第3講定點(diǎn)與定線

典型例題

X2y2

【例1】直線y=x+l與橢圓F+臺(tái)=1交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于無軸的對稱點(diǎn)記為P，且AOBP的面積

a

22

為2,則橢圓點(diǎn)+2=1恒過定點(diǎn)

D.(V2,V2)

【答案】D

【解析】設(shè)點(diǎn)4（%,%）,尸（石,-%）,3（%,%），

SROPB=（民必+不為|=。|2々玉+%+司.則y=x+1,

22

bX+Q2y2=Q2J2,

得(a?+人2)犬2+212%+]2一々262=o.

匚匚I、I2aa-cib/卜、4日111

所以為+%,-廣瓦0々一7+/'代入侍5AOra=2,-+-=-.

22

【例2】已知橢圓C:》+方=1的右焦點(diǎn)為（1,0），且經(jīng)過點(diǎn)A（0,l）.

⑴求橢圓。的方程;

（2）設(shè)O為原點(diǎn)，直線/:y=kx+t\tw±1）與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)RQ,直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直

線AQ與x軸交于點(diǎn)N,^\OM\-\ON\=2，求證:直線/經(jīng)過定點(diǎn).

【答案】⑴J+V=l；⑵見【解析】.

22_________

【解析】⑴橢圓cj+2=1的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)A(0,l),可得b=c=l,a=ylb2+c2=72,

ab

則橢圓的方程為y+/=l.

（2）證明記點(diǎn)P（xl,y1）,Q（x2,yz）,設(shè)直線PQ:y=kx+t.

得（1+2左z）f+4依+2/一2=0,

x+2y—2,

4H2產(chǎn)-2

2（1+2好乂"2—2）>O,%+/=—

A=16^-4~,XiXn=T?

1+2左2-1+2左2

AP的方程為y=3無+1,令y=0,可得x=$_,即點(diǎn)M

%If

AQ的方程為y=&zlx+l,令y=o,可得即點(diǎn)NZ,0.

1-%）

無21_%

（1一%）（1-%）=1+%%—（X+%）=1+（煙+，）（爪2+'）—（g+kx2+2z）

22?-24kt）（—）2

-2t）+k-+（kt-k）,1+28J

1+2F1+2/

\OM\-\ON\=2,即」———=2,即有「一1|=?一1)2,由”±1,解得/=(),滿足A>0,即有

11

1-乂l-y2

直線/方程為y=kx恒過原點(diǎn)(0,0).

02/12

【例3】曲線C：5+>2=1，直線/：y=米—1（左>0）關(guān)于直線y=%—1對稱的直線為4，直線1,1,分別與曲

線C交于點(diǎn)和點(diǎn)AN,記直線4的斜率為k-

⑴求證:h左=1；（2）當(dāng)k變化時(shí)，試問:直線上W是否恒過定點(diǎn)?若恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不恒過定點(diǎn),

請說明理由.

【答案】⑴見【解析】；(2)直線MN過定點(diǎn)(0,3).

【解析】(1)證明設(shè)直線I上任意一點(diǎn)尸(x,y)關(guān)于直線y=x-\的對稱點(diǎn)為此(%,%),

直線I與直線4的交點(diǎn)為(0,-1),所以I:y=kx-1,lx:y=k^x-1,k,k1=

x/

由y+%=%+/]

2-2

得y+%=%+%()_2.......(i)

由-~—=-1得y-y=x-x.......(2)

X-Xg0Q

由⑴(2)兩式得卜二k)

[%=尤T，

,,y%+(y+%)+ly(x-l)+y+x-l+l

狄1=---------------------=----------------------------=1.

xx0x(y+1)

（2）設(shè)點(diǎn)Af（士,月）川（%，%）?

y=kx-\,

n(l+2/)f-4日=0,可得x=0或無

x2+2y2=2,''l+2k2

4k2k2

即點(diǎn)M

l+2%2'2/+l

由礴=1,可將k換為

k

4k2-0y-y_1+發(fā)一

可得點(diǎn)NMN,即直線MN:y-yN=kMN(x-XN),

2+k2,2+k2V

2-k21+k24k匕a+3

可得y-x--,--即--為y=

2+k2k2+k2k

則當(dāng)k變化時(shí)，直線MN過定點(diǎn)(0,3).

v229

【例4］己知橢圓C:—+^v=l，過左焦點(diǎn)F的動(dòng)直線交橢圓于A,3兩點(diǎn),P為直線x=-5上一定點(diǎn)(不

是與x軸的交點(diǎn))，直線PA,PF,PB的斜率分別為kx,k2,k3.

(i)",k3是否恒為等差數(shù)列?若是,給出證明;若不是，請說明理由;

⑵對任意給定的點(diǎn)尸，是否存在一條過點(diǎn)E的直線AB,使得左，及義為等比數(shù)列?請說明理由?

【答案】⑴見【解析】；(2)見【解析】.

【解析】⑴橢圓C：y+^=1的左焦點(diǎn)為F(-2,0),設(shè)點(diǎn)尸

若直線AB的斜率為O,易得A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，即點(diǎn)4-3,0),8(3,0),

04/12

則%=kPA=--------

——+3

2

99/1

此時(shí)勺+&=-1-百/==2左2，即滿足K,女2,左3是等差數(shù)列;

若直線AB的斜率不為O,設(shè)點(diǎn)8（/,%），直線AB的方程為x=my-2.

x=my-2,

<X2y2n5(沖-2)2+9/=45,得(5m2+9)/-20my-25=0,

195

20M25M-f=M-1

5m2+9，%%—-5病+995'

國+]my,+-

fr

----

+95

十-

2-2

(y-。1加%+；)+(%―/"沖i+|

所以

myx+—my2+—

50m50m20療/

2陽%1+|(乂+%)-〃優(yōu)(％+%)-5f-------1---------------

5/+95病+95m2+9

252W5W~~25

春％+"(%+%)+-

45m2+95m2+94

-20m21-25m21-45t-45t(m2+1)-45t(m2+1)

_5m2+95m2+95m2+94

f，

25m225一10(W+125療+225.225(//I2+1)5

5m2+944(5m2+9)4(5裙+9)

=f

所以2k2~~*因?yàn)?，W。，所以2k2。左1+左3.綜上，仁,上2/3不是恒為等差數(shù)列.

（2）由（1）可得，當(dāng)直線AB的斜率為O時(shí)，

因?yàn)閞wO,所以發(fā)的片后；

當(dāng)直線AB的斜率不為0時(shí),

=%—.y?-t=（x-）（%—）2T（%+%）+0

1nx+?畋2+|（陽1+:］畋2+；-r-、25

m%%+/心+%）+彳

25_20加+2_25+20〃」-5;而2-9/

5〃/+95〃?2+9_________5/+9_______

225（加+1）-225（川+1）

4（5m*2+9）4（5療+9）

-4（25+20,加一5m2t2-9產(chǎn)）

225（療+i）

又kl=—t2,若勺&，&為等比數(shù)列，則左&=6，即TQS+ZOU〈產(chǎn)一9打=±2,則

25225（m+1J25

2

一（25+20mt-5m2產(chǎn),-9r）=9r（m+1）,

整理得4rm2+20rm+25=0,

即（2加+5）2=0,貝I」tm=--,即對任意的々RO）,都有唯一的m與之對應(yīng)，即存在對應(yīng)的直線

2

AB滿足題意；

所以對任意給定的點(diǎn)P,都存在一條過點(diǎn)F的直線AB,使得KA—為等比數(shù)列.

X

［例5］已知橢圓E:一+,A3,c。分別為橢圓石的左、右、上、

a

、

下頂點(diǎn)，且四邊形ACBD的內(nèi)切圓的方程為好+丁o=64.

⑴求橢圓E的方程；

（2）若P是直線x=-l上的動(dòng)點(diǎn)，直線PA,PB與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別是M,N,求證:直線MN經(jīng)過一

定點(diǎn).

06/12

解得『，橢圓E的方程為jy』.

(2)由對稱性可知，直線MN若經(jīng)過一定點(diǎn)，則該點(diǎn)必在x軸上.又取點(diǎn)P(-1,1)時(shí)，可解得點(diǎn)

此時(shí)直線MN與X軸的交點(diǎn)為?！?).

下面證明，直線MN必經(jīng)過點(diǎn)2(-4,0).

設(shè)點(diǎn)

x=-y-2,

%=+24

當(dāng)時(shí)%w0時(shí)，lAP:x=—y—2.<—y=0,

%X22?17-%

4%x.4

所以

l+4y；…一1+4考

所以點(diǎn)M-2,

73c

'BP:x----y+2.

%

,3個(gè)12%36°

x=----y+2,所以-----7+2,

%=白心-馬=。,9+今；

2

X211%)%

l丁4+y=L

所以點(diǎn)N一丁丁+2,12%)

I9+4%9+4y/

所以QM=

所以QM//QN,此時(shí)，直線MN必經(jīng)過點(diǎn)。（T,0）.又當(dāng)為=0時(shí)，直線MN為x軸，此

時(shí)也過點(diǎn)2（-4,0）.故直線MN必經(jīng)過點(diǎn)?！?）.

［例6］已知橢圓二+二=l（a〉b〉0）的離心率為走，并且直線y=x+b是拋物線/=4x的一條切

a~b2

線.

⑴求橢圓的方程;

（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線/交橢圓于A,3兩點(diǎn)，試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以A5為直

徑的圓恒過定點(diǎn)T?若存在，求出T的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

【答案】⑴，+丁=1；；⑵存在點(diǎn)7（0,1）.

【解析】⑴\y^X+b，^x2+(2b-4)x+b2=0.

[y=4羽

由直線y=x+b與拋物線y2=4x相切得△=(26—4)?-4/=0nb=l.

222

因?yàn)閑=-=^,a=b+c,

a2

所以匕乏△,所以a=42.

a22

故所求橢圓為y+y2=l.

2

軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x2+b+1

（2）當(dāng)/與X

08/12

當(dāng)/與％軸垂直時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x2+/=1.

m'解得

x=O,y=O,即兩圓的公共點(diǎn)為(0,1).

X2+y2=1,

因此所求點(diǎn)T如果存在，只能是(0,1).證明如下:

當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)7(0,1).

當(dāng)/與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l:y=kx-^.

,1

y=kx~3"

12k-16

=>(18%2+9卜2一］2以一16=0記點(diǎn)4(%,%),5(%2，為),則%+9=z,XiXy-z，

"X22118左2+91218左2+9

—=L

、乙

又TA=(xl,yl-l),TB=(x2,y2-l).

TA-TB=xlx2+(yl-l)(y2-l)

=XyX2+\kxx-

=(1+用-1612k16

18/+9318左2+9V

即以4?為直徑的圓恒過點(diǎn)T,故在坐標(biāo)平面上存在點(diǎn)7(0,1),滿足題意.

注圓過定點(diǎn)問題，可以先取特殊值或者臨界值，找出定點(diǎn)，再證明向量數(shù)量積等于O.

【例7】已知橢圓。的方程為工+二=1,斜率為工的直線/與橢圓。交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)p[l,3

在直線/

432I

的左上方.

⑴若以A3為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)工，求此時(shí)直線/的方程;

(2)求證:APAB的內(nèi)切圓的圓心在定直線1二1上.

【答案】(1)y=-x--;(2)見【解析】.

27

【解析】（1）設(shè)直線/:y=；x+，w,點(diǎn)A（x1,y1）,B（x2,y2）.

工+匚1

1+彳-1，，，，

2

n爐+mx+機(jī)2-3=0,貝(Jx{+x2=-m,x1x2=m-3.

y=—x+m,

由A=〃？一4(m2—3)>。解得—2<m<2.

又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線/的左上方,

所以—2<m<1.

M-M=o,

若以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓c的右焦點(diǎn)F2,則

即(l-x2,-y1)-(l-x2,-y2)=0,

化簡得7/w2+4m-ll=0,

解得m=或1(舍).

7

所以直線I的方程為y=-x--.

27

333131

彳一/彳一%-m---x2-

(2)因?yàn)閗PA+kPB=^——+-=——-----+—

]一X]1-X2]―玉1-x2

=1+(1—m)|------1------|=1+(1—m)--2一(…)

11—玉\—X2j1—(玉+%2)+玉工2

,八、2+m,—m2—"z+2八

=l+(l-m)----------——=1+—--------=0

1+m+m-3m5+m-2

所以直線x=l平分ZAPB,即AR4B的內(nèi)切圓的圓心在定直線x=l上.

注第（1）問計(jì)算量稍大，是常規(guī)的對韋達(dá)定理考查；第（2）問，由內(nèi)切圓的圓心的定義，內(nèi)切圓圓

心與頂點(diǎn)連線平分角，又注意到直線尤=1的特殊性，故轉(zhuǎn)化證明目標(biāo)直線x=l平分ZAPB.

【例8】已知拋物線E:V=2px（p>0）過點(diǎn)2（1,2）,F為其焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且不垂直于x軸的直線/

交拋物線E于A,3兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足△PAB的垂心為原點(diǎn)。.

（1）求拋物線E的方程;

10/12

q

（2）求證:動(dòng)點(diǎn)尸在定直線〃2上，并求沁的最小值.

【答案】⑴y2=4x;（2）證明見【解析】，最小值為20

【解析】⑴拋物線E過點(diǎn)Q,則2?=2外則拋物線E的方程為V=4x.

（2）方法1:設(shè)l:x=ty+l,A（x1,y1）,B（x2,y2bp（%，%）.

r,2/

\，n,2一4/y-4=0,則>1+%=41,%%=-4.

[x=fy+l,

因?yàn)?為AABP的垂心，則OA.LPB,OB±

B4,即kpB=-；=_IkpA=1_x2

k

OA%k（）B>2

因止匕PA:y=,

X

y=——YX-XJ+M，

PB:y=——（^x—x2^+y2<

-（x-x2）+y2,

%—y+_-

解得