第八章向量代數(shù)與

空間解析幾何第二節(jié)空間向量及其運算一、向量的概念二、向量的線性運算三、向量的坐標與坐標分解式四、向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點積）五、向量的向量積（叉積）六、向量在軸上的投影七、向量的方向角與方向余弦*八、向量的混合積九、小結一、向量的概念表示法:向量的模:向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量自由向量:與起點無關的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段,或

，或

.向量的大小,記作，或，或.記作

,或

.記作

,或

.規(guī)定:零向量與任何向量平行;因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.與的模相同,但方向相反的向量稱為

的負向量,記作

;若向量

與

大小相等,方向相同,則稱與

相等,記作

;若向量

與

方向相同或相反,則稱與

平行,;記作若

(≥3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此

個向量共面

.二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:三角形法則可推廣到多個向量相加.交換律結合律2.向量的減法當時，有三角不等式3.數(shù)乘運算可見:規(guī)定:總之:

是一個數(shù),

與的乘積是一個新向量,記作時，與同向，時，與同向，時，運算律

:結合律分配律若，則其單位向量定理1

設

為非零向量,則(

為唯一實數(shù))例1

設

為解:ABCD對角線的交點,用與表示三、向量的坐標與坐標分解式在空間直角坐標系下,則沿三個坐標軸方向的分向量,設點此式稱為向量

r

的坐標分解式,任意向量r可用向徑OM

表示.記

平行向量對應坐標成比例:則設例2已知兩點

、

，求向量的坐標表示式

解作向量則

注：

稱為向量的模例3設兩點

及實數(shù)

，點

把

分成兩部分（如圖），且，求點坐標.解設點由于則故所以點坐標當時，得到中點坐標公式四、向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點積）定義

設有兩個非零向量

稱

為向量的數(shù)量積，

其夾角

，記作當

時，當

時，當

時，顯然，數(shù)量積的性質(zhì)(1)交換律:(2)數(shù)乘結合律:(3)分配律:數(shù)量積的坐標表示兩向量的夾角公式設則當為非零向量時，由于得例4已知向量

，且，

設

，求與的夾角.解由于所以例5證明三角形余弦定理證明:則如圖，設所以五、向量的向量積（叉積）1.定義方向:模:思考:右圖三角形面積S＝設夾角為，定義向量且符合右手法則(叉積)記作的向量積

,稱是2.性質(zhì)3.運算律（1）（2）為非零向量，則（1）（2）分配律（3）結合律4.向量積的坐標表示式設則記為行列式的形式例6已知的頂點坐標分別為求該三角形的面積.解六、向量在軸上的投影若與軸的夾角為，顯然設為一數(shù)軸，為原點，其單位向量為設，過點作軸的垂直平面交軸于點若點在軸上的坐標為，稱為在軸上的投影.記為例7已知向量求向量

在上的投影解由知所以七、向量的方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱

=∠AOB(0≤

≤

)為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標軸的夾角

,

,

為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

方向余弦的性質(zhì):例8已知兩點

，計算向量的

模、方向余弦、方向角及兩向量

的夾角.解所以由方向余弦公式因此又所以即例9已知一向量

的模為14，它與軸夾角為鈍角，

關于軸和軸的方向角依次為

求向量在三個坐標軸上的投影.解由題意，且為鈍角,所以向量在三個坐標軸上的投影為*八、向量的混合積幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其1.定義已知三向量稱數(shù)量積記作的混合積

.為2.混合積的坐標表示設向量因為所以即由混合積的幾何意義，可以得到，三個向量

共面的充分必要條件是其混合積為零，即容易驗證：例10試證

四點共面.只需證明向量以下向量共面即可證明由于因此所證四點共面.