"

所以函數(shù)/(x)的解析式為/(x)=,/

3-3,x<0.

(2)由⑴知，當(dāng)x〉0時(shí)，/(力=3*—3—工>0,

因?yàn)?/(x)—9、—9一一1440在xe(0,+“)上恒成立，

所以/<9,+9-，+14_(3一尸)2+16_,

-3”-3r3%-3-x3'-3r

又因?yàn)?工-3T+16->2J(3,-3-).——=8,

3A-3-xv'r-Yx

當(dāng)且僅當(dāng)3工—3T=3「；x時(shí),即x=l°g3(、后+2)時(shí)等號成立，

所以X<8,即X的取值范圍是(一。,8]

17.(1)當(dāng)/=1時(shí)，不等式2/(x)?g(x)可化為21oga(x-l)?loga(2x+l),

x—1>0

若0<avl,貝卜2x+1>0,解得x>4,

(x-1)2>2x+l

所以不等式2/(x)<g(x)的解集為[4,+8)；

x—1>0

若”1,貝12x+l>0,解得1<、<4,

(x-1)2<2x+l

所以不等式"(x)Wg(x)的解集為(1,4］；

綜上所述，當(dāng)0<a<l時(shí)，不等式2/(同48(力的解集為［4,+8)；

當(dāng)4>1時(shí),不等式2/(x)Vg(x)的解集為(1,4］；

(2)由題意可知/z(x)=JU+及2+2%+2=￡+%+2,+1,

令加,+x+2,+1=0,即，(*+2)=+,因?yàn)閤w(1,3］,所以x+1w(2,4］,

12?o

所以/。0,/+2/0,所以！=

tx+1

設(shè)機(jī)=x+le(2,4］,則)=_(—_0+2=_(僧+二］+2,

tmmJ

因?yàn)楹瘮?shù)歹=一1+』］+2在(2,4］上單調(diào)遞減，

111324

所以---<-<——，所以——<t4----.

4t2311

18.(1)依題意，設(shè)/⑴圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(毛,九),

則其關(guān)于x=-1對稱的點(diǎn)(-2-％，%)在g(%)圖像上，

則%=/(%)=g(—2-則/(Xo)=g(—%—2)=2111(%+1)+3%,(后〉一1)

故/(x)=21n(x+l)+cosx,(x>-1)；

(2)令〃(x)=/(x)-1-ax=21n(x+l)+cosx-l-ax,(x>-1),

則在人(x)40在》€(wěn)(—1,+8〉恒成立，

又〃(0)=0,且〃(x)在xe(-l,+8)上是連續(xù)函數(shù)，則x=0為〃(x)的一個(gè)極大值點(diǎn),

2一

h\x)=-------sinx-a,〃'(0)=2—〃=0n〃=2,

x+1

下證當(dāng)a=2時(shí)，〃(》)《0在》€(wěn)(-1,+8)恒成立，

1X

令0(x)=ln(x+1)-x,(p\x)=-------1=--------,

x+1x+1

當(dāng)xe(—1,0),0<x)>0,9(x)在(—1,0)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(0,+co),9'(x)<0,°(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減,

故9(x)<9(0)=0,ln(x+l)Wx在(T,+co)上恒成立，又cosx<l,

則Q=2時(shí)，h(x)=f(x)-l-tzx=2[in(x+l)-x]+(cosx-1)V0恒成立,

綜上，a=2.

(3)由(2)可知：/(x)-l<2x,

2

則/-1<2，即/

2n111

則X/<2------1--------F,??H

k=n+l〃+1〃+22n

又由（2）可知：ln（x+l）Wx在上恒成立,

則Inx<x-1在（0,+。）上恒成立且當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等,

.〃/Cl、-1

令％=----￡(0,1)，HGN，則In------<--------1=------

〃+1〃+1〃+1〃+1

rr111〃+l1/1、1

即----<-In------=In------=ln(〃+1)—In〃，

〃+ln+1n

11

則------1-------H-----F—<ln(n+1)-In〃+ln(n+2)-ln(〃+l)d-----Fln(2〃)-ln(2n-1)

〃+1〃+22n

=ln(2〃)-In?=In2,

2n

綜上，E/<21n2=ln4,即證

k=n+\

TR8PTRTRdVRPV

19.(1)P=-----------=-----7r；/=---—=——；1=----,

VdVV2P8TPR加一萬

名亞n7

dVdTdPVP

dz兀

dz_v.y_vy1