專(zhuān)題04三角形中的8字模型和燕尾模型

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析T典例分析T

【模型1】“8字”模型

如圖，已知AC與BD相交于點(diǎn)0,連接AD,BC；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等可得NZ+ND=NB+NC；

根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，可得4D+3C<4C+3D。

【模型變式1】

如圖已知BD與AC相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在0A上，連接AD,DE,BC；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等可得

NA+ZADO=ZB+ZC=NDEO+/EDO。

【模型變式2】

如圖DB與DG分別交AF于C點(diǎn)，E點(diǎn)，連接AB,GF；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等可得

ZA+ZB=ZG+ZF=ZD+180°.

BG

【模型2】“燕尾”型

如圖在四邊形ABOC中，可根據(jù)外角定理：三角形的一個(gè)外角等于不與它相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得

NBOC=ZA+ZB+ZC.

【模型變式1】

如圖在A48C中，點(diǎn)D,E,F分別在AB,BC,AC上，AE,BF,CD相交于點(diǎn)0?？傻?

①^AAOBSMOC=BE:CE:

②S.°B：Sg℃=AF:CF

③SABOC:SMOC=BD:AD

【證明】如圖，分別過(guò)點(diǎn)B,點(diǎn)C作BG垂直于AE于G點(diǎn)，作CP垂直于AG的延長(zhǎng)線(xiàn)于P點(diǎn)。

在ZU8C中，...SMOB=LZO?8G；SMOC=-AO?CP

LXrlVJD22

：.SMOB-.S^OC=\^AO-BG\-.\^AO-CP\=BG：CP

在A5GE和NCPE中，ABGE=ZCPE=90°；NBEG=ZCEP；

ABGEsACPE

BGBE

"CPCE

SMOB''S\AOC=BE:CE

問(wèn)理可證：S^OB:S耶oc='F:CF；S砧°C:^^AOC=BD:AD

【例1】如圖，小ABC沿小ADE,ZCAD=10°fAB=25°,ZEAB=120°9求/。必和NDG5的度數(shù).

【答案】NDFB=90。,ZDGB=65°

【分析】由可得NDAE=NB4c=g(/EAB一NCAD),根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得

/DFB=/FAB+/B,因?yàn)镹E45=/C4O+/C4B,即可求得N。/咕的度數(shù)；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得

NDGB=NDFB-ND,即可得NQG5的度數(shù).

【解析】解：

:?/BAC=/DAE,/B=ZD,

VZEAB=120°,ZCAD=10°fAB=25°,

J/D=NB=25。，

ZDAE=ABAC=^(ZEAB-ZCAD)

=1x(120°-10°)

=55°,

J/DFB=/FAB+/B

=ZCAD+ZCAB+ZB

=10°+55°+25°

=90°,

/.ZDGB=ZDFB-Z2)=90°-25°=65°.

：.ZDFB=90°,ZDGB=65°.

【例2】如圖1,已知線(xiàn)段45、。。相交于點(diǎn)。，連接CB,我們把形如圖1的圖形稱(chēng)之為“8字形”.試

解答下列問(wèn)題:

（圖1）（圖2）

（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出N/、SB、NC、ND之間的數(shù)量關(guān)系：；

（2）如圖2,在圖1的條件下，/DN8和N3CD的平分線(xiàn)/尸和CP相交于點(diǎn)P,并且與C。、45分別相交于

M、N.請(qǐng)直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：

①仔細(xì)觀(guān)察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；

②若40。,28=50。，試求/尸的度數(shù)；

③若和DB為任意角，其他條件不變，試問(wèn)N尸與乙D、之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)

寫(xiě)出推理過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

④若ND和DB/為任意角,NDAB=3N2,乙DC8=3Z4,試問(wèn)NP與ND、DB之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？

若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴ZA+/D=NC+NB

（2）①6②/尸=45。③存在（理由見(jiàn)解析）④存在，2NB+ND=3NP

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等可得出結(jié)論.

（2）①分別找到以交點(diǎn)M、0、N為頂點(diǎn)的能構(gòu)成“8字形”的三角形，避免漏數(shù).

②利用“8字形”的數(shù)量關(guān)系并結(jié)合角平分線(xiàn)的定義，可求出ZP的度數(shù).

③和②同理

④利用“8字形”的數(shù)量關(guān)系并結(jié)合“NA48=3N2,NDC2=3N4”即可得出結(jié)論.

【解析】⑴解：???在八4。。中，4+4?+4。。=180。

在△COB中，ZC+Z5+ZCO5=180°

ZAOD=ZCOB（對(duì)頂角相等）

ZA+ZD=ZC+NB

（2）①解：以M為交點(diǎn)的有1個(gè)，即為和！CMP

以。為交點(diǎn)的有4個(gè)，即為A40D和△COB,A/OM和ABOC,A/（W和ACON,八4。。和ACON

②解：--AP^ZDAB,CP平分/BCD

2/1=ZOAD,2Z3=ZOCB

由（1）中的結(jié)論得：

Z1+ZD=Z3+ZP,

2Z1+ZD=2Z3+Z5

整理得：/B+ND=2NP

③解：NB+ND=2/P理由如下：

???AP平分CP平分N3CZ）

2/1=ZOAD,2Z3=ZOCB

由（1）中的結(jié)論得：

/1+/0=/3+/尸，

2Z1+ZD=2Z3+Z5

整理得：/B+ND=2NP

④解：2N2+ND=3N尸理由如下:

由（1）中的結(jié)論得：

/2+/P=N4+NB

3Z2+ZD=3Z4+ZB

整理得：2ZB+ZD=3ZP

一、單選題

1.如圖，3。是OO的直徑，點(diǎn)尸在8c的延長(zhǎng)線(xiàn)上，P4與。。相切于點(diǎn)力,連接2。，若NP=40。,

則ZADB的度數(shù)為（）

D

A.65°B.60°C.50°D.25°

【答案】A

【分析】由切線(xiàn)性質(zhì)得出/P4O=90。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180。、對(duì)頂角相等求出乙40P=50。,

即可得出答案；

【解析】解：???必與。。相切于點(diǎn)4是。。的直徑，

「?OALPA,

/.ZPAO=90°,

vZP=40°,

ZAOP=50°f

ZBOD=ZAOP=50°,

,;OB=OD,

/.ZOBD=ZODB,

ZADB=|x（180°-50°）=65°,

故選：A.

2.如圖，和cr）相交于點(diǎn)。，ZA=ZC,則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（）

A./B=NDB.Zl^ZA+ZDC.Z2>ZDD.ZC=ZD

【答案】D

【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角相等逐一判斷即可.

【解析】VZA+ZAOD+ZD^1SO°,ZC+ZCOB+NA=NC,ZAOD^ZBOC,

：.NB=ND,

'：Z1=Z2^ZA+ZD,

：.Z2>ZD,

故選項(xiàng)4B,C正確，

故選D

3.如圖，Zl=60°,則NA+NB+NC+ND+NE+NF=(

A.240°B.280°C.360°D.540°

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NB與NC的和，然后在五星中求得N1與另外四個(gè)角的和，加在一起

即可.

【解析】解：由三角形外角的性質(zhì)得：Z3=ZA+ZE,Z2=ZF+ZD,

VZ1+Z2+Z3=18O°,Zl=60°,

AZ2+Z3=120°,

即：ZA+ZE+ZF+ZD=120°,

VZB+ZC=120°,

JNA+NB+NC+ND+NE+NF=2400.

故選A.

4.如圖是由線(xiàn)段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形，/D=28。，則/A+/B+/C+/F的度數(shù)為（

C.208°D.236°

【答案】C

【解析】；如圖可知/尸+/8,ZCGE=ZC+ZA,

又,/ABED=/。+NEGD,

NF+NB=ND+NEGD,

又,/ZCGE+NEGD=180°,

/.ZC+ZA+ZF+ZB-ZD=1SO°,

又：ZD=28°,

zL4+Z5+ZC+ZF=180o+28°=208°,

故選C.

5.在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果44=52。,/8=25。，

NC=30°/D=35°/E=12。，那么乙F的度數(shù)是（）.

A.72°B.70°C.65°D.60°

【答案】A

【分析】延長(zhǎng)交C尸的延長(zhǎng)線(xiàn)于O,連接/O,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N2OC,再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)

求出NDEO,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出/DFO,根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求出/0FC的度數(shù).

【解析】延長(zhǎng)2E交CF的延長(zhǎng)線(xiàn)于。，連接/。，如圖，

ZOAB+ZB+ZAOB=180°,

ZAOB^l80°-ZB-ZOAB,

同理得ZAOC=180°-NOAC-ZC,

?：/AOB+ZAOC+ZBOC=360°,

???ZBOC=360°-ZAOB-ZAOC

二360?！?180°-AB-ZOAB)-(180°-ZOAC-ZC)

=4+/C+/A4C=107：

?.?ABED=72°,

.../DEO=180。—/BED=108°,

???ZDFO=360°-ZD-/DEO-/EOF

=360°-35°-108°-107°=110°,

???ZDFC=180。一ZDFO=180?！?10。=70。，

故選：A.

6.如圖所示，N/+N5+NC+NQ+NE的結(jié)果為()

A.90°B.360°C.180°D.無(wú)法確定

【答案】C

【解析】如圖，連接BC,

ZD+ZE+ZDOE=ZBOC+ZOCB+ZBOC=180°,NDOE=NBOC,

：.ZD+ZE=ZOBC+ZOCBf

XVZA+ZABO+ZACO+AOBC+ZOCB=180°,

???ZA+ZABO+ZACO+ZD+ZE=1SO0.

故選：C.

c

二、填空題

7.如圖，^.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI=

【答案】900°

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案.

；6邊形48CDEFK的內(nèi)角和=(6-2)x180°=720°,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+NF=720°一(Z1+Z2),

即NN+/3+/C+NO+/E+/F+(Z1+Z2)=720°,

VZ1+Z2=Z3+Z4,Z5+Z6+Z77=180°,

+Z5+ZC+ZD+ZE+ZFZH+(Z3+Z4)=900°,

+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF(Z3+Z4)+Z5+Z6+Z//=720°+180°,

N/+/2+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+Z1=900°,

故答案為：900°.

8.如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=°,

A

【答案】180

【分析】如圖根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可知/1=N2+N2,Z2=ZD+ZE,N4+

Zl+ZC=180°,由此不難證明結(jié)論.

【解析】解:如圖,

VZ1=Z5+Z2,Z2=ZD+ZE,ZA+Z1+ZC=180°,

：.ZA+ZB+ZD+ZE+ZC=180°,

故答案為：180.

9.如圖，ZA+ZB+ZC+AD+AE+AF+AG+AH=.

【答案】360°

【分析】連接C凡根據(jù)三角形的外角得到由三角形外角的性質(zhì)可得：N2=NG+/H,/3=N4+NB,

Z1=ZZ)+Z￡,=Z4+Z5,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360。，可得：/2+/3+/GEE+/4+/5+/OC8

=360°即NG+/?+//+

【解析】解：如圖，連接/C,

A

由三角形外角的性質(zhì)可得：

Z2=ZG+ZH,

Z1=ZZ)+Z￡,=Z4+Z5,

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360。，可得：Z2+Z3+ZGF￡,+Z4+Z5+Z￡>C5=360°

即NG+ZH+ZA+ZB+ZGFE+ZD+ZE+ZDCB=360°,

故答案為360。.

10.如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH^.

【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得N2與/〃、NG的關(guān)系，N1與N2、

的關(guān)系，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，可得答案.

【解析】解：如圖：

由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得

Z2=ZH+ZG,Zl=Z2+ZD,

Z1=Z//+ZG+Z￡>,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+NG+ZH

=ZA+ZB+ZC+ZE+ZF+ZH+NG+ZD

=180°x(6-2)

=270°.

故答案為：720。.

三、解答題

11.如圖所示，已知四邊形4BDC,ZBDC=ZA+ZB+ZC.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】方法1連接2C,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果；

方法2作射線(xiàn)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到N3=4+4,Z4=ZC+Z2,兩式相加即可得到結(jié)論;

方法3延長(zhǎng)8D,交/C于點(diǎn)E,兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解析】方法1如圖所示，連接2c

在ANBC中，ZA+ZABC+ZACB=180°，ZA+ZABD+Z1+ZACD+Z2,=180°.

在△BCD中，?.?N3OC+Nl+N2=180°,

NBDC=ZA+ZABD+ZACD；

方法2如圖所示，連接/。并延長(zhǎng).

/3是△力的外角，

Z3=Z1+ZABD.

同理，Z4=Z2+ZACD.

Z3+Z4=Zl+Z2+ZABD+ZACD.

即ZBDC=ZA+ZABD+ZACD.

方法3如圖所示，延長(zhǎng)3D,交/C于點(diǎn)E.

;NDEC是△/3E的外角，

:.ZDEC^ZA+ZABD.

?.?NBDC是ADEC的外角，

NBDC=/DEC+ZACD.

ZBDC=ZA+ZABD+ZACD.

12.如圖，AM、CM分別平分N3AD和Z8CZ),若48=42。，40=54。，求的度數(shù).

CD

【答案】ZM=48°.

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理用NB、/M表示出NBAM/BCM,再用NB、NM表示出NMAD/MCD,

再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得/BAM/BCM=/MADNMCD,然后求出NM與/B、/D關(guān)系，代入數(shù)據(jù)進(jìn)

行計(jì)算即可得解；

【解析】解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，ZB+ZBAM=ZM+ZBCM,

.*?ZBAMZBCM=ZMZB,

同理，ZMADZMCD=ZDZM,

VAM,CM分別平分/BAD和/BCD,

ZBAM=ZMAD,ZBCM=ZMCD,

.\ZMZB=ZDZM,

AZM=-（ZB+ZD）=-（42°+54°）=48°；

22

13.如圖，BP平分乙4BC,交CD于點(diǎn)F,DP平分乙4DC交.4B于點(diǎn)、E,/B與CD相交于點(diǎn)G,NN=42。.

（1）若ZADC=60。，求NNEP的度數(shù)；

（2）若NC=38。，求N尸的度數(shù).

【答案】（1）72°；（2）40°.

【分析】G）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得NADP=g/ZDC,然后利用三角形外角的性質(zhì)即可得解;

（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得/ADP=/PDF,ZCBP=ZPBA,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得

NA+NADP=NP+/ABP,ZC+ZCBP=ZP+ZPDF,所以NA+NC=2NP,即可得解.

【解析】解：（1）；DP平分/ADC,

ZADP=ZPDF=|NADC,

?：N/DC=60。，

ZADP=30°,

ZAEP=ZADP+44=30°+42°=72°；

(2)；BP平分NABC,DP平分NADC,

，NADP=NPDF,ZCBP=ZPBA,

ZA+ZADP=ZP+ZABP,

ZC+ZCBP=ZP+ZPDF,

.\ZA+ZC=2ZP,

VZA=42°,ZC=38°,

AZP=1(38。+42。)=40°.

14.(1)如圖①，求的度數(shù)；

(2)如圖②，求//+/8+/C+ND+/E+/尸+/G+/8的度數(shù);

(3)如圖③，求//+/3+/C+NO+/E+/F+/G的度數(shù).

【答案】(1)360°；(2)720°；(3)540°

【分析】(1)連接ND,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得N2+/C=N8/D+/CD/,進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求四邊

形/DE尸的內(nèi)角和，

(2)與(1)方法相同轉(zhuǎn)化為求六邊形N2CDE尸的內(nèi)角和，

(3)使用上述方法，轉(zhuǎn)化為求五邊形/2CDE的內(nèi)角和.

【解析】解：(1)如圖①，連接AD,

由三角形的內(nèi)角和定理得，NB+NC=NBAD+NCDA,

：.ZBAF+ZB+ZC+ZCDE+ZE+ZF=ZBAF+ZBAD+ZCDA+ZD+ZE+ZF

即四邊形ND跖的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和為360。，

ZBAF+ZB+ZC+ZCDE+ZE+ZF=360°,

(2)如圖②，由(1)方法可得：

ZBAH+ZB+ZC+ZD+ZE+ZEFG+ZG+NH的度數(shù)等于六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，

AZBAH+ZB+ZC+ZD+ZE+ZEFG+ZG+(6—2)x180°=720°,

(3)如圖③，根據(jù)(1)的方法得，ZF+ZG=ZGAE+ZFEA,

ZBAG+ZB+ZC+ZD+ZDEF+ZF+ZG的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內(nèi)角和,

AZBAG+ZB+ZC+ZD+ZDEF+ZF+(5-2)x180°=540°,

如圖1,AB、CD交于點(diǎn)。，我們把和△30C叫做對(duì)頂三角形.

結(jié)論：若△/QD和△80C是對(duì)頂三角形，則//+/￡)=NB+NC.

結(jié)論應(yīng)用舉例：

如圖2：求五角星的五個(gè)內(nèi)角之和，即N/+/3+/NCE+/4D3+NE的度數(shù).

解：連接CD,由對(duì)頂三角形的性質(zhì)得：ZB+ZE=Z1+Z2,

在中，VZA+ZACD+ZADC^18Q°,

即ZA+Z3+Z1+/2+/4=180°,

ZA+ZACE+AB+ZE+ADB=180°

即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為180°.

解決問(wèn)題:

(1)如圖①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=_；

(2)如圖②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=

(3)如圖③,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=

(4)如圖④,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZM+ZN^.

請(qǐng)你從圖③或圖④中任選一個(gè)，寫(xiě)出你的計(jì)算過(guò)程.

,D

圖③

【答案】(1)360°；(2)540°；(3)720°；(4)1080°；過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】(1)連接CD,由對(duì)頂角三角形可得/N+/B=/5￡>C+N/CZ),再由四邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)

論；

(2)連接ED,由對(duì)頂角三角形可得+再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；

(3)連接3/7、DE,由對(duì)頂角三角形可知NE3/Z+/瓦江>=/"￡>￡+再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理

得出結(jié)論；

(4)連接A?、NE,由對(duì)頂角三角形可知/1+N2=/NG"+/E〃G,再由六邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論.

【解析】解：(1)連接CD,由對(duì)頂角三角形可得N/+NB=N3DC+N/CD,則N/+N3+NC+NO+

NE+N尸=360°；

(2)連接￡?,由對(duì)頂角三角形可得+則N/+/8+/C+/D+/E+4F+

NG=540。；

(3)連接3"、DE,

由對(duì)頂角三角形可知NE3//+ABHD=ZHDE+ABED,

：.AA+AB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+4H=五邊形CDEFG的內(nèi)角和+AABH的內(nèi)角和=540。+

180°=720°；

(4)連接ND、NE,

'：由對(duì)頂角三角形可知N1+N2=/NGH+ZEHG,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZM+NN=六邊形BCFGHM的內(nèi)角和+AAND的內(nèi)角

和+的內(nèi)角和=(6-2)X180°+360°=1080°.

D

圖③

故答案為:360°；540°；720°；1080°.

16.模型規(guī)律：如圖1,延長(zhǎng)CO交48于點(diǎn)。，則40C=Zl+/3=/4+/C+/5.因?yàn)榘妓倪呅?BOC

形似箭頭，其四角具有“Z80C=乙4+48+/C”這個(gè)規(guī)律,所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”.

模型應(yīng)用

（1）直接應(yīng)用：

①如圖2,ZA=60°,ZB=20°,ZC=30°,貝!J/BOC=

②如圖3,ZA+ZB+ZC+ZD+Z￡+Z