第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式課標(biāo)解讀考向預(yù)測1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.能借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,2)，α±π的正弦、余弦、正切))，并會簡單應(yīng)用.從近幾年的高考來看，本部分內(nèi)容主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式解決求值問題，常與三角恒等變換相結(jié)合，可起到化簡三角函數(shù)式的作用，預(yù)計2025年高考可能會與三角恒等變換結(jié)合考查.必備知識——強基礎(chǔ)1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：eq\x(\s\up1(01))sin2α＋cos2α＝1．(2)商數(shù)關(guān)系：eq\x(\s\up1(02))eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))．2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角α＋k·2π(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα——口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限記憶規(guī)律奇變偶不變，符號看象限1．和積互化變形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.2．弦切互化變形：sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1)，cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1)，sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,tan2α＋1).1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．()(3)若cos(nπ－θ)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，則cosθ＝eq\f(1,3).()答案(1)×(2)×(3)×2．小題熱身(1)已知α為銳角，且sinα＝eq\f(4,5)，則cos(π＋α)＝()A．－eq\f(3,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．eq\f(4,5)答案A解析因為α為銳角，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(3,5)，故cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\f(3,5).故選A.(2)(人教B必修第三冊7.2.3練習(xí)BT2改編)已知tanα＝2，則eq\f(3sinα－cosα,sinα＋2cosα)＝()A．eq\f(5,4) B．－eq\f(5,4)C．eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)答案A解析原式＝eq\f(3tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(3×2－1,2＋2)＝eq\f(5,4).故選A.(3)下列三角函數(shù)的值中(k∈Z)，與sineq\f(π,3)的值相同的個數(shù)是()①sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(4π,3)))；②coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)))；③sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)))；④coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2k＋1)π－\f(π,6)))；⑤sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2k＋1)π－\f(π,3))).A．1 B．2C．3 D．4答案C解析對于①，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(4π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((k＋1)π＋\f(π,3)))，當(dāng)k為奇數(shù)時，sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((k＋1)π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)；當(dāng)k為偶數(shù)時，sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((k＋1)π＋\f(π,3)))＝－sineq\f(π,3)，不滿足題意．對于②，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝sineq\f(π,3)，滿足題意．對于③，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)，滿足題意．對于④，coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2k＋1)π－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－sineq\f(π,3)，不滿足題意．對于⑤，sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2k＋1)π－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)，滿足題意．故選C.(4)(人教A必修第一冊習(xí)題5.3T5改編)化簡eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·cos(2π－α)的結(jié)果為________．答案sinα解析原式＝eq\f(sinα,cosα)·cosα＝sinα.考點探究——提素養(yǎng)考點一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用(多考向探究)考向1“知一求二”問題例1已知角α的終邊在第三象限，且tanα＝2，則sinα－cosα＝()A．－1 B．1C．－eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)答案C解析由角α的終邊在第三象限，則sinα<0，cosα<0，由題設(shè)知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝2，,sin2α＋cos2α＝1，))解得cosα＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，所以sinα－cosα＝－eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(\r(5),5).故選C.【通性通法】利用同角基本關(guān)系式“知一求二”的方法注意：由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的另外兩個三角函數(shù)值，當(dāng)利用“平方關(guān)系”公式求平方根時，會出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷三角函數(shù)值的符號，當(dāng)角所在的象限不明確時，要進行分類討論．【鞏固遷移】1．(2024·廣東梅州模擬)已知cosα＝eq\f(1,3)，且α為第四象限角，則tanα＝()A．－2eq\r(2) B．±2eq\r(2)C．±eq\f(\r(2),3) D．eq\f(\r(2),3)答案A解析∵α為第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(2\r(2),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2eq\r(2).故選A.考向2“弦切互化”問題例2已知tanθ＝2，則eq\f(1,sin2θ－cos2θ)的值為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,3) D．2答案C解析由題意，得eq\f(1,sin2θ－cos2θ)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ,sin2θ－cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋1,tan2θ－1)＝eq\f(22＋1,22－1)＝eq\f(5,3).故選C.【通性通法】若已知正切值，求一個關(guān)于正弦和余弦的齊次式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，這是同角三角函數(shù)關(guān)系中的一類基本題型，形如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等類型可進行弦化切．【鞏固遷移】2．(2023·蘇州模擬)已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，則cos2α＋sinαcosα＝()A．eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．－3 D．3答案A解析由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，得eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，可得tanα＝2，則cos2α＋sinαcosα＝eq\f(cos2α＋sinαcosα,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1＋tanα,1＋tan2α)＝eq\f(3,5).故選A.考向3sinα±cosα，sinαcosα之間關(guān)系的應(yīng)用例3(2023·廣東潮州模擬)已知eq\f(π,2)<x<π，sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，則sinx－cosx＝________．答案eq\f(7,5)解析由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx＝eq\f(1,25)，得2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25)，因為eq\f(π,2)<x<π，所以sinx>cosx，故sinx－cosx＝eq\f(7,5).【通性通法】“sinα±cosα，sinαcosα”關(guān)系的應(yīng)用sinα±cosα與sinαcosα通過平方關(guān)系聯(lián)系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝eq\f((sinα＋cosα)2－1,2)，sinαcosα＝eq\f(1－(sinα－cosα)2,2).因此在解題時已知一個用方程思想可求另外兩個．【鞏固遷移】3．(2023·山東聊城模擬)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)，則tanα的值為________．答案－eq\f(1,2)解析∵sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(1,5)，∴sinαcosα＝－eq\f(2,5)，∴sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝eq\f(9,5)＝(sinα－cosα)2，又sinαcosα<0，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴sinα<0，cosα>0，∴cosα－sinα＝eq\f(3\r(5),5)，∴sinα＝－eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，∴tanα＝－eq\f(1,2).考點二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例4(1)eq\f(tan(π－α)cos(2π－α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos(－α－π)sin(－π－α))的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2答案B解析原式＝eq\f(－tanαcosα(－cosα),cos(π＋α)[－sin(π＋α)])＝eq\f(tanαcos2α,－cosαsinα)＝－eq\f(sinα,cosα)·eq\f(cosα,sinα)＝－1.故選B.(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝eq\f(2,3)，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝________．答案－eq\f(2,3)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)＋\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝－eq\f(2,3).【通性通法】1．利用誘導(dǎo)公式解題的一般思路(1)化絕對值大的角為銳角；(2)角中含有加減eq\f(π,2)的整數(shù)倍時，用公式去掉eq\f(π,2)的整數(shù)倍．2．常見的互余和互補的角(1)互余的角：eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等；(2)互補的角：eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等．【鞏固遷移】4．(2024·湖南長郡中學(xué)高三質(zhì)量檢測)已知f(α)＝eq\f(sin(α－3π)cos(2π－α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(5π,2))),cos(－π－α)sin(－π－α))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝________．答案eq\f(1,2)解析因為f(α)＝eq\f(sin(α－3π)cos(2π－α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(5π,2))),cos(－π－α)sin(－π－α))＝eq\f(－sinαcosαcosα,－cosαsinα)＝cosα，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).考點三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例5(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))的值為()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(2\r(2),3) D．－eq\f(2\r(2),3)答案C解析由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，而α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，∴eq\f(5π,6)－α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α)))＝eq\f(2\r(2),3).故選C.(2)(2023·遼寧葫蘆島模擬)若eq\f(sin(π－θ)＋cos(θ－2π),sinθ＋cos(π＋θ))＝eq\f(1,2)，則tanθ＝________．答案－3解析因為eq\f(sin(π－θ)＋cos(θ－2π),sinθ＋cos(π＋θ))＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(1,2)，解得tanθ＝－3.【通性通法】利用誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系解題的思路和要求(1)思路：①分析結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當(dāng)?shù)墓剑虎诶霉交赏侨呛瘮?shù)；③整理得最簡形式．(2)要求：①化簡過程是恒等變換；②結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值．【鞏固遷移】5．已知cos167°＝m，則tan193°＝()A．eq\r(1－m2) B．eq\f(\r(1－m2),m)C．－eq\f(\r(1－m2),m) D．－eq\f(m,\r(1－m2))答案C解析tan193°＝tan(360°－167°)＝－tan167°＝－eq\f(sin167°,cos167°)＝－eq\f(sin167°,m)，因為cos167°＝m，所以sin167°＝eq\r(1－m2)，所以tan193°＝－eq\f(\r(1－m2),m).故選C.6．已知cosα＝－eq\f(5,13)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cos(α＋π))＝________．答案eq\f(13,12)解析∵cosα＝－eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(12,13)，∴eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋π)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))),cos(α＋π)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))＝eq\f(cosα,－cosα(－sinα))＝eq\f(1,sinα)＝eq\f(13,12).課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2023·廣西桂林模擬)sin9330°的值為()A．eq\f(\r(2),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(2),2)答案B解析sin9330°＝sin(360°×25＋330°)＝sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2).故選B.2．(2023·吉林長春質(zhì)檢)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝eq\f(1,3)，θ∈(0，π)，則tanθ＝()A．2eq\r(2) B．eq\f(\r(2),4)C．－2eq\r(2) D．－eq\f(\r(2),4)答案C解析依題意，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝－cosθ＝eq\f(1,3)，則cosθ＝－eq\f(1,3).由于θ∈(0，π)，所以sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(2\r(2),3)，所以tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－2eq\r(2).故選C.3．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值為()A．eq\f(2\r(2),3) B．－eq\f(2\r(2),3)C．eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)答案D解析∵eq\f(π,4)＋α－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(π,2)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(1,3).故選D.4．(2023·江西南昌模擬)已知3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，則sinθ＝()A．－eq\f(3\r(10),10) B．－eq\f(\r(10),10)C．eq\f(3\r(10),10) D．eq\f(\r(10),10)答案A解析∵3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))＋sin(θ＋π)＝0，∴3cosθ－sinθ＝0，∵θ∈(－π，0)，sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝－eq\f(3\r(10),10).故選A.5．若tanθ＝－2，則cos2θ－sin2θ＝()A．－eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)答案C解析解法一：由題意知tanθ＝－2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanθ＝\f(sinθ,cosθ)＝－2，,sin2θ＋cos2θ＝1，))解得cos2θ＝eq\f(1,5)，所以cos2θ－sin2θ＝cos2θ－(1－cos2θ)＝2cos2θ－1＝2×eq\f(1,5)－1＝－eq\f(3,5).故選C.解法二：已知tanθ＝－2，所以cos2θ－sin2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝－eq\f(3,5).故選C.6．已知sinα，cosα是方程3x2－2x＋a＝0的兩個根，則實數(shù)a的值為()A．eq\f(5,6) B．－eq\f(5,6)C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,4)答案B解析由題意，得sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，sinαcosα＝eq\f(a,3)，所以sin2α＋cos2α＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝eq\f(4,9)－eq\f(2a,3)＝1，解得a＝－eq\f(5,6).故選B.7．已知銳角α終邊上一點A的坐標(biāo)為(2sin3，－2cos3)，則角α的弧度數(shù)為()A．3－eq\f(π,2) B．eq\f(π,2)－3C．π－3 D．eq\f(3π,2)－3答案A解析tanα＝eq\f(－2cos3,2sin3)＝－eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－3)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(π,2)))，又0<3－eq\f(π,2)<eq\f(π,2)，α為銳角，所以α＝3－eq\f(π,2).故選A.8．已知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，則eq\f(tan(π＋α)＋1,2sin2α＋sin2α)＝()A．－eq\f(175,24) B．eq\f(175,24)C．－eq\f(25,24) D．eq\f(25,24)答案C解析由題意知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，有2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，所以eq\f(tan(π＋α)＋1,2sin2α＋sin2α)＝eq\f(tanα＋1,2sinα(sinα＋cosα))＝eq\f(sinα＋cosα,cosα)·eq\f(1,2sinα(sinα＋cosα))＝eq\f(1,2sinαcosα)＝－eq\f(25,24).故選C.二、多項選擇題9．已知eq\r(3)sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，π))，則θ的值可能是()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C．eq\f(π,3) D．eq\f(5π,6)答案AD解析∵eq\r(3)sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－eq\r(3)sinθ＝cosθ，∴tanθ＝－eq\f(\r(3),3)，∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，π))，∴θ＝－eq\f(π,6)或θ＝eq\f(5π,6).故選AD.10．在△ABC中，下列結(jié)論正確的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．cos(A＋B)＝cosC答案ABC解析在△ABC中，有A＋B＋C＝π，則sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正確；sineq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq\f(A,2)，B正確；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，C正確；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D錯誤．故選ABC.11．給出下列四個結(jié)論，其中正確的是()A．sin(π＋|α|)＝－sinα成立的條件是角α是銳角B．若cos(nπ－α)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，則cosα＝eq\f(1,3)C．若α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq\f(1,tanα)D．若sinα＋cosα＝1，則sinnα＋cosnα＝1答案CD解析由誘導(dǎo)公式，知sin(π＋|α|)＝－sin|α|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－sinα，α≥0，,sinα，α<0，))所以A錯誤．當(dāng)n＝2k(k∈Z)時，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cosα，此時cosα＝eq\f(1,3)，當(dāng)n＝2k＋1(k∈Z)時，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cosα，此時cosα＝－eq\f(1,3)，所以B錯誤．若α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq\f(cosα,－sinα)＝－eq\f(1,tanα)，所以C正確．將等式sinα＋cosα＝1兩邊平方，得sinαcosα＝0，所以sinα＝0或cosα＝0.若sinα＝0，則cosα＝1，此時sinnα＋cosnα＝1；若cosα＝0，則sinα＝1，此時sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，所以D正確．故選CD.三、填空題12．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，且|φ|<eq\f(π,2)，則tanφ＝________．答案－eq\r(3)解析∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，∴－sinφ＝eq\f(\r(3),2)，∴sinφ＝－eq\f(\r(3),2)，∵|φ|<eq\f(π,2)，∴cosφ＝eq\f(1,2)，∴tanφ＝eq\f(sinφ,cosφ)＝－eq\r(3).13．(2023·河南平頂山聯(lián)考)已知tanθ＝2，則1＋sinθcosθ的值為________．答案eq\f(7,5)解析∵tanθ＝2，∴1＋sinθcosθ＝eq\f(sin2θ＋cos2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ＋1,tan2θ＋1)＝eq\f(22＋2＋1,22＋1)＝eq\f(7,5).14．(2023·全國乙卷)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanθ＝eq\f(1,2)，則sinθ－cosθ＝________．答案－eq\f(\r(5),5)解析因為θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinθ>0，cosθ>0，又因為tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(1,2)，則cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝eq\f(\r(5),5)或sinθ＝－eq\f(\r(5),5)(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－eq\f(\r(5),5).15．黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強，任何物體到了它那里都別想再出來．?dāng)?shù)字中也有類似的“黑洞”，任意取一個數(shù)字串，長度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個數(shù)、奇數(shù)的個數(shù)以及總的數(shù)字個數(shù)，把這三個數(shù)從左到右寫成一個新數(shù)字串；重復(fù)以上工作，最后會得到一個反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字串，我們稱它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個數(shù)字串設(shè)為a，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(aπ,2)＋\f(π,6)))＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)答案D解析根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取數(shù)字串2024，經(jīng)過第一步之后變?yōu)?04，經(jīng)過第二步之后變?yōu)?03，再變?yōu)?23，再變?yōu)?23，所以“數(shù)字黑洞”為123，即a＝123，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(aπ,2)＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(123π,2)＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).故選D.16．(多選)已知角α滿足sinαcosα≠0，則表達(dá)式eq\f(sin(α＋kπ),sinα)＋eq\f(cos(α＋kπ),cosα)(k∈Z)的取值為()A．－2 B．－1C．2 D．1答案AC解析當(dāng)k為奇數(shù)時，原式＝eq\f(－sinα,sinα)＋eq\f(－cosα,cosα)＝(－1)＋(－1)＝－2；當(dāng)k為偶數(shù)時，原式＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝1＋1＝2.所以原表達(dá)式的取值為－2或2.故選AC.17．(多選)已知角θ和φ都是任意角，若滿足θ＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，則稱θ與φ廣義互余．若sin(π＋α)＝－eq\f(1,4)，則下列角β中，可能與角α廣義互余的是()A．sinβ＝eq\f(\r(15),4) B．cos(π＋β)＝eq\f(1,4)C．tanβ＝eq\r(15) D．tanβ＝eq\f(\r(15),5)答案AC解析若α與β廣義互余，則α＋β＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即β