PAGE全書要點(diǎn)速記第一章空間向量與立體幾何要點(diǎn)1共線、共面對量基本定理1．共線向量基本定理對隨意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.推論：若存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(OB,\s\up7(→))(O為空間隨意一點(diǎn))，則P，A，B三點(diǎn)共線．2．共面對量基本定理假如兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.推論：已知空間隨意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，則滿意向量關(guān)系式eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(其中x＋y＋z＝1)的點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C共面．要點(diǎn)2空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)a⊥b?a·b＝0，此結(jié)論一般用于證明空間中的垂直關(guān)系．(2)|a|2＝a2，此結(jié)論一般用于求空間中線段的長度．(3)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，此結(jié)論一般用于求空間角的問題．(4)|b|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|)，此結(jié)論一般用于求空間中的距離問題．要點(diǎn)3空間向量在立體幾何中的應(yīng)用設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則線線平行l(wèi)∥m?a∥b?a＝kb，k∈R線面平行l(wèi)∥α?a⊥u?a·u＝0面面平行α∥β?u∥v?u＝kv，k∈R線線垂直l⊥m?a⊥b?a·b＝0線面垂直l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R面面垂直α⊥β?u⊥v?u·v＝0線線夾角l，m的夾角為θ，cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)線面夾角l，α的夾角為θ，sinθ＝eq\f(|a·u|,|a||u|)面面夾角α，β的夾角為θ，cosθ＝eq\f(|u·v|,|u||v|)留意：①線線夾角、線面夾角、面面夾角的范圍都為0≤θ≤eq\f(π,2)；②二面角的范圍為[0，π]，解題時(shí)應(yīng)詳細(xì)分析二面角是銳角還是鈍角．其次章直線和圓的方程要點(diǎn)1直線的方程已知條件方程適用范圍點(diǎn)斜式點(diǎn)P0(x0，y0)和斜率ky－y0＝k(x－x0)斜率存在，即適用于與x軸不垂直的直線斜截式斜率k和直線在y軸上的截距為by＝kx＋b兩點(diǎn)式點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)斜率存在且不為0，即適用于與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式直線在x軸上的截距為a和直線在y軸上的截距為beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1斜率存在且不為0，直線不過原點(diǎn)，即適用于不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)全部直線要點(diǎn)2兩條直線的位置關(guān)系要點(diǎn)3平面上的距離公式(1)隨意兩點(diǎn)間的距離：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P0(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行直線間的距離：直線Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A與B不同時(shí)為0，且C1≠C2)間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).要點(diǎn)4圓的方程1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為(a，b)，半徑為r(r>0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圓的一般方程當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程，圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).3．求圓的方程的方法(1)幾何性質(zhì)法：利用圓的隨意弦的垂直平分線過圓心求出圓心，再求圓的方程．(2)待定系數(shù)法：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(條件與圓心或半徑有關(guān))(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用條件求出a，b，r或D，E，F(xiàn)即可．要點(diǎn)5直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系的判定方法關(guān)系相交相切相離幾何法d<rd＝rd>r代數(shù)法Δ>0Δ＝0Δ<0說明：d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑，Δ為直線和圓的方程聯(lián)立消元后所得一元二次方程的根的判別式．2．求弦長的方法(1)利用垂徑定理：已知半徑r、弦心距d、弦長l，則d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq\s\up12(2)＝r2.(2)利用弦長公式：聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，則弦長為eq\r(1＋k2)|x1－x2|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|)).3．圓的切線方程(1)經(jīng)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)經(jīng)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)經(jīng)過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＋D·eq\f(x＋x0,2)＋E·eq\f(y＋y0,2)＋F＝0.4．求切線方程的方法若切線斜率存在，記為k，且不為0.(1)幾何法：利用圓心到直線的距離等于半徑，求出k，即得切線方程．(2)代數(shù)法：將切線方程與圓的方程聯(lián)立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切線方程．留意：過圓外一點(diǎn)的切線有兩條，若解出的k值唯一，則應(yīng)檢驗(yàn)是否有一條與x軸垂直的切線．要點(diǎn)6圓與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何法d>R＋rd＝R＋rR－r<d<R＋rd＝R－rd<R－r代數(shù)法Δ<0Δ＝0Δ>0Δ＝0Δ<0說明：d為兩圓的圓心距，R，r(R>r)分別為兩圓半徑，Δ為聯(lián)立兩圓方程消元后所得的一元二次方程的根的判別式．由于利用代數(shù)法求出Δ<0或Δ＝0后兩圓的位置關(guān)系仍不明確，因此一般利用幾何法推斷兩圓的位置關(guān)系．第三章圓錐曲線的方程要點(diǎn)1橢圓、雙曲線、拋物線的比較橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)幾何圖形集合表示{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1{M|||MF2|－|MF1||＝2a，0<2a<|F1{M||MF|＝點(diǎn)M到直線l的距離}焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b|x|≥a，y∈Rx≥0，y∈R頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(－a,0)，A2(a,0)O(0,0)中心原點(diǎn)(0,0)原點(diǎn)(0,0)無離心率0<e＝eq\f(c,a)<1e＝eq\f(c,a)>1e＝1通徑長eq\f(2b2,a)eq\f(2b2,a)2p焦半徑|MF1|＝a＋exM，|MF2|＝a－exM|MF1|＝a＋exM，當(dāng)點(diǎn)M在右支上時(shí)，|MF2|＝－a＋exM；當(dāng)點(diǎn)M在左支上時(shí)，|MF1|＝－a－exM，|MF2|＝a－exM|MF|＝eq\f(p,2)＋xM要點(diǎn)2橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)三角形的相關(guān)結(jié)論1．橢圓設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ.則(1)當(dāng)且僅當(dāng)a2≥2b2時(shí)，橢圓上存在以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，其中，當(dāng)a2＝2b2時(shí)，直角頂點(diǎn)為短軸端點(diǎn)；(2)離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))，e＝eq\f(sinθ,sinα＋sinβ)；(3)|PF1|·|PF2|＝eq\f(2b2,1＋cosθ)，S△PF1F2＝b2taneq\f(θ,2).2．雙曲線設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ.則(1)離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))，e＝eq\f(sinθ,|sinα－sinβ|)；(2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(2b2,1－cosθ)，S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).要點(diǎn)3拋物線焦點(diǎn)弦的相關(guān)結(jié)論已知F是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，PQ為過焦點(diǎn)F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直線的傾斜角為θ.則(1)焦點(diǎn)弦長|PQ|＝x1