第6講巧用同構(gòu)

典型例題

【例1】設。為拋物線丁=》外一點，過點p作拋物線「的兩條切線PA,PB,切點分別為

⑴若點P坐標為(-1,0)，求直線AB的方程；

⑵若P為圓(x+2)?+y2=i上的點，記兩切線的斜率分別為勺上，求的取值范

【答案】⑴x=l;(2)[4,213].

【解析】⑴設直線A4方程為x=m1y-1,直線PB方程為x=m,y-1.

因為PA與拋物線相切，所以A=訴-4=0.

取嗎=2,則%=1,%4=1,即點同理可得點

所以AB:x=l.

⑵設點P(x0,%),則直線方程為y=幻-幻o+No,直線網(wǎng)方程為

y=k2x-k2x0+y0.

y=klx-klx0+y0

0y—《%o+%=0-

y=x,

因為直線PA與拋物線相切,所以A=1-4%（-匕％+%）=4/彳_4為匕+1=0.同理可

2

得4%抬-4%左2+1=。?所以勺&是方程4x0^-4yok+1=0的兩個根，所以

kx+k2=—,kxk2=-.則\k]—^2|=.----=--r—?―又因為(/+2)2+yj=1,

-

54%\x0x0|x0|

則-3別；o-1,所以1_±=

k]k2kxk2

=%l就—x°=4J1-(X0+2)2-X。

【例2】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點為（0,1）,離心率為|行

⑴求橢圓C的方程；

（2）過右焦點F作直線I交橢圓于A,8兩點，交y軸于點R,若氏4=AAF,RB=RBF，求2+〃的

值.

【答案】⑴y+y2=l;（2）2+//=-10.

【解析】(1)e=￡=」=，'=l?因為片c2=b2=1,解得a=^5,c=2,

a，5

2

r

所以橢圓C的方程為y+/=l.

02/14

（2）由（1）得點F（2,0）.設直線l-.y=6X-2）,可得點R（0,-2左）.設點

可得R4=（菁,％+2左）,AF=（2-石,一乂）.由RA=NA尸可得

-f_22

,玉="%）,=%=RT（1）

M+2k——X%,—2k

1=

、uT77'

因為點A在橢圓上，所以x：+5y：=5,將⑴式代人可得

f—Y+sf—Y-5,得4%+20左2=5（彳+1咒

y1+/1J\1+AJ

所以分+10/1+5—20左2=0.對于〃,班=（%2，%+2左）,即=（2—9,—%），

=產(chǎn).同理可得〃2+1。〃+5—20左2=0.所以為方程

爐+10%+5—20左2=0的兩個不同根，所以/[+〃=—10.

【例3】已知拋物線C：f=4y與直線/:尤-2y-2=0.

（1）求拋物線C上的點到直線/距離的最小值；

（2）設點尸（%,%）是直線/上的動點，2（1,1）是定點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為

A,B，求證:A,Q,B三點共線;并當AQ=3QB時，求點P的坐標.

【答案】⑴;

⑵見【解析】.【解析】⑴方法1,設拋物線。斜率為:

的切線的切點為（毛,%）,因為

y=3=1所以x°=L%=；,切線方程為

x—2y」=0.拋物線上的點到

2

2--廠

直線的距離的最小值，即兩條平行線間的距離，最小值為1=r二=坐.

V510

方法2設拋物線C上點的坐標為t,-，則

、4/

t---2

d=[弋產(chǎn)2f+4）,‘爺（”1時取得等號），拋物線。上的點到直線的

距離最小值為

⑵設點A（x1,y1）,B（x2,y2）,則直線PA的方程為％x=2（y+x）,直線PB

的方程為々x=2（y+%）.因為兩條直線都過點。（不，為），

所以AB:XoX=2（y+%）.又/=2（%+1）,所以直線AB過點Q,

2

即證.X；-2菁%+4y=0,尤;+4y=0.所以玉,々為方程x-2x0x+4y0=0

的兩個根，所以%1+x2=2x0,x^2=4y0.

又因為石—1=3（1—%2），所以石=4-3々.

x[=3x0-2,

Xj+x2=2x0,

=><x2=2-x0,

%％2=4%,

x,x2=2x0-4,

04/14

解得%=0或2,所以點P（O,-1）或P（2,0）.

【例4】已知拋物線C:y2=4x上的動點尸（七,％），點A在射線/:x-2y+8=0（?.0）上，滿足PA

的中點。在拋物線C上.

⑴若直線PA的斜率為1,求點P的坐標；

（2）若射線/上存在不同于點A的另一點3,使得PB的中點也在拋物線。上，求的最大值.

【答案】⑴尸（0,0）或P（16,-8）;（2）3275.

【解析】⑴設直線PA的方程為y=x+尻>一°；八

x-2y+8=0,

?y—%

得點A（8—2仇8—設點g（x2,y2）.仁?J/—4y+4b=0,

A=16-16b..0,b<0,yx+y2-4,yxy2=4b.

又%+8-/?=2%,

解得b=0,%=0,%=4,或人=一24,%=-8,%=12.

經(jīng)檢驗，都是方程的解，所以點P（0,0）或P（16,-8）.

/2

（2）設點A（24-8/1）,_8（2,2-8/2）,。,,2,?則由PN的中點Q-^―+—4,———

一一一82

2Z2\

在拋物線。上,所以空=4互+%-4,整理得彳+（2%-16）4+64-y；=0.

I8）

同理彳+（2%_16）72+64—y；=0.

所以tvt2是方程/+（2乂+16"+64-3=0的兩個不相等的非負根，

所以A=（2M—16）2—4色4—靖）>0'+/2=16—2%>0,他=64—靖..0,

所以-8,,y<0.所以|加=岔%―寸=26在手-16乂”32口,當且僅當

%=-8時取得等號.所以\AB\的最大值為3275.

【例5】已知拋物線a：—=y，圓。2：一+（丁-4>=1的圓心為點

（1）求點M到拋物線G的準線的距離；

（2）已知P是拋物線G上一點（異于原點），過點P作圓。2的兩條切線，交拋物線G于A3兩點,

若過M,P兩點的直線/垂直于AB，求直線/的方程.

【答案】（1）g⑵尸土臂

【解析】（1）由題意可知,拋物線的準線方程為y=-；,所以圓心M（0,4）到準線的

06/14

17

距離是-

4

⑵方法1設點P（/0,竟）,A（冷才）,5（%,引,則由題意得

xoW0,X。W±1,%w%?

設過點P的圓G的切線方程為丁-芯=左（尤-%0）,

即y=kx-kx0+XQ(1)

煙）+4—

則

\2

即-4)-1=0,

設PA,PB的斜率為勺，攵2（勺w&），則勺&是上述方程的兩個根,

2x0-4

所以k\+k?=一不丁a取二丁）「?將⑴式代人y=/,得

%―1

2

x—kx-^-kxQ-XQ=0.由于與是此方程的根,故玉=—xQ^x2=k2—XQ,

（或利用點差法知匕=%+%，所以%=勺-%,更顯簡單）

所以k2XO4

AB=XI+%2=K}+^-2XO=^°-c“u_-4

-2x0,kMP二

%1~X2Xo-1%

2x0(^-4)

由MP1AB,得左AB,L=-1,解得

即點P的坐標為、后與，所以直線I的方程為y=±37111%5x+4.

、NJJ111^115

方法2設點4（無1，%；）,3（為2，考），則由題意得x0*O,xo*±1,%1*x2>

所以勤=%+%?所以PAy-片=（%+工0）（工一天），即（%+Xo）x-y—為/=0.

所以]=K+四—

X1+Xn）+1

則（1—X；）號一6X]X0+x；—15=0.

同理

所以石是方程（I-尤；）%2_6*0+尤;-15=0的兩個根,

%+“墨=*?因為腦二所以墨?歲二一.

所以

223印、?,37115/

所以%0=§,所以/:y=±J”x+4.

6]已知P是橢圓。:[+/=1外一點，過點p作橢圓的兩條切線，切點分別為

【例

人（和必）,3（々,%）（%%片。）?

⑴求證:切線B4的方程是玉x+2%y_2=0;

（2）設P為拋物線D:y=x2+2上的動點，求PAB面積的最小值.

08/14

【解析】⑴設過點P的直線方程為y=kx+m.

y=kx+m,

</2得（2左2+1卜2+耿如+2（后—1）=0,

丁'='

A=16k2m2-8（2k2+l）（m2-l）=8（2k2+l-m2）=0,即m2=2k2+1.

所以x=-3也=-竺，即切點坐標為,-1故點—

2k+1mvmmJ（叫叫,

日n2kl1

即x1=,%=—

YYly叫

故尢=—^1=—^，所以切線PA的方程為y=—萬版（x—xj+y,

綜上所述，切線PA的方程為X|X+2）v-2=0.

⑵切線PA的方程為5+2乂y-2=0,同理，

切線PB的方程為“+2—-2=0.

xoxl+2yoy1-2=O,

因為P（x0,%）是直線A4與PB的交點，即＜

xox2+2yoy2-2=O,

所以直線AB的方程為守+2%尸2=0,即直線A3的方程為丁=-旦x+工,

2%為

令-一,網(wǎng)=5所以朋=衣得典^^

公反二嘰/=5型叫,又因為片=%-2,

令/=2y：+%-2e[8,34）u（34,+8）,所以/⑺=

則/⑺=（"21"+4）〉0,故/⑺單調(diào)遞增，所以/（Omin=/（8）=^.

t64

3A/6

綜上所述,（S"B）min=

~T~

【例7】如圖，已知拋物線設直線/經(jīng)過點。(1,2),且與拋物線。交于A,5兩點，拋物

線。在A3兩點處的切線交于點P,直線分別與x軸交于兩點.

(1)求點P的軌跡方程;

(2)當點P不在x上時，記.PDE的面積為S^PAB的面積為S2，求邑的最小值.

【答案】（1）1―2y—4=0;（2）4.

【解析】解法1:(1)因為拋物線。：必=外,其導數(shù)為V.設點4(”)1(和％)，則

22

切線PA的方程為y=2x-二，切線PB的方程為'=王》-三.聯(lián)立兩個方程，解

2424

得交點？：號=土士，%=也

24

10/14

設直線I的方程為y=k(x-\)+2,代人爐=4〉，整理得V—46+4左-8=0,

%+馬=44=4左一8,J=LA>0,所以Xp=2k,yp=k_2,于是xp-2yp+4.

故點P的軌跡方程為x-2y-4=0.

（2）因為切線。心=.一（所以T

同理XE=].所以|DE|=邑9.又點P（2k,k-2）,

故5=；|。斗M=.一寸2

由⑴可知|AB|=JI+知J%—司.

\2k2-2k+4\

又點P到直線AB的距離為dP=

所以S2=3AB|%P=卜2—左+2].昆_芯|.所以邑=」——"?令k—2=t,

2Sy\k-2|

Sz41+3/+4|4

則=4/H---F3..4,當t=-2即k=0時取得等號.

t

q

綜上所述，茅的最小值為4.

解法2：（1）設點A（xl,y1）,B（x2,y2）,則切線PA的方程為％x=2（y+yj,

切線PB的方程為入21=2（丁+%）?設點。（%0，%），則石/二2（%+%）,

且％2%o=2（%+%），所以（不，乂），（九2，%）是方程尤o九=2（%+y）的兩組解，即直線AB

的方程為毛X=2（%+y）,因為直線AB經(jīng)過點

Q（l,2）,所以為=2（%+2）,所以點P的軌跡方程為x-2y-4=0.

⑵因為切線PA的方?為平=2（y+yJ,所以工。=生=手

同理XE=^-.所以=又點

故耳=3。即甫=且二乎小.由⑴可知直線AB的方程為

而x=2（%+y）,且%-2%-4=0,

所以直線AB的方程為x0x-2y-x0+4=0.過點P作y軸的平行線交于點G,

貝l]%=Xp=Xo,所以先「。-；。+4=*-；+4

所以|GP|=君-；。+4_%=其—?+8.

2+S

所以S2=^\PG\-\x2-X1\=^~^.歸一小所以

S,_2,；-2x0+81

H所-4|

*=2/+3+6..4,當r=-4即

令/-4=/,則々=0時取得等號.

S]t

綜上所述，3的最小值為4.

A

12/14

22

［例8］已知拋物線G：V=4x橢圓。2：亍+方=13〉0），M為橢圓。2上的一個動點，拋物線

G的準線與橢圓G相交所得的弦長為山?直線/與拋物線G交于RQ兩點，線段分別

與拋物線C1交于點S,T,恰好滿足PQ=2ST.

⑴求橢圓G的標準方程:

（2）求以ST為直徑的圓面積的最大值.

尤2

【答案】⑴