24.2.2黃金分割【夯實(shí)基礎(chǔ)】一．選擇題（共4小題）1．（2021秋?金山區(qū)期末）如果點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＜BP，那么的值等于（）A．+1 B．﹣1 C． D．2．（2020秋?青浦區(qū)期末）已知線段AB＝2，P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞PB，那么線段AP的長度等于（）A． B． C． D．3．（2020秋?長寧區(qū)期末）已知點(diǎn)P、點(diǎn)Q是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AB＝10，那么PQ的長為（）A．5（3﹣） B．10（﹣2） C．5（﹣1） D．5（+1）4．（2020秋?靜安區(qū)期中）達(dá)?芬奇的蒙娜麗莎舉世聞名，“黃金分割”在該作品中隨處可見，它體現(xiàn)出部分與部分及部分與整體之間協(xié)調(diào)一致性的完美．其中的“黃金分割數(shù)”為（）A． B． C． D．二．填空題（共7小題）5．（2021秋?松江區(qū)月考）已知點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AB＝10cm，AP＞BP，那么AP＝．6．（2021秋?長寧區(qū)校級(jí)期中）已知線段AB的長度為4厘米，點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，PA＞PB，線段PA的長是厘米．7．（2021秋?松江區(qū)校級(jí)期中）已知線段MN＝4，點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，MP＞NP，則MP＝．8．（2021秋?長寧區(qū)期末）已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，如果AC＞BC，BC＝2，則AC＝．9．（2021秋?崇明區(qū)期末）已知線段AB＝8cm，點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，那么線段AC的長為cm．10．（2021秋?寶山區(qū)期末）如果的值是黃金分割數(shù)，那么的值為．11．（2021秋?普陀區(qū)期末）某芭蕾舞演員踮起腳尖起舞，腰部就成為整個(gè)身形的黃金分割點(diǎn)，給觀眾帶來美感，如圖，如果她踮起腳尖起舞時(shí)，那么她的腰部以下高度a與身形b之間的比值等于．【能力提升】1.已知線段的長度為，點(diǎn)P在線段上，，求線段的長．2.（1）點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，厘米，求的長；（2）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，求的值．3.如圖，樂器上的一根弦厘米，兩個(gè)端點(diǎn)、固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，求的長．4.如圖，在矩形中截取正方形，已知是和的比例中項(xiàng)，，求的長．5.舞臺(tái)的形狀是一個(gè)矩形，寬為米，如果主持人站立的位置是寬的黃金分割點(diǎn)，那么主持人從臺(tái)側(cè)點(diǎn)沿走到主持的位置至少需走 米．6.點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，求的值．7.如圖，以長為的線段為邊作正方形，取的中點(diǎn)，連接．在的延長線上取點(diǎn)，使．以為邊作正方形，點(diǎn)在上．（1）求線段、的長；（2）求證：；（3）請(qǐng)指出圖中的黃金分割點(diǎn)．

24.2.2黃金分割（解析版）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一．選擇題（共4小題）1．（2021秋?金山區(qū)期末）如果點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＜BP，那么的值等于（）A．+1 B．﹣1 C． D．【分析】由黃金分割的定義得＝，即可得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＜BP），∴＝＝＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．2．（2020秋?青浦區(qū)期末）已知線段AB＝2，P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞PB，那么線段AP的長度等于（）A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)黃金分割的定義求出AP的長即可．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP，AB＝2，∴AP＝AB＝﹣1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．3．（2020秋?長寧區(qū)期末）已知點(diǎn)P、點(diǎn)Q是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AB＝10，那么PQ的長為（）A．5（3﹣） B．10（﹣2） C．5（﹣1） D．5（+1）【分析】先由黃金分割的比值求出BP＝AQ＝5（﹣1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，∵點(diǎn)P、Q是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝10，∴BP＝AQ＝AB＝5（﹣1），∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（﹣1）﹣10＝10（﹣2），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，熟記黃金比是解題的關(guān)鍵．4．（2020秋?靜安區(qū)期中）達(dá)?芬奇的蒙娜麗莎舉世聞名，“黃金分割”在該作品中隨處可見，它體現(xiàn)出部分與部分及部分與整體之間協(xié)調(diào)一致性的完美．其中的“黃金分割數(shù)”為（）A． B． C． D．【分析】直接利用黃金分割的定義求解．【解答】解：較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，則這個(gè)比值為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．二．填空題（共7小題）5．（2021秋?松江區(qū)月考）已知點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AB＝10cm，AP＞BP，那么AP＝（5﹣5）cm．【分析】根據(jù)黃金分割的定義，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AB＝10cm，AP＞BP，∴AP＝×10＝（5﹣5）cm．故答案為：（5﹣5）cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的概念，熟記黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?長寧區(qū)校級(jí)期中）已知線段AB的長度為4厘米，點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，PA＞PB，線段PA的長是（2﹣2）厘米．【分析】直接運(yùn)用黃金分割的比值進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵線段AB＝4cm，點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)（PA＞PB），∴PA＝AB＝×4＝（2﹣2）cm，故答案為：（2﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：點(diǎn)P把線段AB分成兩條線段AP和BP（PA＞PB），且使AP是AB和BP的比例中項(xiàng)（即AB：PA＝PA：PB），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中PA＝AB≈0.618AB．7．（2021秋?松江區(qū)校級(jí)期中）已知線段MN＝4，點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，MP＞NP，則MP＝．【分析】由黃金分割的定義可得MP＝MN，代入計(jì)算可求解．【解答】解：∵M(jìn)N＝4，點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，MP＞NP，∴MP＝MN＝．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查黃金分割，掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋?長寧區(qū)期末）已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，如果AC＞BC，BC＝2，則AC＝+1．【分析】先根據(jù)黃金比值為求出AB與AC的關(guān)系，再列式計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC＞BC，BC＝2，∴AC＝AB，∵AB﹣AC＝BC，∴AB﹣AB＝2，解得：AB＝3+，則AC＝AB﹣BC＝+1，故答案為：+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割，熟記黃金比值為是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?崇明區(qū)期末）已知線段AB＝8cm，點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，那么線段AC的長為（4﹣4）cm．【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到AC＝AB，把AB＝8cm代入計(jì)算即可得到答案．【解答】解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，AB＝8cm，∴AC＝AB＝×8cm＝（4﹣4）cm，故答案為：（4﹣4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的有關(guān)計(jì)算，掌握黃金分割的定義是解決本題的關(guān)鍵．10．（2021秋?寶山區(qū)期末）如果的值是黃金分割數(shù)，那么的值為．【分析】由黃金分割的定義得＝，則2x＝（+1）y，即可得出答案．【解答】解：∵的值是黃金分割數(shù)，∴＝，∴2x﹣2y＝（﹣1）y，∴2x＝（+1）y，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟記黃金分割值是解題的關(guān)鍵．11．（2021秋?普陀區(qū)期末）某芭蕾舞演員踮起腳尖起舞，腰部就成為整個(gè)身形的黃金分割點(diǎn)，給觀眾帶來美感，如圖，如果她踮起腳尖起舞時(shí)，那么她的腰部以下高度a與身形b之間的比值等于．【分析】由黃金分割的定義即可得出答案．【解答】解：∵某芭蕾舞演員踮起腳尖起舞，腰部就成為整個(gè)身形的黃金分割點(diǎn)，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，解決本題的關(guān)鍵是熟記黃金分割的比值．【能力提升】1.已知線段的長度為，點(diǎn)P在線段上，，求線段的長．【答案】．【解析】根據(jù)題意，即有，解得，點(diǎn)是黃金分割點(diǎn)．【總結(jié)】考查黃金分割點(diǎn)的定義．2.（1）點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，厘米，求的長；（2）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）根據(jù)黃金分割點(diǎn)定義，且，可知，此時(shí)；線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，與原線段比例分別為和，故或．【總結(jié)】注意黃金分割點(diǎn)和黃金分割的區(qū)別，一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，滿足黃金分割黃金比的只有一個(gè)．3.如圖，樂器上的一根弦厘米，兩個(gè)端點(diǎn)、固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，求的長．【答案】．【解析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)定義，知，故，，得．【總結(jié)】考查線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)． 4.如圖，在矩形中截取正方形，已知是和的比例中項(xiàng)，，求的長．【答案】2．【解析】由，即，可得，代入即得．【總結(jié)】考查黃金比的綜合應(yīng)用．5.舞臺(tái)的形狀是一個(gè)矩形，寬為米，如果主持人站立的位置是寬的黃金分割點(diǎn)，那么主持人從臺(tái)側(cè)點(diǎn)沿走到主持的位置至少需走 米．【答案】或．【解析】注意線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，黃金比為，主持人需走的路程為；另一個(gè)比例則為，主持人需走的路程為．【總結(jié)】注意線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，與黃金比是不同的含義．6.點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，求的值．【答案】或．【解析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，，即，兩邊同時(shí)除以，可解得=；或，類似的可得=．【總結(jié)】注意線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．7.如圖，以長為的線段為