第3講兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

與二倍角公式

-＜教師尊享?命題分析）一

課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測

2023新高考卷IT8；本講每年必考，主要考查兩角

1.知道兩角差余和、差、倍2021全國卷甲T9；和與差的正弦、余弦、正切公

弦公式的意義.角公式的直2020全國卷IT9；式以及二倍角公式的正用、逆

2.能從兩角差的接應(yīng)用2020全國卷IIIT9；用、變形用，主要體現(xiàn)在三角

余弦公式推導(dǎo)出2019全國卷IIT10函數(shù)式的化簡和求值中.題型以

兩角和與差的正2023新高考卷IIT7；選擇題、填空題為主，有時在

弦、余弦、正切和、差、倍2022新高考卷IIT6；解答題中也有應(yīng)用，難度中等

公式，二倍角的角公式的逆2022北京T13；2021偏易.預(yù)計2025年高考命題趨

正弦、余弦、正用與變形用全國卷乙T6；2020全勢變化不大，在復(fù)習(xí)備考時要

切公式，了解它國卷IIIT5掌握公式及其變形，并能靈活

們的內(nèi)在聯(lián)系.角的變換問2022浙江T13；2019應(yīng)用，應(yīng)用時注意角和函數(shù)名

題江蘇T13的變換.

0學(xué)生用書P077

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

S屹±￡）：sin（a±尸）=①sinacosS±cosasin￡.

C（a±￡）：cos切）=②cosacos夕在sinasin￡.

絲士。嗎

T）a±?）：tan（a±￡）=（§）t（%p,a邛豐kn+XAGZ）.

1+tanatanp2

注意在公式T（a土在）中，a,0,a土我都不等于左兀+]（%￡Z）,即保證tana,

tanp,tan（a土夫）都有意義.

2.二倍角公式

S2a：sin2a=④2sinacosa.

C2a：cos2a=⑤cos2a—sin2a=⑥2cos%—l二⑦L2sin2a.

T%：tan2a=（§）fan:,（分也十三且存業(yè)+工，左ez）.

1—lan'a224

說明（1）對于兩角和的正弦、余弦、正切公式，分別令￡=a,可得二倍角的正弦、余

弦、正切公式.

（2）二倍角是相對的，如羨灑2倍，3a是等的2倍.

3.輔助角公式

asina+bcosa=Ja2+b2t

sin(0+9)(^^中。#0,sin(p=—r=?cos(p=~~r=>tan9=

a2+b2a2+b2

u.

規(guī)律總結(jié)

1.兩角和與差的正切公式的變形

tana±tan/?=tan(a±夫)(1不tanatan夕)；tana?taa夕=1一黑一

小口々\[、.9__1cos2a7__1+cos2a.__1.3

2」修曷公式：sinot=---------；cosa=--—；sinotcosa=-sin2a.

3.升幕公式：cos2a=2cos2a—\.cos2a=1—2sin2oc.

4.其他常用變式

2tana1—tan2aasina1—cosa

sin2a=cos2a=tan-=1+sin2a=(sina+cosa)2；1

l+tan2a,1+tan2a21+cosasina

—sin2a=(sina-cosa)2.

（教師尊享?備考教案）

口規(guī)律總結(jié)

1.積化和差

11

cosa-cos^=-[cos(a+￡)+cos(。一尸)]；sina-sinp——-[cos(a+尸)—cos(。一夕)]；

1i

sina-cos^=-[sin(a+4)+sin(。一4)]；cosa-sin^=-[sin(a+4)—sin(儀一夕)].

2.和差化積

.??c八?a+Ba—B.a~\~B.a~B

sina十sinp=2sin—cos—；sina—sinpn=2cos^—sin-^—；

1-a+6a—B3.a+6.cc-3

cosa十cos/n/=2cos-----cos-----；cosa—cospn=_2sin-----sin-----.

l22l22

注意和差化積和積化和差公式不要求記憶，可借助推導(dǎo)過程找規(guī)律，先得到積化和差的

公式，再通過換元得到和差化積的公式.

基礎(chǔ)自測+

1.[2023北京海淀區(qū)月考]若tan(a--)=工，則tan(?--)的值為(A)

1226

A.3B.-C.-3D.-i

33

tan(a6)

解析因為tan(?——)=tan[(a--)--]=n^=-,所以tan(a--)=3.

12641+tan(a--)26

2.已知sina=￡,(-,兀)，貝!]cos(--a)的值為—.

1724—34—

2

角星析Vsina=-f。仁(-,兀),.'.cosa=—/1—sina=—/1—(—)=——,

1792''771717

?zii、IT?.ii.A/2Z8xIV2157-\/2

..cos(一—a)=cos-cosa十sin-sina=—x(——)十一x—=——.

44421721734

3.[全國卷H]若sinx=—I，則cos2x=_|_.

解析cos2x=1—2sin2x=1—2x(—|)2=i

l+tanl5°

4.［易錯題］V3

1—tanl5°

l+tanl5°tan45°+tanl5°

解析=tan(45°+15°)=tan60°=V3.

1—tanl5°1—tan45°tanl5°

5.若sin%—V^cos%=2sin(%一。),(p>0,則9的最小值為_1.

iVs

解析因為sinx—V5cosx=2(-sinx——cosx)=2(sinxcos9—cosxsin9),所以cos9

=|,sin9=*因為9>0,所以9的最小值為:.

<--------------------------------(教師尊享?備考教案A-

6.[積化和差]函數(shù)/(x)=sin(x+-)cosx的最小值為_一三+在_.

324

解析因為/(無)=|[sin(尤+；+x)+sin(x+]—尤)]=jsin(2x+g)+手，所以函數(shù)

f(x)的最小值為一升乎.

7.[和差化積]在△A8C中，sinA=cosB+cosC,則△ABC的形狀是直角三角形.

A.7J+C.r?1萬cB~\~CB-Cc.AB-C

用牛折cos3十cosC=2cos-----cos------=2sin-cos-----.

2222

因為sinA=cosB+cosC,所以2sin7cosg=2sin*cos^y^,

因為sin#),所以cosg=cosy￡,易得g與」82cL均小于所嗎=」\，即A=I8—

所以A+C=8或A+B=C,即兀一5=3或兀一C=C,即或C=］,所以△ABC是直角

三角形.

r［得皆—)?a?e隨舞菊胸.、

d學(xué)生用書P078

命題點1和、差、倍角公式的直接應(yīng)用

例1(1)［2023新高考卷I］已知sin(a—￡)=-,cosasinP=-,則cos(2a+2￡)=

36

(B)

7II7

A.-B.-C--D.--

9999

sinacos/?—coscrsin/?=工,

i3所以sinacos4=-,所以sin(a+￡)=

{cosasin,--,2

sinacos￡+cosasin￡=1+：=|,所以cos(2a+21)=1—2sin2(a+4)=1—2x(|)2=

故選B.

9

(2)［全國卷UI］已知2tand—tan(6?+-)=7,則tan0=(D)

4

A.-2B.-lC.lD.2

解析由已知得2tane—.tan6+g=7,得tan8=2.

1—tan0

方法技巧

應(yīng)用和、差、倍角公式化簡求值的策略

(1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律，例如兩角和與差的余弦公式可簡記為

“同名相乘，符號反“；

(2)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用；

(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用.

訓(xùn)練1(1)［全國卷I］己知ad(0,兀)，且3cos2a—8cosa=5,則sina=(A)

A.—B.-C.-D.—

3339

角星析V3cos2a_8cosa=5,3(2cos2a—1)—8cosa=5,6cos2a—8cosa—8=0,

3cos2a—4cosa—4=0,解得COSQ=2(舍去)或cosa=1［.???［￡(0,兀),sina—

J1-cos?a=字故選A.

(2)[2024廣西玉林市聯(lián)考]已知cos(a+jff)=|,cosctcos/?=|,則cos(2a—2￡)

(B)

B?謁

-1-11

解析由cos(a+夕)=cosacos夕一sinasin夕,即-=—-sinasin/，可得sin。8由夕=一，則

326

cos(1一￡)=cosacos夕+sinasin^=|+~|,所以cos(2]—2夕)=2cos2(Q一夕)—1

2x(|)2—1=一].故選區(qū)

命題點2和、差、倍角公式的逆用與變形用

例2(1)[2023新高考卷II]已知a為銳角,cosa=±且，則sing=(D)

42

AfB.乎C1

1+V5

解析cosa=-=-1-—2SI噎，得向2A（專1）2,又a為銳角，所以

4816

si吟＞。，所以嗚=二?￡故選D.

(2)[2021全國卷乙]cos2,—cos2,=(D)

V2

B

A三T12DT

~TT511

1+cos—1+cos—(

解析解法一原式=T-~T>V3

2222

解法二因為cos^=sinq—工）=si啥所以cos2：—cos2q=cos21一疝2'

cos⑵？=cos樂冬故選D.

（3）[2022新高考卷H]若sin（a+夕）+cos（a+夕）=2&cos（。+：）sin"則

(C)

A.tan（儀一夕）=1B.tan(Q+4)=1

C.tan(a一4)=—1D.tan=—1

解析sin(a+.)+cos(a+夕)=V2sin(1+4+：)=2V2sinyffcos(a+：),所以

sin(a+E)cos^+sin^cos(ot+^)=2sin夕cos(a+^),整理得sin(a+^)cosP~

sin^cos(a+-)=0,即sin(oc+--=0,所以。一夕+2=e，％￡Z,所以tan(。一夕)

444

=tan(Z：7i--)=-1.

4

方法技巧

1.運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，要熟悉公式的正用、逆用及變形用，如tana+

tan￡=tan(a+6)?(l—tanatan.)和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形

用更能拓展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.

2.對〃sinx+Z?cosx化簡時，輔助角夕的值如何求要清楚.

訓(xùn)練2(1)在△ABC中，C=120°,tanA+tanB=W，貝(jtanAtan8的值為(B)

A.—B.—C.—D.—

4323

解析解法一由題意得tan(A+8)=—tanC=—tan120°=V3,所以tan(A+B)=

tan4+tanB=b,即——號——=百，解得tanAtan8=工，故選B.

1—tanAtanB1—tanAtanB3

解法二由已知，可取A=B=30°,則tanAtan故選B.

⑵[2022北京高考]若函數(shù)/⑴=Asinx一百cosx的一個零點為或則2=1；

/(-)=-V2.

J12----------

解析依題意得/(；)=Axy—V3x|=0,解得A=l,所以/(x)=sinx—V3cosx=

2sin(尤一型，所以/臉)=2sin=一五.

命題點3角的變換問題

例3(1)[2024山東省部分學(xué)校聯(lián)考]已知sin(x+-)貝!Jcos(―-2x)=

1246

(C)

7I7I

A.-B.-C--D.--

8888

解析因為sin(x+—)所以cos(——2x)=cos(71—--2x)=—cos(-+2x)=

124666

-[l-2sin2(x+—)]=-[l-2x(-i)==—Z.故選c.

L124J8

(2)右tan(a+2萬)=2,tan^=—3,貝!Jtan(a+￡)——1,tana=-.

解析因為tan(a+2在)=2,tan4=一3,所以tan(a+夕)=tan(a+2夕一夕)

tan(a+20)—tanB2—(—3)/inn\—1一(—3)1

--------------=---------=—11,tanot=tan=------——-——

l+tan(a+20)tan/?l+2x(-3)rr1+(—1)x(—3)2

方法技巧

角的變換問題的解題思路

1.當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和差倍半的形式.

2.當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和差倍半的關(guān)系，注意換元思

想的應(yīng)用.

3.常見的配角技巧：2a=(a+￡)+(a—.)；a—(a+￡)—￡=(a—/?)+￡；a—[)=

(a-y)+(丫一￡)；15°=45°—30°；(^-a)等.

訓(xùn)練3(1)[2024江蘇省南通市學(xué)情檢測]已知sin(ct+-)=—,則sin(--2a)=

636

(C)

解析設(shè)Q+￡=￡,則a=L也sint=-^,sin(^―2a)=sin[^—2(Z—]=sin(，一

2

2Z)=cos2/=l-2sin/=l-2x(爭2T故選C.

(2)[2024遼寧省遼東南協(xié)作體聯(lián)考]已知文，0<^<-,cos(--?)sin(―+

44/4454

B)=白則sin(a+優(yōu)的值為1.

1303

解析U<a<乎，0<^<p亨〈午+￡<兀，；.sin(/a)=

—Jl—cos2(^―a)=—,cos(乎+4)=—Jl—sin2sin(a+

B)=—cosg+(a+￡)]=—cos[(于+夕)—(^―a)]=—cos(}+￡)cos(^―a)—

./3TTIC、.zTC\1235/4、56

sin(——+￡)sin(—?)=—x—x(—)=—.

4L413513565

(教師尊享-備課題組】

1.[命題點1/2024河北石家莊模擬]已知tan(a+夕)，tan(a—優(yōu)是方程/+以-3=0的兩

個實數(shù)根，則筆=(D)

cos20

A.-2B.-lC.—D.2

3

解析因為tan(a+/)，tan(a—￡)是方程/+4x—3=0的兩個實數(shù)根,

所以tan(a+4)+tan(。一夕)=-4,tan(a+4)-tan(。一夕)=—3,所以

sin[(a+6)+(a—0)]sin(a+6)cos(a—0)+cos(a+0)sin(a—6)tan(a+6)+tan(a—/?)

cos[(a+/?)—(a—/?)]cos(a+0)cos(a—0)+sin(a+0)sin(a—/?)1+tan(a+0)-tan(a—0)

$=2.

2.［命題點1/2023河北滄州部分學(xué)校聯(lián)考］1796年，年僅19歲的高斯

發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，要用尺規(guī)作圖作出正十七邊形就要

將圓十七等分，如圖所示.設(shè)將圓十七等分后每等份圓弧所對的圓心

角為a,貝!jcos(?！猘)cos2acos4acos8a的值為—.

---16--

An+r-/\/csin2asin4asin8asinl6asinl6a,2TC

用牛祈cosyTt-a)cos21cos41cos8a=——一：---：-----：-----：--=————：—,勿a矢口4=——

2sma2sm2a2sin4a2sm8a16sina17

.32K

sinsi?n(/c2n—2—IT、)sin>—2ITi

所以cos(7i—a)-cos2acos4acos8a=-----%”.2TT”.2ir-77*

16sin—16sm—16sm—16

3.[命題點2]已知sin2a=|,則cos2(a+?=(A)

C-1Dt

解析解法一cos2(?+-)|[l+cos⑵+與)片(1-sinId)=-

46

V22

解法二cos(a+-)一cosa一日sina,所以cos(a+-)=-(cossina)2

4242

-(1—2sinacosa)=-(1—sin2a)=-

226

-i

4.[命題點3]已知角a,0G(0,71),COS?=-ysin(a+4)貝!Jtan￡=_

T3

解析因為a,0G(0,兀)，cosa=—?sin(a+.)=],所以。￡兀)，a+￡￡

(p兀),可得sina=日，cos(a+4)=一卓，所以tana=—魚，tanQa+位

^.tanyff=tan[(a+4)-a]=tan(a+0)—tana「票2—\6a-3辰

1+tan(a+6)tana13

5.［命題點3/2023烏魯木齊質(zhì)監(jiān)］已知瓜ina+cosa=?,則cosq-2a)=(B)

A17

A.—B-?

18

角星析V3sina+cosot=2sin(a+-)=—,設(shè)a=。+二貝Isina=立，設(shè)。2=空一

63663

2a,則。2=兀一24，所以COS82=COS(兀一24)=—cos20i=2sin20i—1=—故選B.

(------------------------------等習(xí)此練透好題精準(zhǔn)分層-----------------------------、

?學(xué)生用書?練習(xí)幫P293

公基礎(chǔ)練知識通關(guān)

1.已知cos_r=—工，尤為第二象限角，則sin2x=(C)

4

A-V15V15八V15n代

A.4B.——4C.-8D.8

解析因為cosx=一工，%為第二象限角，所以sinx=^,所以sin2x=2sinxcosx=

44

2x虎x(-i)=一逐,故選C.

448

2.[2024重慶渝北中學(xué)模擬]sin47%in103。+$指43。3$77。=(B)

B與D.1

解析sin47°sin103°+sin43°cos77°=cos43°sin77°+sin430-cos77°=sin(77°+43°)=

sin120。="

2

3J2024河北石家莊模擬]若tanO=S,貝Ucos20=(B)

22

B--D-

A.33

cos20—sin20l-tan20_l—5

解析cos2d—cos2^—sin20=|.故選B.

cos20+sin20l+tan201+5

4.已知sin2a=|,則cos?(a+：)=(A)

A.-B.-C.-D.-

6323

解析解法一cos2(?+?=-[l+cos(2ot+-)]=-(1—sin2a)

2226

解法二cos(a+》=-cos—sina,所以cos?(?+-)=-(cosa—sina)2

2242

-(1-2sinacosa)=-(1—sin2a)=-.

226

5.[2024廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)模擬]已知sin(?+-)—cosa=^,則sin(2?+-)=

656

(A)

角星析由已知sin(a+-)—cosa=sinacos-+cossin--cosa=—sintx--cosa=sin(a—

66622

-)則sin(2ot+-)=cos(2a—-)=1—2sin2(ot--)=1—2x(-)2=——,故選A.

65636525

6.[2024安徽六校聯(lián)考]已知cos（。+夕）=5tanoHan4=5則cos（0一夕）D)

解析因為tanatan/=,=：；；；黑,所以cosacos￡=3sinasin夕，又cos(a+4)=：=

11

cos(zcos夕一sinasin所以sinasinP=~,cosacos尸=5,所以cos(1一夕)=cosacos4+

sinasin4=白.故選D.

7.已知a,夕為銳角，且tana=}cos(a+.)=學(xué)，則cos2尸=(C)

A.三B?C.iD%

53510

解析由已知。為銳角，且tana=/得至ijsina=^^,cosa=q^.由cos(a+尸)=?且

a,夕為銳角，得到sin(a+夕)=?,所以cos/?=cos[(a+4)—a]=cos(a+4)cosa+

sin(a+￡)sina=——x——+—x-=----,所以cos2￡=2cos2￡—l=2x——1=一.

產(chǎn)5105ioio產(chǎn)產(chǎn)105

8J2023高三名校聯(lián)考]已知ZaWir,ng粵,sin2ct=-,cos(a+￡),貝U4一a=

42510

(C)

A.2或郊B=C.—D.-

44444

解析解法一因為FgaS兀，所以與2延2兀，又sin2a==>0,所以22七兀，可得上任“，所

425242

以cos2a——Jl—sin22a=-|.

2

因為兀史，?<—,—<a+/3<27i9所以sin(a+夕)=—/l—cos(a+j?)=

2244Y

_7V2

10'

所以sin(￡—a)=sin[(a+￡)—2a]=sin(a+4)cos2a—cos(a+￡)sin2a=~~~x

(--)-(--)乃=絲,所以僅一a=鄴，故選C.

51052l4

解法二由題意，易得2a￡(-,71),a+夕￡(―,2兀)，/一(0,—),(提示：

244

由sin2a，，色好兀，知aG弓=））

得用一a=（a+￡）-2ae（%亨），所以夕一狂《，乎），結(jié)合選項可知選C.

9.[2023東北三省三校聯(lián)考]若sin(2a+-)+cos2a=V3,貝!Jtana=(C)

6

A.yB.lC.2-V3D.2+V3

解析由sin(2a+-)+cos2a=V3,可得sinZacos^+cos2asinE+cos2。=8，所以百

666

(|sin2a+^cos2a)=V3,即sin(2a+；)=1,解得2a+g=1+2E,正Z,即a=^|+

kit,kGZ,貝ijtana=tan(-+^7i)=tan—=tan=ta%:\=立1=2一遍.故選

''121234l+tan--tan-1+V3

34

c.

1能力練重難通關(guān)

10.[2024山東泰安模擬]銳角a,夕滿足tana='^,貝U(B)

1—sin/?

A.2a+夕=]B.2Q一尸=]

C.2a+Q=*D.2a—￡=—1

角工桁—cose_COS2^*46—sin21_(cosf-siny)(cosy+sin_cos^+sin|_1+tan_

@1—sin0cos2^+sin2y—2sin^-cos(cosy—sin2cossin91—tany

n?g

a"l:"'=tanU+且)，XVa,/是銳角，而y=tanx在(0,-)單調(diào)

1-tan--tan42’產(chǎn)‘4422'，2

42

遞增，故(/=：+§,因此2a—￡=].故選B.

11.[2024陜西咸陽模擬]已知a=2sin±fe=3sin-,c=4sin-,則(B)

346

A.a<c,a-\-c>2bB.a<c,〃+c<2/?

C.a>c,a-\-c>2bD.〃>c,a~\-c<2b

解析.*.0<cos-<l,.*.2sin-=2sin(2x^)=4sin-cos-<4sin-,.*.tz<c;

62’636666

V0<—.,.0<cos—<1,sin-<sini,艮I7sin--sin-<0,?\a+c=2sin-+4sin-=

1263212636336

3sin-+3sin-+(sin--sin-)<3sin-+3sin-=3sin(-+—)+3sin)=6sin-cos—<

366336412412412

6sini=2Z?,,??a+cV2"故選B.

4

12.點Po0，|)為銳角a的終邊與單位圓的交點，OPo(。為坐標(biāo)原點)逆時針旋轉(zhuǎn)三得

4-3V3

OP1，則點P1的橫坐標(biāo)為.

10

解析根據(jù)三角函數(shù)的定義可得sina=|,