第01講導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及幾何意義

（8類核心考點(diǎn)精講精練）

1%.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

己知切線斜率求參數(shù)

2024年新I卷，第13題,5分直線的點(diǎn)斜式方程

公切線問題

利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性

2024年新II卷，第16題,15分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程

根據(jù)極值求參數(shù)

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

2022年新I卷，第10題,5分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程

求已知函數(shù)的極值點(diǎn)

抽象函數(shù)的奇偶性

2022年新I卷，第12題,5分函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系

函數(shù)對稱性的應(yīng)用

2022年新I卷，第15題,5分求過一點(diǎn)的切線方程求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值

2022年新II卷，第14題,5分求過一點(diǎn)的切線方程無

2021年新I卷，第7題,5分求過一點(diǎn)的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)

兩條切線平行、垂直、重合

2021年新II卷，第16題,5分直線的點(diǎn)斜式方程及辨析

（公切線）問題

2020年新I卷，第21題,12分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

2020年新II卷，第22題,12分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分左右

【備考策略】1理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，理解導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，了解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)與思想,

了解極限思想

2能通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意

3能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單

的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并.熟練使用導(dǎo)數(shù)公式表

4能理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并會求切線方程

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會考查在曲線上一點(diǎn)的切線方程或過一點(diǎn)的切線方程,

需加強(qiáng)復(fù)習(xí)備考

知識點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念

知識點(diǎn)2八大常用函數(shù)的求導(dǎo)公式

知識點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

核心知識點(diǎn)

知識點(diǎn)4復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式

知識點(diǎn)5導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的概念、考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

運(yùn)算及幾何意義考點(diǎn)2求曲線切線的斜率或傾斜角

考點(diǎn)3求在曲線上一點(diǎn)的切線方程

考點(diǎn)4求過一點(diǎn)的切線方程

核心考點(diǎn)考點(diǎn)5已知切線(斜率)求參數(shù)

考點(diǎn)6兩條切線平行、垂直問題

考點(diǎn)7公切線問題

考點(diǎn)8切線(方程)的綜合應(yīng)用

知識講解

1.函數(shù)V=/(%)在x=處的導(dǎo)數(shù)

/(xo+Ax)—/(xo)Ay

⑴定義：稱函數(shù)y=/(x)在x=xo處的瞬時(shí)變化率limlim二為函數(shù)y=/(x)在x=x()處

Axf0AxoAx

.Ay/(xo+Ax)—/(xo)

的導(dǎo)數(shù)，記作了(xo)或VW=xo，即/(xo)=lim—=lim

Axf0AYAr-0Ax

2.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)

如果函數(shù)y=/(x)在開區(qū)間(。，6)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(。，6)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，函數(shù)/(x)=

./(x+Ax)—/(x)

lim----------------:----稱--為函數(shù)〉=/㈤在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).

Ax

3.八大常用函數(shù)的求導(dǎo)公式

(1)C'=Q(C為常數(shù))

27---1--

⑵(心)，"，例:"5x4,(一)=",(內(nèi)=(3，=寸5

(3)(exy=ex(4)=ax\na(5)(lnx)r=—

x

(6)(logx)r=---(7)(sinx)r=cosx(8)(cosx)r=-sinx

Jflx]na

4.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

⑴和的導(dǎo)數(shù)：[/(x)+g(x)]=/'(x)+g'(x)

⑵差的導(dǎo)數(shù)：[/(')—g(x)]二/'(x)—g'(x)

(3)積的導(dǎo)數(shù)：[/(x)g(x)]=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)(前導(dǎo)后不導(dǎo)+前不導(dǎo)后導(dǎo))

f

(4)商的導(dǎo)數(shù)：/⑴=/(x)g(x)一』(x)g(x),g(x)wO

_g(x)」g2(x)

5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式

函數(shù)y=/(g(x))中，設(shè)M=g(x)(內(nèi)函數(shù))，則了=/(")(外函數(shù)).,._/=%-Ux

6.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(X)在X=X0處的導(dǎo)數(shù)/'(X。)就是曲線^=/(X)在點(diǎn)(為,/(%))處的切線的斜率3即

k=f'(x)=lim/(/+.)-/(X。).

0aAx

(2)直線的點(diǎn)斜式方程

直線的點(diǎn)斜式方程：已知直線過點(diǎn)尸(/,%))，斜率為左，則直線的點(diǎn)斜式方程為：y-y0=k(x-x0)

【注】曲線的切線的求法：若已知曲線過點(diǎn)尸(如%),求曲線過點(diǎn)尸的切線，則需分點(diǎn)戶(4,加是切

點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解.

(1)當(dāng)點(diǎn)尸(%,%)是切點(diǎn)時(shí)，切線方程為y-%)=左(%一雙))；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸(%,%)不是切點(diǎn)時(shí)，可分以下幾步完成：

第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)尸'(程/區(qū)))；

第二步：寫出過P'(X],/(xJ)的切線方程為y—/(xj=/'(xj(x—xj；

第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)(Z,%)代入切線方程求出對

第四步：將％的值代入方程y—/(xi)=/'(xj(x—xj,可得過點(diǎn)尸(%,%)的切線方程.

考點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

典例引領(lǐng)

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

⑴"eRx+iy；

(2)y=cos(3x-l)-ln(-2x+1)；

⑶y=sin2x+cos2x；

⑷y=J21.

X

⑸〉=e“sinx-cosx

(6)y=tanx+ln(-x)

,、.xx

(7)^=x-sin—cos—

⑻..廠ln(l:-x),

ex

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(土x\

(l)y=2e+xe2；

\7

(2)y=a2x+x2；

⑶y=sin43x?cos34x；

,、xlnxi/n

⑷〉=-----ln(x+l).

x+1

即時(shí)檢測

1_____________

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(l)J=ln3；

⑵>=

COSX

(3)/(%)

ex

(4)^=(2X2-1)(3X+1)；

⑸/(x)=InJl+%2;

,、1+cosx

⑹尸—

smx

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=xex

Inx

⑵了=

x2+l

（3）y=2sin（l-3x）

（4）j=—^lnx+Vl+x2.

3.（23-24高三上?山西臨汾?階段練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

⑴>=(/+3x+3)e"+i

,、cos(2x+1)

(2)y=---------

x

(3)^=ln——

1+2x

(4)歹=(%+DO+2)(x+3)

(5)j?=x\nx+x2-x+2

(6)y=In2+x，+e*——

考點(diǎn)二、求曲線切線的斜率或傾斜角

典例引領(lǐng)

1.（全國?高考真題）曲線y=xe，T在點(diǎn)（1,1）處切線的斜率等于（）.

A.2eB.eC.2D.1

2.（全國?高考真題）曲線y=》3-2x+4在點(diǎn)（1,3）處的切線的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

即

1.（2024?上海嘉定?二模）已知曲線y=gx3上有一點(diǎn)P。，1）則過P點(diǎn)的切線的斜率為

2.（2024?福建廈門?一模）已知直線/與曲線y=x3-x在原點(diǎn)處相切，貝心的傾斜角為（

考點(diǎn)三、求在曲線上一點(diǎn)的切線方程

典例目闞

2x—1

1.（2021?全國?高考真題）曲線y=—^在點(diǎn)（T-3）處的切線方程為_______.

x+2

2.（2023?全國?高考真題）曲線y=占在點(diǎn)［1,￡|處的切線方程為（）

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=—x+——

424424

3.（2024?全國?高考真題）設(shè)函數(shù)則曲線y=在點(diǎn)（0,1）處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成

的三角形的面積為（）

即時(shí)檢測

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）函數(shù)〃x）=e'（x2-2尤+2）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）

A.x+ey-4=0B.x-ey+6=0C.ex-y+6=0D.ex-j^+e+—=0

e

2.（2024?河北保定?三模）曲線〃x）=e-3x在點(diǎn)（0,〃0））處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為

（）

3.（2024?湖北?模擬預(yù)測）寫出函數(shù)=3-十瓦的一條斜率為正的切線方程：,

考點(diǎn)四、求過一點(diǎn)的切線方程

典例引領(lǐng)

1-___________

L（2022?全國?高考真題）曲線＞=ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為,

2.（2024?貴州?模擬預(yù)測）過點(diǎn)尸（1,-3）作曲線y=2d_3x的切線，請寫出切線的方程.

1.（2023?全國?模擬預(yù)測）過原點(diǎn)可以作曲線＞=/（》）=X2-國+1的兩條切線，則這兩條切線方程為（）

A.>=x和丁=TB.歹=一3%和y=3x

C.y=x^y=-3xD.丁=一％和歹=3%

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線〃x）=e、，-2x+2）的切線，則切線共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

考點(diǎn)五、已知切線（斜率）求參數(shù)

典例引領(lǐng)

1.（全國,高考真題）曲線了=（辦+1戶在點(diǎn)（0,1）處的切線的斜率為-2,貝匹=.

211

2.（2024?湖南長沙?二模）已知m>0,">0,直線y=-x+m與曲線y=2\nx-n+A相切，貝IJ—+-

emn

的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

即時(shí)檢測

1.（2024?四川遂寧三模）曲線y=/+°x在點(diǎn)P（l,6）處切線的斜率為3,則實(shí)數(shù)。=.

2.（2024?浙江紹興?二模）函數(shù)/（x）=x+alnx在點(diǎn)（1,1）處的切線與直線y=2x平行，則。=（）

A.1B.2C.-1D.-2

3.（2024高三下?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)g（x）=x（"+21nx）,若曲線y=g（x）在x=l處的切線方程為

y=6x+b,貝!Ja+b=.

考點(diǎn)六、兩條切線平行、垂直問題

典例引領(lǐng)

L（2021?全國?高考真題）已知函數(shù)/。）=,-1|,占<0,々>0,函數(shù)/⑴的圖象在點(diǎn)/（玉,/（玉））和點(diǎn)

8卜2，/（々））的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點(diǎn)，則微^取值范圍是.

2.（2023?四川涼山?一模）函數(shù)/（x）=；/+ainx在區(qū)間（1,2）的圖象上存在兩條相互垂直的切線，貝壯的取

值范圍為（）

A.（-2,1）B.（-2,-1）C.（-2,0）D.（-3,-2）

3.（2024?河北邢臺?二模）已知函數(shù)〃x）=x2+21nx的圖像在“（國,〃西）），以％,/（%））兩個(gè)不同點(diǎn)處的切

線相互平行，則下面等式可能成立的是（）

c10c10

A.%1+x2=2B.xl+x2=—C.xxx2=2D.xxx2=—

即時(shí)

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）己知函數(shù)/（x）=（x+ay+lnx的圖象上存在不同的兩點(diǎn)48,使得曲線》=/（x）

在點(diǎn)42處的切線都與直線x+2y=0垂直，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.＞/2）B.（1-V^,0）C.卜8,1+V^）D.（0,1+V^）

2.（山東?高考真題）若函數(shù)＞=/（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則

稱y=/（x）具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是

A.y=sin%B.y=\nxC.y=exD.y=x3

3.（2024?河南,模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（》）=-奈甘+^（工＞0）的圖象經(jīng)過48兩點(diǎn)，且〃x）的圖象在48

處的切線互相垂直，則。的取值范圍是（）

A.(-3,0)

xH—|e*,x＞0,

7.（2024?河南?三模）已知函數(shù)/（'）=12J點(diǎn)A,3在曲線＞=/（%）上（A在第一象限），過A,

x3,x＜0,

\BQ\

8的切線相互平行，且分別交》軸于尸，。兩點(diǎn)，則品的最小值為.

考點(diǎn)七、公切線問題

典例引領(lǐng)

1.（2024?全國?高考真題）若曲線y=e，+x在點(diǎn)（0,1）處的切線也是曲線》=ln（x+l）+a的切線，則

a=,

2.（全國?高考真題）若直線y=h+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+l）的切線，貝|

b=.

3.（2024?廣東茂名?一模）曲線＞=lnx與曲線y=x2+2◎有公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

1D.!，+s

c.—oo—

2

即0唧（

1.2024?河北滄州?模擬預(yù)測）已知直線/：y=依是曲線/（X）=町和g（X）=InX+。的公切線,則實(shí)數(shù)0=.

2.（2024?上海?三模）設(shè)曲線仆）=溫+6和曲線g（x）=cos5+c在它們的公共點(diǎn)*0,2）處有相同的切線,

則/+c的值為.

3.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）若曲線>=/與了=江”20）恰有兩條公切線，則f的取值范圍為（）

A.總B.目+°°]C.（-”,0）u?,+e]D.（-/⑼口，&

考點(diǎn)八、切線（方程）的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2021?全國?高考真題）若過點(diǎn)（。,6）可以作曲線y=e'的兩條切線，則（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<efcD.0<b<ea

2.（23-24高二下?遼寧本溪?期中）若過點(diǎn)。,6）可以作曲線了=ln（x+l）的兩條切線，則（）

A.In2<b<2B.b>ln2

C.0<b<ln2D.b>l

3.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）已知直線>=h+6恒在曲線了=ln（x+2）的上方，則9的取值范圍是（）

k

A.（1,+°°）B.|,+°o|C.（0,+a）D.I—,+0°I

即時(shí)性測

1.（2024,全國?模擬預(yù)測）若直線歹=2%-6與曲線/（工）=。2%一2飆口>一1）相切,則b的最小值為（）

A.-eB.-2C.-1D.0

1.2.（2024?全國?模擬預(yù)測）若直線歹二'與曲線y=bgqX（〃〉0且awl）無公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)[的取值范

圍是（）

A.(l,e)B.]l,ejC.(Ve,+oo)D.｝；,+<?

3.(2024?重慶?模擬預(yù)測)已知直線》=ax+6與曲線y=e，相切于點(diǎn)(x0,e'。)，若/e(-8,3),則a+6的取值

范圍為()

A.(-00,e]B.(-e3,e]C.(0,e)D.(0,e3]

12.好題沖關(guān).

基礎(chǔ)過關(guān)

—*、單選題

L（2024?貴州六盤水?三模）已知曲線歹=/-3向的一條切線方程為了=一工+加，則實(shí)數(shù)加=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2024?河北保定三模）已知二次函數(shù)＞=G（X-6）（b/0且671）的圖象與曲線y=lnx交于點(diǎn)尸，與工

軸交于點(diǎn)/（異于點(diǎn)。），若曲線＞=lnx在點(diǎn)尸處的切線為/,且/與ZP垂直，則。的值為（）

A.—B.—1C.—JeD.—2

e

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）若函數(shù)/（x）=x2+3x-41nx,點(diǎn)尸是曲線y=〃x）上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線

-3=0的距離的最小值為（）

A.472B.述C.3亞D.好

22

4.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?二模）已知曲線y=/+3x+3在x=l處的切線與直線x-2y+l=。垂直，貝壯=

（）

911

A.3B.-C.7D.—

22

5.（23-24高二下?山東棗莊?期中）若點(diǎn)。是曲線y=Mx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x-4的最小距離

為（）

A.1B.V2C.2A/2D.472

6.（2024?河南?模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=lnx-/與直線、+?=（）相切于點(diǎn)人，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（）

1

A.-B.1C.2D.e

二、填空題

2

7.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知曲線〃x）=lnx+亍在點(diǎn)（1J⑴）處的切線的傾斜角為；，則。的值為.

8.（2024?山西朔州?模擬預(yù)測）已知/,2分別為曲線＞=2e，+x和直線＞=3x-3上的點(diǎn)，則|/刈的最小值

為.

9.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）的圖象在點(diǎn)（1,〃功處的切線方程是x-2y+l=0,若

"x）=W，則〃'⑴的值為.

10.2024?四川?模擬預(yù)測）已知〃?＞0,"＞0,直線y=,x+加+1與曲線y=lru-〃+3相切，則機(jī)+〃=.

能力提升

一、單選題

1.（2024?四川德陽?二模）已知直線了=辦-1與曲線/（x）=ln（ex）相切，則。的值為（）

A.—B.1C.y/cD.e

e

2.（2024?遼寧大連?一模）斜率為1的直線/與曲線＞=ln（x+a）和圓/+/=；都相切，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.0或2B.-2或0C.—1或0D.0或1

3.（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測）若斜率為1的直線/與曲線V=ln（x+a）和圓工2+必=2都相切，則實(shí)數(shù)。的

值為（）

A.-1B.1C.3D.-1或3

4.（2024.全國.模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=ei,g（x）=；ex2,若直線/是曲線了=〃x）與曲線y=g（x）的公

切線，貝心的方程為（）

A.ex-y=0B.ex—y—e=0

C.x-y=0D.x-y-\=0

5.（2024?浙江金華?三模）若存在直線與曲線/（x）=d-x,g（x）=/+。都相切，則°的范圍為（）

二、填空題

6.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知若曲線y=a"lna與直線＞=ex相切，貝（|a=.

7.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=（x+42+hix的圖象上存在不同的兩點(diǎn)42,使得曲線N=/（x）

在點(diǎn)48處的切線都與直線x+2y=0垂直，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

8.（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）若直線＞=2x為曲線＞=em+〃的一條切線，則湖的最大值為.

9.（2024?山東臨沂?二模）若直線>="+1與曲線y=6+lnx相切，則浦的取值范圍