重難點(diǎn)專題1-2抽象函數(shù)的賦值計(jì)算與模型總結(jié)

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

(1)熟悉常見函數(shù)的抽象

賦值法判斷抽象函數(shù)的奇偶性，

2023年新高考1卷，第11題表達(dá)式

周期性

(2)用賦值法判斷抽象函

數(shù)性質(zhì)

2022年新高考2卷，第8題

模塊一熱點(diǎn)題型解讀(目錄)

【題型1］抽象函數(shù)的賦值計(jì)算求值【題型9】指數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式

【題型2］抽象函數(shù)的奇偶性【題型10］幕函數(shù)的抽象表達(dá)式

【題型3】抽象函數(shù)的單調(diào)性【題型11］正弦函數(shù)的抽象表達(dá)式

【題型4】抽象函數(shù)的最值與值域【題型12］余弦函數(shù)的抽象表達(dá)式

【題型5］抽象函數(shù)的對(duì)稱性【題型13］正切函數(shù)的抽象表達(dá)式

【題型6】抽象函數(shù)的周期性【題型14］二次函數(shù)的抽象表達(dá)式

【題型7】一次函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型15］其它函數(shù)的抽象表達(dá)式

【題型8】對(duì)數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式

模塊二核心題型?舉一反三(講與練)

【題型1］抽象函數(shù)的賦值計(jì)算求值

核心?技巧

賦值法是求解抽象函數(shù)問題最基本的方法，一般有以下幾種:

1、……-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解

2024?長沙市第一中適應(yīng)性訓(xùn)練

1.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%),滿足f(x+y)=f(x)f(y)-f(2-x)f(2-y),且〃0片0,

〃-2)=0,貝4(2)=.

2.(2024?福建龍巖?一模)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且〃x+y)+/(x-y)-〃x)〃y)=0,

〃T)=1，貝1J/(O)=

【鞏固練習(xí)1】定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+y)=/(尤)+/(y)+2孫(尤,ydR),/(I)=2,貝U

/(3)=，/(-3)=.

【鞏固練習(xí)2】已知對(duì)所有的非負(fù)整數(shù)x,y(xNy)均有

f(%+y)+/(x-y)-x+y-l=1[/(2x)+f(2y)],若"1)=3,則〃5)=.

【鞏固練習(xí)31(2024-安徽合肥?一模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),且

y)f(x+y)=xyf(x)f(y),f(l)=e,記。==〃2),c=/⑶，則()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

【題型2】抽象函數(shù)的奇偶性

核心?技巧

證明奇偶性：利用定義和賦值的方法找到了(-x)與/(%)的關(guān)系

2024?福建莆田?二模

3.已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足：/(x+y)=/(x)+/(y)-3xy(x+y),證明：)=/(尤)是奇函

數(shù)

2024?長沙市第一中適應(yīng)性訓(xùn)練

4.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)〃x),滿足〃尤+y)=/(x)〃y)—/(2—x))(2—y),且〃0)*0,

/(-2)=0,證明：/(X)是偶函數(shù)

【鞏固練習(xí)1](多選)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：對(duì)任意的羽yeR,/(x+y)=ya)+〃y),則

下列結(jié)論一定正確的有()

A.〃。)=。B./(%-y)=/(x)-f(y)

C./(%)為R上的增函數(shù)D.F(x)為奇函數(shù)

【鞏固練習(xí)2](多選)已知定義在R上的函數(shù)/(月滿足

/(^)=/(x)/(y)-/(x)-/(y)+2,/(O)<2,/(O)^/(l),且〃x)>0,則()

A."0)=1B./(一1)=2

C.f(-x)=2/(x)D./(-^)=/(x)

【鞏固練習(xí)3】(2024.全國.模擬預(yù)測)(多選)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,滿足

f{x}f{y)-f{x)=xy-y>則()

A.f(o)=iB./(-i)=i

c./(x+l)為偶函數(shù)D./(x+l)為奇函數(shù)

【鞏固練習(xí)4】(2024屆韶關(guān)市一模)己知/(X)是定義在R上且不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)。涉

滿足〃岫)=叭8)+"(。)，若/(e)=e,則〃T)+/

C.1——D.1+-

【題型3】抽象函數(shù)的單調(diào)性

判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：

(1)湊：湊定義或湊已知，利用定義或已知條件得出結(jié)論；

(2)賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.

①若給出的是“和型”抽象函數(shù)/(x+y)=…，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：

/(%)一/(i)=/((%一占)+七)一/(%)或/(%)一/(%)=/(%)一/((七一/)+/)；

②若給出的是“積型”抽象函數(shù)/(孫)=…，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：

/\(、

/(^2)-/(^1)=/—一/(%)或/(%)—/(%)=/(%)—/當(dāng),土

5.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+°o),對(duì)于Vx,ye(O,+℃),f(1砂)=域?yàn)?/(y),且當(dāng)X>1時(shí),7(X)<0,

證明：“X)為減函數(shù).

6.已知函數(shù)〃x)是定義在R上的函數(shù).對(duì)任意a,beR,總有〃。+》)=〃。)+/他)，/(-1)=|,

且x<0時(shí)，/(x)>0恒成立.

⑴求“2)

(2)判斷〃x)的奇偶性并證明

(3)證明了(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減

【答案】(1)/(2)=-|,(2)奇函數(shù);(3)在(0,+8)上單調(diào)遞減

【詳解】(1)由對(duì)任意a,beR,總有〃。+6)=/(。)+〃6),

令a=b=0,則/(。+0)=/(0)+/(0),51']/(0)=0,

又由〃-!)=；,可得/⑴=一§,

貝口/(2)=/(1+1)=/'⑴+=+=,故選項(xiàng)A判斷正確；

(2)令a=x,b=-X,則/(x_x)=y(x)+/(-x),

則有/(*)+/(—x)=/(0)=0,故=則7(x)是奇函數(shù)

【鞏固練習(xí)1】(多選)定義在(-s,0)U(0，E)上的函數(shù)/a),對(duì)于任意的工，丫都有

/(xy)=/(x)+/(y)-l;且〃2)=3；當(dāng)x>l時(shí)，/(%)>1；則下列結(jié)論正確的是()

A./(1)=1B./*)是奇函數(shù)

C./(無)在(0,+8)上單調(diào)遞增D./。-1)>7的解集為{x|x<-7或x>9}

【鞏固練習(xí)2】若定義在R上的函數(shù)五尤)對(duì)任意尤eR,都有負(fù)尤1+X。=/(Xi)+汽電)-1成立，且當(dāng)尤

>0時(shí)，xx)>l.

⑴求證:y=/(%)—1為奇函數(shù)；

(2)求證:兀0是R上的增函數(shù)；

(3)若人4)=5,解不等式五3%-2)<3.

【鞏固練習(xí)3】(2023?湖南師大附中?？?已知連續(xù)函數(shù)AM滿足：①Vx,yeR,則有

/(x+y)=/(x)+/(y)-1，②當(dāng)了>。時(shí)，/?<1,?/(D=-2,則以下說法中正確的是()

A./(0)=1

B.〃4x)=4〃x)-4

C./(x)在［-3,3］上的最大值是10

D.不等式/(3f)-2/(x)>〃3x)+4的解集為p|<x<lj

【題型4】抽象函數(shù)的最值與值域

核心?技巧

結(jié)合奇偶性與單調(diào)性來判斷最值或值域

7.已知函數(shù)/'(x)對(duì)任意的x,yeR,總有/(x+y)=/(x)+/(y),若xw(-w,0)時(shí)，/(x)>0,且

9

/(1)=-1,則當(dāng)XC[-3,1]時(shí)，“X)的最大值為()

2

A.0B.-C.1D.2

3

【鞏固練習(xí)1】已知連續(xù)函數(shù)/(x)滿足：①Vx,yeR,則有〃x+y)=/(x)+/(y)—1,②當(dāng)x>0時(shí),

/U)<1,?/(D=-2,則Ax)在［一3,3］上的最大值是

【鞏固練習(xí)2】已知連續(xù)函數(shù)/(尤)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有/(x+y)=/(x)+/(y)，當(dāng)xX)時(shí)，/(尤)<0,

/(1)=—2,則犬功在［-3,3］上的最大值是

【題型5】抽象函數(shù)的對(duì)稱性

核心?技巧

抽象函數(shù)的對(duì)稱性常有以下結(jié)論

(1)f(x+a)=f(b-x)^>f(x)關(guān)于x=軸對(duì)稱，

(2)/(%+4)+/。一力=20=>/(%)關(guān)于1012,，中心對(duì)稱，

2024?江蘇南通?二模

8.(多選)已知函數(shù)了⑺，g(x)的定義域均為R,f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，g(0)=g(2)=l,

g(x+y)+g(x-y)=gO)/(y),貝!1()

A.“X)為偶函數(shù)B.g(x)為偶函數(shù)

C.g(-L-x)=-g(-l+x)D.g(l-x)=g(l+x)

【鞏固練習(xí)1】已知對(duì)任意實(shí)數(shù)無，》函數(shù)“X)滿足〃u+i)=〃x+i)+〃y+i),則()

A.有對(duì)稱中心B.有對(duì)稱軸

C.是增函數(shù)D.是減函數(shù)

【鞏固練習(xí)2X2024?重慶八中?？?(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且/(x+y)=/(x)+/(y),

當(dāng)x>0時(shí)，〃尤)>。，且滿足"2)=1,則下列說法正確的是()

A./(X)為奇函數(shù)

B./(-2)=-l

C.不等式〃2x)-—3)>-2的解集為(一5,+8)

D.f(-2023)+f(-2022)+L+f(0)+L/(2022)+f(2023)=2023

【鞏固練習(xí)3](多選)己知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X)對(duì)任意實(shí)數(shù)為y都有

〃x+y)+〃x—y)=2/(x)/(y),且=則以下結(jié)論一定正確的有()

A.B./(%)是偶函數(shù)

C.關(guān)于0)中心對(duì)稱D./(1)+〃2)+…+”2023)=0

【題型6】抽象函數(shù)的周期性

/核心?技巧/

抽象函數(shù)周期問題一般先求對(duì)稱性

2024山東青島?統(tǒng)考三模

9.設(shè)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，/(1)=1,"2)=0,/(-1)<0,對(duì)任意的整數(shù)均有

/(x+y)=/(x)/(l-y)+/(l-x)/(y).則”55)=.

10.函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,且〃x+2)=-—/(x)=f(2-x),/(365)=-1,則

2￡023/(^)=-

11.(2024屆廈門一中校考)若定義域?yàn)镽的奇函數(shù)于3滿足〃x)=/(X+1)+/(X-1),且/(1)=2,

則了(2024)=.

【鞏固練習(xí)1】2024?山東青島?一模

VxeR,/(%)+/(x+3)=1-/(%)/(%+3),/(-1)=0,則”2024)的值為()

A.2B.1C.0D.-1

【鞏固練習(xí)2】(2024?福建龍巖?一模)已知函數(shù)/'(x)的定義域?yàn)镽,且

/（尤+y）+/（無一y）—/（x）/（y）=o,/（-i）=i.則（）

A.f（o）=oB.y（x）為奇函數(shù)

c./（8）=-lD.“X）的周期為3

【鞏固練習(xí)3】(2024?福建廈門?一模)己知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,Vx,"R,

/(尤+1)/(〉+1)=〃尤+歷一，。一》),若/(0)/。，則/(2024)=()

A.-2B.-4C.2D.4

【鞏固練習(xí)4】函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x,yeR,恒有〃x)+“y)=2d言［/，于］,

12022

若〃1)=，則"T)=，!/(?)=—.

Ln=\

【鞏固練習(xí)5］深圳市寶安區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月調(diào)研數(shù)學(xué)試題

(多選)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且〃x+y)/(x—y)=/2(x)-r(y),f(l)=V3,f^2x+1

為偶函數(shù)，則()

A.〃x）為偶函數(shù)B./（2）=73

2023

c./（3+%）=-f（3-x）D.

k=\

【題型7】一次函數(shù)的抽象表達(dá)式

延心?技巧

一次函數(shù)的抽象表達(dá)式

(1)對(duì)于正比例函數(shù)/(x)=Ax,與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為/(%±丁)=/(%)±/(丁).

(2)對(duì)于一次函數(shù)/(%)=丘+6,與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為/(x±j)=/(x)+f(y)+b.

(3)對(duì)于一次函數(shù)/(%)=左(%—，)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為/(x+y—0)=/(x)+/(y).

12.已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,且的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則同時(shí)滿足下列三個(gè)條

件的一個(gè)，(X)的解析式為〃x)=.

①Vzn,〃eR,/(m+n)=/(m)+/(n)；②〃x)為奇函數(shù)；③在R上單調(diào)遞減.

13.(2023-2024學(xué)年重慶一中高一期中)(多選)已知定義在區(qū)間[-4,6]上的函數(shù)/(x)滿足：對(duì)任

意帆“cR均有〃加-"+1)+〃〃)=/(根)；當(dāng)x>l時(shí)，/(x)>0.則下列說法正確的是

A./(D=0B./(幻在定義域上單調(diào)遞減

C./(X+D是奇函數(shù)D.若/(2)=1,則不等式/(2x)>/(%)+2的解集為(2,3]

【鞏固練習(xí)1】(2024?安徽安慶?二模)(多選)已知定義在R上的函數(shù)/⑺，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)居

?均有f(x+y)=/(x)+/(y)—1,且當(dāng)尤>0時(shí)，/(%)<1,則()

A./(0)=1B./(1)+/(-1)=1

c.函數(shù)人尤)為減函數(shù)D.函數(shù)y=的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱

【鞏固練習(xí)2】(2024?山東泰安?一模)(多選)已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,且"1)=。，若

f(x+y)=/(x)+/(y)+2,則下列說法正確的是()

A./(-1)=-4B./(X)有最大值

C.7(2024)=4046D.函數(shù)/'(*)+2是奇函數(shù)

【題型8】對(duì)數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式

核心;技巧「

對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象表盤云(至栗)

對(duì)數(shù)函數(shù)/(X)=lOga],

/、

Y

其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為/(盯)=/(%)+/(y)或/二=/(%)—/(y)

補(bǔ)充：對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=log“X,其抽象函數(shù)還可以是/(X”)=4(x)

奇偶性證明：只需構(gòu)造/(%)-/(Xj)=/(—-X])一/(%1)=/(—)即可

九1再

14.己知函數(shù)了(尤)滿足：①對(duì)V機(jī)，〃>0,f(m)+f(n)=f(mn)；②=T.請(qǐng)寫出一個(gè)符

合上述條件的函數(shù)/(x)

15.(2024.安徽.二模)已知函數(shù)y="x)("。)滿足〃孫)=/(x)+/(y)—l,當(dāng)x>l時(shí)，

則()

A./(X)為奇函數(shù)B.若/(2x+l)>l,貝U-l<x<0

C.若"2)=3,則〃1024)=TD.若/&)=2,則(乙]=1°

【鞏固練習(xí)1】已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(",滿足〃孫)+1=〃力+〃江且/[￡|=0,則

/(2H)=()

A.1B.11C.12D.-1

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)〃x)的定義域是(0,+e),對(duì)定義域內(nèi)的任意埠士都有

)=/(七)+1。)，且當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)>0.

(1)證明：當(dāng)x>l時(shí)，f(x)<0；

(2)判斷的單調(diào)性并加以證明；

【題型9】指數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式

/核心?技巧/

對(duì)于指數(shù)函數(shù)/(%)=優(yōu)，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為f(x+y)=f(xV(y)或/(x—>)=04.

f(y)

奇偶性證明：由f(x+y)=/(x)?/(y)得"；,)=/(偶,判斷等|=/(々一七)和1的大小關(guān)系

16.已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且“X)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則同時(shí)滿足下列二個(gè)條

件的一個(gè)“X)的解析式為“X)=.

①+=②在R上單調(diào)遞減.

<1Y

【答案】一（答案不唯一）

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)直接得解.

【詳解】由題意/（X）為指數(shù)型函數(shù)，且/（x）在R上單調(diào)遞減,

17.（2023上?浙江高一校聯(lián)考）（多選）已知定義在R上的函數(shù)y=/（x）滿足：①，=/（%）是偶函

數(shù)；②當(dāng)x>0時(shí)，/(X)>1；當(dāng)尤20,yNO時(shí),/(x+y)=/(x)/(y),則(

A."0）=1B./（X）在［0,+。）上單調(diào)遞增

C.不等式〃力<4^的解集為（-6,2）D./（x+y）=/（x）+〃y）

【鞏固練習(xí)1】如果且"1）=2,貝U鋁+寄+瑞=（）

A.—B.—C.6D.8

55

【鞏固練習(xí)2】己知函數(shù)滿足，f(p+q)=f(p)-f(q),f(l)^3,則

尸⑴+〃2）尸（2）+〃4）產(chǎn)⑶+〃6）尸（4）+〃8）/（5）+〃10）

的值為（

/（1）/⑶/（5）/（7）/（9）

A.15B.30C.60D.75

【鞏固練習(xí)3】已知定義在R上的函數(shù)〃x）滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)無，y均有〃沖）="x）"y）,且

=當(dāng)0<x<l且/（x）?0,l）.

⑴判斷〃x）的奇偶性；

⑵判斷了（X）在（0,+。）上的單調(diào)性，并證明；

【題型10］幕函數(shù)的抽象表達(dá)式

核心?技巧

對(duì)于賽函數(shù)，(x)=x",與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為/(肛)=/(x)/(y)或d二］=2@

⑴f(y)

18.(2024?河北?模擬預(yù)測)已知定義在(-8,o)u(o,y)上的函數(shù)〃尤)滿足

〃移也+工，貝”()

yx孫

A./(X)是奇函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞減

B.f(x)是奇函數(shù)且在(-雙。)上單調(diào)遞增

C./(力是偶函數(shù)且在(0,+e)上單調(diào)遞減

D.””是偶函數(shù)且在(-e,0)上單調(diào)遞增

【鞏固練習(xí)】已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)?—e,0)U(0,y),且V(x)=(y+l)/(y+l),則()

A.f^>0B."1)=1C./(x)是偶函數(shù)D./(尤)沒有極值點(diǎn)

【題型11］正弦函數(shù)的抽象表達(dá)式

核心?技157

三南函數(shù)注意系數(shù)的配湊，f(x)=asincox,/(x)=acoscux,以下均以a=(y=l為例

對(duì)于正弦函數(shù)/(x)=sinx,與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為/(x+y)/(x-y)=/2(x)-/2(y)

注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正弦平方差公式：sin2a-sin?/=sin(a+/7)sin((z—1)

2024?廣東江門?一模

19.函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意的x,y,恒有/5+')=/(尤)/1-1+/'17)/")成立.

請(qǐng)寫出滿足上述條件的函數(shù)/(X)的一個(gè)解析式.

【鞏固練習(xí)1］(多選題)(2024?遼寧?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,且

/(x+y)/(^-y)=/2(x)-/2(y),/(I)=2,/(2)=0,則下列說法中正確的是()

2024

A.AM為偶函數(shù)B.八3)=-2C./(-l)=/(5)D.￡j(k)=-2

k=2

【鞏固練習(xí)2】(多選題)(2024.全國?模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,且

f(x+y)f(x-y)=f\x)-f(y),/(I)=1,/(2)=0,則下列說法中正確的是()

2023

A./(尤)為偶函數(shù)B.〃3)=-1C./(-D=-/(5)D.￡f(k)=l

k=\

【題型12]余弦函數(shù)的抽象表達(dá)式

/核心?技巧/

三角函數(shù)注意系數(shù)的配湊，/(x)=?sin?x,facoscox,以下均以。=。=1為例

(1)對(duì)于余弦函數(shù)/(x)=cosx,與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為/(x)+/(y)=2/1上

注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于余弦和差化積公式：cosa+cos/3-2cos~~cos

(2)對(duì)于余弦/(x)=cosx函數(shù)，其抽象函數(shù)還可以是/(x)/(y)=g[/(x+y)+/(x-y)]

注：余弦積化和差公式：

cosacos尸=cos(a+0+cos(a-'),2Q22新高考2卷用的就是這個(gè)模型

2024?吉林白山?一模

20.己知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且〃x+y)+“x-y)="x)〃y),/⑴=1,請(qǐng)寫出滿足條件

的一個(gè)〃*)=(答案不唯一)，7(2024)=.

2024?重慶一中3月月考

21.(多選)函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且滿足/(x+y)+/(x—y)=2/(x)〃y),/(4)=-1,則下

列結(jié)論正確的有()

A."0)=0B."2)=0

C.〃x)為偶函數(shù)D.“X)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱

【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)/(x)滿足：“l(fā))=；,4/(X)/(y)=/Ct+y)+/(x-y)(x,yeR),則

“2023)=.

【鞏固練習(xí)2】(2022新高考2卷T8)已知函數(shù)fM的定義域?yàn)镽,且

22

/(尤+y)+f(無-y)=/(x)/(y),/(D=i,則￡//)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【鞏固練習(xí)3】(2024?河北?模擬預(yù)測)(多選)己知定義在R上的連續(xù)函數(shù)/(x)滿足V尤,yeR,

〃x+y)+〃x-y)=〃x)〃y),/(1)=0,當(dāng)x?0,l)時(shí),〃力>0恒成立,則下列說法正確的是

A.f(O)=lB./(x)是偶函數(shù)

C./]￡|=石D.〃尤)的圖象關(guān)于”=2對(duì)稱

【題型13]正切函數(shù)的抽象表達(dá)式

核心?技巧

對(duì)于正切函數(shù)/(x)=tanx,與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為/(x±y)=土、(^)、

i+/W/(y)

/,小tan。土tan￡

注：此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正切函數(shù)和差角公式：tan(6f±/?)=-------------------

1+tanortanp

22.已知函數(shù)/(x)滿足/⑴=1,/(x+y)=]X；；),則()

A.f(0)=0B.=

C.的定義域?yàn)镽D.的周期為4

x+y

【鞏固練習(xí)1】(2024?廣西賀州?一模)(多選)已知函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1),/(%)+/(y)=f

1+犯

且當(dāng)xe(0,l)時(shí)，/(元)>0,則下列說法正確的是()

A./(%)是奇函數(shù)

B.〃%)為增函數(shù)

C.若實(shí)數(shù)。滿足不等式/(2a)+/(a-l)>0,則a的取值范圍為+8

D.嗎卜臥醺

【鞏固練習(xí)2】定義在上的函數(shù)了⑴滿足：對(duì)任意的x,gj都有

/(x+y)=且當(dāng)°<x<:時(shí)，/(X)>0.

1-f(x)f(y)2

(1)判斷了(x)在(o,J上的單調(diào)性并證明；

(2)求實(shí)數(shù)/的取值集合，使得關(guān)于尤的不等式+在上恒成立.

【題型14]二次函數(shù)的抽象表達(dá)式

二次函數(shù)

對(duì)于二次函數(shù)/(x)=ax2+6x+c,與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c

23.(2024?浙江杭州?模擬預(yù)測)對(duì)于每一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,函數(shù)/滿足函數(shù)方程

■/1(x)+/(y)=/(x+y)-孫T,如果"1)=1，那么滿足/=的根的個(gè)數(shù)是

()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無數(shù)多個(gè)

24.(2024?高三?河北保定?期末)已知函數(shù)/(X)滿足：Vx,yeZ,/(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+l

成立，且2)=1,則"2")伍eN*)=()

A.4n+6B.8n-lC.4n2+2/7-1D.8n2+2n-5

【鞏固練習(xí)1](2024?陜西西安?模擬預(yù)測)已知函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,且滿足

fM+f(y)^/(x+^)-2xy+2,/(l)=2,則下列結(jié)論正確的是()

A./(4)=12B.方程f(x)=尤有解

C.+是偶函數(shù)D./是偶函數(shù)

【答案】C

【解析】對(duì)于A,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,且滿足I(x)+/(y)=/(x+y)-2孫+2J(1)=2,

取x=y=l,得/(1)+/⑴=/(2)-2+2,則/(2)=4,

取x=y=2,得/(2)+f(2)=/(4)—8+2,貝|/(4)=14,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,取y=l,得/(x)+f(l)=/(x+l)-2x+2,