安徽省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z+2彳=3-后（i為虛數(shù)單位），貝ljz=（）.

A.1+V3iB.1-V3iC.-1+V3iD.-1-V3i

2.已知向量方=（2,1）,b=（m-2,m）,若則機(jī)=（）.

A.-4B.-2C.2D.4

3.在等比數(shù)列｛4｝中，若。2。3%3=8,則。4。8=（）.

A.2B.272C.4D.8

4.設(shè)0,6是兩條不同的直線，戶是兩個不同的平面，若auc,6u6，a,則“。，尸”

是“"力”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.己知集合/=｛（x,y）|y=ln（M+l）｝,人"/獷+產(chǎn)=1],則中的元素個數(shù)為（）.

A.1B.2C.3D.4

「?2兀?27兀/、

6.sin-----sin——().

1212

611

A.—B.-C.——D.--

2222

243

7.某公司進(jìn)行招聘，甲、乙、丙被錄取的概率分別為一,且他們是否被錄取互不

4

影響，若甲、乙、丙三人中恰有兩人被錄取，則甲被錄取的概率為().

102一7D.L

A.—B.—C.—

1331330

2

8.已知雙曲線C:/-*=1（6>0）的左焦點為尸，過坐標(biāo)原點。作C的一條漸近線的垂線

1,直線/與C交于4,3兩點，若尸的面積為名目，則C的離心率為（）.

3

A.3B.V5C.2D.V3

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.已知橢圓C:/+4/=16的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,P是C上的任意一點，則（）

的離心率為工

A.CB.附|+|尸閶=8

2

C.|尸用的最大值為4+2百D.使4尸片為直角的點尸有4個

10.若0<Q<6<1,則（）.

A.。+2y[b>b+2GB.cos?！祍in6

b

C.log的〉一D.\na-Inb<a-b

11.在四棱錐S-4BCD中，已知底面NBC。為梯形，AD=2AB=2BC=2CD=SD=2

NS=2后，則下列說法正確的是（）.

A.四邊形/BCD的面積為28

4

B.棱S2的長度可能為2追

C.若切，/3,則點/到平面SAD的距離為1

D.若則四棱錐S-48CD外接球的半徑為2

三、填空題

12.甲、乙、丙、丁4名老師分到3所不同的鄉(xiāng)村學(xué)校支教，若每名老師只去一所學(xué)校，每

所學(xué)校都有老師去，且甲不和別的老師去同一所學(xué)校，則不同的支教分派方案有

種.

13.已知函數(shù)/（x）=cos（ox+°）在區(qū)間-|,g上單調(diào)遞增，且/CT=2,則

/（2）=.

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為曲線y上一點且位于第一象限，將線段。河繞x

X

軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓錐的側(cè)面，再將其展開成扇形，則該扇形的圓心角的最大值

為__________

四、解答題

15.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面/BCD是邊長為2的正方形，且平面尸4D_L平面

ABCD,PDYAD.

試卷第2頁，共4頁

(1)證明：8C_L平面PCO；

(2)若凡4=4,E為棱尸C的中點，求直線PC與平面4BE所成角的正弦值.

12cosR

16.在VN8C中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知/

sinC2smz+sinB

⑴求c；

(2)若3a+6=2c且。=3,求V48c的外接圓半徑.

17.已知拋物線E：/=2px(p>0)的焦點為尸，過點/且互相垂直的兩條動直線分別與￡

交于點a8和點C,D,當(dāng)|/B|=|CD|時，|/a=8.

(1)求￡的方程；

網(wǎng)1

(2)設(shè)線段N8,CA的中點分別為N,若直線的斜率為正，且-=g，求直線

\FM\8

和CD的方程.

18.無人駕駛被視為推動社會進(jìn)步和改善生活質(zhì)量的重要工具，但其安全性和對勞動就業(yè)的

影響也受到人們的質(zhì)疑.為了解某大學(xué)的學(xué)生對無人駕駛的態(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了該校96名大

學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下表所示：

對無人駕駛的態(tài)度支持中立反對

頻數(shù)483216

用樣本的頻率分布估計該校每名學(xué)生對無人駕駛態(tài)度的概率分布，且學(xué)生的態(tài)度相互獨

立.為衡量學(xué)生對無人駕駛的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反對

者得1分.

(1)從該校任選2名學(xué)生，求他們的得分不相同的概率.

(2)從該校任選3名學(xué)生，求他們的得分之和為7的概率.

(3)從該校任選〃名學(xué)生，其中得分為5的學(xué)生人數(shù)為X,若利用下面

所給的兩個結(jié)論，求正整數(shù)〃的最小值.

試卷第3頁，共4頁

￡-np

結(jié)論一：若隨機(jī)變量則隨機(jī)變量〃=近似服從正態(tài)分布N（O,1）；

結(jié)論二：若隨機(jī)變量4~N（O,1）,則尸偌41.28）*0.9,P（吐1.65）*0.95.

19.已知函數(shù)/（無）=上-In產(chǎn)7.

⑴求f（x）的定義域；

⑵求/'（X）在區(qū)間（0,，上的零點個數(shù)；

（3）設(shè)左證明：（萬+1）化2+1,化"+1卜

時.（「2_][_%2+]<XT[_2x_f

、?yX2+X-1J卜2_1）12+%_][Ix2+X-1J（x-l）^x2+X-1）

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案ABCABDCBBCDAD

題號11

答案AC

1.A

【分析】根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的加減法，復(fù)數(shù)相等的概念求解即可.

【詳解】設(shè)2=%+.（%,”對,

因為z+25=3-V§i,

所以x+yi+2-yi）=3x-yi=3-V3i,

所以x=1,y=A/3,即z=1+代?.

故選：A

2.B

【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示可得.

【詳解】3=（2,1）,3=（冽—2,加），

由不〃3可得2加=加一2,解得冽=-2.

故選：B.

3.C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)運(yùn)算求解即可.

【詳解】因為數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，

貝Ua2a3al3=a3（%。13）=。3a9〃6=〃：=8,即％=2,

所以。4。8=d=4.

故選：C.

4.A

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷充分性，由線線垂直得線面關(guān)系的各種情況判斷必要性即

可.

【詳解】若。，尸，由bu/?可知：成立；

答案第1頁，共14頁

若0,力，可能〃或。與月相交，故不一定

所以“0，夕，是的充分不必要條件

故選：A

5.B

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及數(shù)形結(jié)合判斷交點個數(shù)得解.

【詳解】由xeR且ln(|x|+l)=lnQ-x|+l)知，y=ln(|x|+1)為偶函數(shù)，故函數(shù)圖象關(guān)于y軸

對稱，

當(dāng)x2O時，作出了=ln(x+l)與圓的圖象，如圖，

由圖象知，當(dāng)xNO時，有一個交點，

再由偶函數(shù)圖象的對稱性可知，當(dāng)尤＜0時，也有一個交點.

綜上，y=ln(|x|+l)圖象與圓有兩個交點，

所以ZcB中的元素個數(shù)為2個.

故選：B

6.D

【分析】根據(jù)題意利用誘導(dǎo)公式以及倍角公式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：

.2兀2兀兀

=sm------cos—=一cos-

12126

故選：D.

7.C

【分析】求出三人中恰有兩人被錄取的概率以及甲被錄取時恰有兩人被錄取的概率，利用條

件概率公式求解.

【詳解】設(shè)甲，乙，丙被錄取分別為事件4民。，三人中恰有兩人被錄取為事件。，則

答案第2頁，共14頁

743

尸(/)=§，尸(2)=3,尸(Ch%，

——————143

P(D)=PQBCuABCuABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-x-x-+

21324113

—X—x—+—X—X—=——,

35435430

____7

P(AD)=P(ABCuABC)=P(ABC)+P(ABC)=—

7

7

：.P[A\D\=*叫T

[1)尸⑷1313

30

故選：c.

8.B

【分析】根據(jù)題意可得/：x=-6y,聯(lián)立方程解得M=,根據(jù)面積關(guān)系可得6=2,

即可得離心率.

【詳解】由題意可知：a=l,c=47/=gF,則F(—C,0),

不妨取一條漸近線為＞=6x,則/:工=-力,

x=-by

2b

聯(lián)立方程2V，解得M=

I'cyJb2-1，

由對稱性可知：點。為線段48的中點,

則S4ABF=2sA=2x—XCx—[b='6

2c“2-13

即/:=~~~~，解得b=2,貝!j0=J1+/-舊,

\b—1$

所以C的離心率為e=￡=火.

a

故選：B.

9.BCD

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出凡Ac,由離心率定義判斷A,由橢圓定義判斷B,由橢

答案第3頁，共14頁

圓的幾何性質(zhì)判斷C,根據(jù)以線段4月為直徑的圓與橢圓交點個數(shù)判斷D.

22

【詳解】由原方程可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1,

164

a=4,b=2=>c=2^/3,；,e=—=—，故A錯誤；

a2

由橢圓定義可知|尸片|+|尸鳥|=2。=8,故B正確;

由橢圓的性質(zhì)知|咫|?^=。+。=4+2月，故C正確；

易知以線段月入為直徑的圓（因為6<c<。）與C有4個交點，故滿足/耳尸鳥為直角的點尸

有4個，故D正確.

故選：BCD

10.AD

【分析】對于選項A：利用作差法分析判斷即可；對于B：舉反例說明即可；對于C：根據(jù)

對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分判斷；對于D：構(gòu)建函數(shù)[（x）=lnx-x,xe（O,l）,利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性,

結(jié)合單調(diào)性分析判斷.

【詳解】對于選項A：因為（0+2揚(yáng)）一（6+2&）=（&+6-2）（右一班），

若0<a<b<1,則4a+y/b-2<0,y/a-Jh<0,

可得（°+26）_（6+26）=（夜+A/Z>j>0,

所以a+2/>b+2&i,故A正確；

對于選項B：例如：<。<方<1,貝I]cosa<cosq,sinb>sinC,

44242

即cosa<"<sinb,不合題意，故B錯誤；

2

對于選項C：因為則k）ga6〈10ga〃=l,—>1,

a

即iog$<i<2,故c錯誤；

a

11_

對于選項D：設(shè)/（x）=lnx-x,xe（O,l）,貝ij/（x）=±-l=—r>0,

XX

可知/（X）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增，

若則/（。）</僅），即Ina-a<Inb-6,

所以Ina-lnbva-b,故D正確；

答案第4頁，共14頁

故選：AD.

II.AC

【分析】對于A：分析四邊形的結(jié)構(gòu)特征，即可得面積；對于B：根據(jù)題意可知點S

在以。為圓心，半徑為2的圓。上，結(jié)合圓的性質(zhì)可得SBe（-2人,+26卜即可判

斷；對于C：可證AB1.平面Sa）,即可得結(jié)果；對于D：分析可知四棱錐S-N8CD外接

球即為三棱錐外接球，且三棱錐S-N8C外接球的球心即為/S的中點，即可得半

徑.

可知NBCE,2cOE均為菱形，可得NB〃CE,BE//CD,

則/C_L8E,BZ）_LCE,即/C_LC￡>,8￡?_LN2,

旦AB=BC=CD=BE=CE=AE=DE=1,

即AABE,ABCE,ACDE均為正三角形,

所以四邊形/BCD的面積為3x」xlxlx/=5層，故A正確；

224

對于選項B：由選項A可知：AC=BD=6,

因為/。=5￡>=2,AS=2E，即/力=/。2+5。2,則/。，必,

可知點S在以。為圓心，半徑為2的圓。上，且/D_L圓。，

因為8C〃/。，可知8CL圓。，延長8C交圓。子點尸，則。尸=9,w=

22

可得即e2-g,2+g],8尸=g,則SB=1SF、BF2e2區(qū)小+2司,

答案第5頁，共14頁

因為-26,J7+2占卜所以棱S3的長度不可能為28，故B錯誤;

對于選項CD：由選項A可知：BD1AB,

若5?_L4B,則SDn8D=。，瓦),S￡>u平面S3。，則48_L平面S3。，

所以點N到平面S3。的距離為48=1,故C正確；

由選項AB可知：4民C,。均在以為直徑的圓上，

則四棱錐S-ABCD外接球即為三棱錐S-ABC外接球，

因為平面SAD,SBu平面4BCZ),可知48_LS8,

且4D，50,可知三棱錐S-ABC外接球的球心即為NS的中點，

則三棱錐S-ABC外接球的半徑R；AS=4i,故D錯誤；

故選：AC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于D：求四棱錐的外接球，轉(zhuǎn)化為三棱錐的外接球，并結(jié)合直角三

角形的性質(zhì)分析求解.

12.18

【分析】由分步計數(shù)原理可得，先安排甲，再將其余3人分組分配即可.

【詳解】完成這件事，可分為3個步驟：

第1步，先從3所不同的鄉(xiāng)村學(xué)校中選1所安排甲去，則有C；種方法；

第2步，將乙、丙、丁3位老師分成兩組，3人中選2人1組，另1人自己1組，有C；種

方法；

第3步，將兩組老師分配到另外2所學(xué)校中去，有A；種方法，

故由分步計數(shù)原理，得不同的支教分派方案有C；C：A；=3x3x2=18種.

故答案為：18.

13.—/0.5

2

答案第6頁，共14頁

【分析】從/（：］-/［-1］=2=/（功網(wǎng)-/（力1nm入手，得/弓］=1與/=從而得

到周期，進(jìn)而得0,再代入最值點求。，最后代入求〃2）即可.

【詳解】由/(x)=cos(ox+9),f\x)=-cosin(+^),

且/（%）的最大值為1,最小值為-1,

由/［：］-/［-；］=2=/（1）1_一/（?皿11,

可知當(dāng)且僅當(dāng)=〃X）max=1且="X）mm=T時等式成立.

-24-

又函數(shù)/（無）=COS（0X+0）在區(qū)間上單調(diào)遞增，

4?

故X=］與尤=-§為兩條相鄰的對稱軸，

所以周期7=2=牝

從而=亨==，故@=±￡,

11422

故/（x）=cos［±gx+夕］,f（2）=cos（±7i+夕）=-cose,

由/（￡|=1代入解析式可得

=?"土g義e+。］=cos［±^|+9］T'

2兀2元

貝?。荨?-+夕=2kn,kGZ,則夕=2析不3

故/（2）=-cos°=—cos（2左兀干年］=一cos1=

故答案為：7-

2

142兀，4e2+1

.4e2+l

【分析】求得，利用導(dǎo)數(shù)判斷y=膽的單調(diào)性和最值，設(shè)“&,%）戶。>1,結(jié)合圓錐的結(jié)

X

構(gòu)特征可得圓心角C,分析可知若扇形的圓心角a取到最大值，即崢取到最大值，構(gòu)建

函數(shù)/（切=竽（》>1），利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知：>=叱的定義域為（0,+8）,且了=匕坐，

XX

令V>0,解得0<x<e；令V<0,解得x>e；

答案第7頁，共14頁

可知：>=?在(O,e)內(nèi)單調(diào)遞增，在(e,+。)內(nèi)單調(diào)遞減,

且當(dāng)x=e時，y=-,當(dāng)％趨近于+8時，y趨近于0時，

e

4;；=—>0,解得x>l,

X

據(jù)此可得^=I吧nr的圖象，如圖所示：

由題意可知：圓錐的底面半徑為外,母線長為百三,

lnx0

若扇形的圓心角?取到最大值，即用=%=Inx。取到最大值,

%0%0*0

設(shè)〃x)=9(x>l)，則/"(x)=三瀉，

令/(%)>0，解得l<x(人；令/'(%)<0，解得%>八；

可知：“X)在(1,人)內(nèi)單調(diào)遞增，在(孤,+。)內(nèi)單調(diào)遞減，

則/(X)的最大值為/(&)=(,

答案第8頁，共14頁

2兀2兀54/+1

4e2+l

所以該扇形的圓心角的最大值為

2兀&+1

故答案為:

4e2+l

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征可得,進(jìn)而分析其最值即可.

15.（1）證明見詳解

⑵理

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得尸。，平面48CD,進(jìn)而可得尸。_LBC,CDVBC,

結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理分析證明；

（2）建系標(biāo)點，求平面/2E的法向量，利用空間向量求線面夾角.

【詳解】（1）因為平面平面/BCD,PD±AD,

且平面PADc平面=PAu平面尸ND,

可得PO_L平面

由BCu平面48CD,則尸D_LBC,

因為48C。為正方形，則CDL3C,

且尸。cCD=Z）,PD,CZ）u平面尸C。，

所以8C_L平面尸CD

（2）由（1）可知：PD_L平面48cD,且A8CD為正方形，

以。為坐標(biāo)原點，。/，。。，。尸分別為孤y/軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

由題意可得：留2,0,0）,3（2,2,0）（（0,2,嘰仆0,0,叫，40,1㈡,

答案第9頁，共14頁

h-AE=-2x+y+抬z=0

設(shè)平面4BE的法向量為元=(x,y,z),則—

n-AB=2y=0

令x=#）,則y=0,z=2,可得行=（6,0,2）,

所以直線尸C與平面/BE所成角的正弦值為力.

7

16.（1）C=^

（2）—

3

【分析】（1）根據(jù)sin/=sin（B+C）結(jié)合三角恒等變換化簡整理即可得結(jié)果;

（2）根據(jù)題意利用余弦定理可得c=7,進(jìn)而利用正弦定理求外接圓半徑.

12cosB

【詳角軍】（1）因為［---=---------；---,即2sin4+sin5=2sinCcosB,

sinC2sin/+sin5

且sinZ=sin（5+C）=sinBcosC+cos5sinC,

即2sinBcosC+2cosSsinC+sinS=2sinCcosfi，則2s25cosc+sin5=0,

且BE（0,兀），貝iJsinBwO,可得cosC=-;，

且Cc（O,兀），所以C=$.

9

（2）因為3a+b=2c且。=3,貝!jb=2c—9>0,可得c>—,

2

222

由余弦定理可得/=a+b_2abcosC,即c=9+（2c-9）-2x3（2c-9）x-

整理可得C2—10C+21=0,解得。=7或。=3（舍去），

?zc_7_7V3

所以V4BC的外接圓半徑一2sinC一6一3.

2x——

17.（1）/=4x

(2)AB:x-2y-l=0,CD:2x+y-2=0

【分析〉1)設(shè)48:》=叩+1,相片0,/(%,“),2(%,%),聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦

長公式可得|/同=2〃(1+，叫，分析可知m=1,|/4=8,代入運(yùn)算即可；

答案第10頁，共14頁

⑵根據(jù)（1）結(jié)論可得：M（2m2+\,2m）,,利用弦長公式運(yùn)算求解即可.

【詳解】（1）由題意可知：尸［^，°｝直線NB的斜率存在且不為0，

此時直線/8、CD均與拋物線E相交，

AB:x=my+—,mw0,/（國,必］久積％）,則CD:x=y+—,

2m2

p

x=my-\——c.

聯(lián)立方程2,消去x可得/-2,切-〃2=o,

y2=2px

2

則%+%=2pm,yi-y2=-p,

可得|/§|二y/l+m214P2nl之+4p2=2p（i+m2）,

若|/同二|。必，根據(jù)拋物線的對稱性不妨令直線的傾斜角為：，即加=1,

可得|4同=22(1+1)=42=8,解得P=2,

所以拋物線E的方程為y2=4x.

(2)由(1)可知：尸(1,0),AB:x=my+lCD:x=-—y+l

fmf

且乂+?2=4加，乂=T，

貝匹=2加，土產(chǎn)=2加2+1,即〃（2/+1,2加），

同理可得：N（--+1,］,

\mm）

由題意可知：m>0,

貝|JEM=J1+加212m-0|=2mJ1+加2,儼N|=I+_1r_2_0=2“+m-,

J\mmm

211+m2

因為I硒I_=1=1,解得〃?=2,

歸M2myll+m2/8

答案第11頁，共14頁

貝(j/5:x=2y+l,CD:x=--^y+l,BPAB:x-2y-l=0,CD:2x+y-2=0,

11

18.(1)-

⑵二

772

(3)11

【分析】(1)根據(jù)表格由古典概型求解即可;

(2)列出得7分的互斥事件，根據(jù)相互獨立事件乘法公式及互斥事件和的概率公式求解;

(3)由二項分布及正態(tài)分布的性質(zhì)及所給結(jié)論建立不等式近".65即可得解.

2

【詳解】(1)由題可知該校每名學(xué)生得1分的概率為得3分的概率為:，得5分的概率

63

為j

故從該校任選2名學(xué)生得分不相同的概率為1-3-2.

632lo

(2)因為7=5+1+1=3+3+1.

所以從該校任選3名學(xué)生，他們的得分之和為7的概率為C；xL+C；xxL二.

216J(3J672

X—72c“

(3)易知丫~53，3”22X-n

'設(shè):=飛~

根據(jù)結(jié)論一，知y~N(o,i).

再根據(jù)結(jié)論二，知尸(—1.65<Y<1.65卜2x0.95-1=0.9.

/9,

所以近21.65,解得"210.89,

2

所以正整數(shù)〃的最小值為11.

1+?.,1IIA\

19.(1)-oo,------U-1,——U(L+0°)

(2)1

⑶證明見解析

【分析】(1)根據(jù)解析式有意義建立不等式，由數(shù)軸穿根法可得解;

答案第12頁，共14頁

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性由單調(diào)性結(jié)合函數(shù)值符號及零點存在定理得解;

(3)原不等式可轉(zhuǎn)化為ln(/+l)+ln(〃+l)+...+ln(-+l)再由x>l時,

k2+k-\

lnx<x-l及等比數(shù)列求和公式轉(zhuǎn)化為『(一"’)<￡,構(gòu)造函數(shù)

\-k\-k

g(x)=E-lnJ7利用導(dǎo)數(shù)即可得證.

、71-xx2+x-l

2-1

【詳解】(1)由題意知1—XWO且V;^-〉0,

X+x—1

x2-1=0有兩個實根為x=±l,x2+x-l=0有兩個實根為X=二"#

2

所以由^^>0可得或或尤

x2+x-122

所以〃x)的定義域為(-漢-上乎卜*

\7\7

(2)由題意知/'(x)=J￥x2+1x(3x-l)

(I)(X2+X—1)(X-1)2(x+l)(%2+n_])

因為當(dāng)卜寸，x2+x-l<0,

所以當(dāng)xe(0,J時,Ax)>0,當(dāng)xe],￡|