第三節(jié)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器利用模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。因此，它歸根結(jié)底是一個(gè)由S平面映射到Z的變換，這個(gè)變換通常是復(fù)變函數(shù)的映射變換，為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，這個(gè)映射變換必須滿足以下兩條基本要求：(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。即S平面的左半平面必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部。一、脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換原理核心原理：通過對(duì)連續(xù)函數(shù)ha(t)等間隔采樣得到離散序列ha(nT)。令h(n)=ha(nT)，T為采樣間隔。它是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法。轉(zhuǎn)換步驟：設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t)設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：一般Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)，將一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，可形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為：可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實(shí)數(shù)乘法)的形式為：極點(diǎn)為如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為：極點(diǎn)為

相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的形式為：設(shè)ha(t)的采樣信號(hào)用表示，二、存在的問題拉氏變換：上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：將s=jΩ代入上式，得我們知道模擬信號(hào)ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系滿足：

jS平面Z平面Re[z]jIm[z]=0(s平面虛軸)r=1(z平面單位圓)

<0(s左半平面)r<1(z平面單位圓內(nèi)部)

>0(s右半平面)r>1(z平面單位圓外部)①r與

的關(guān)系②

與

的關(guān)系：=T=0(s平面實(shí)軸)=0(z平面正實(shí)軸)=0=0T

(s平面平行于實(shí)軸的直線)(z平面始于原點(diǎn)，輻角為

0T的輻射線)

：從-/T～/T

：從-～

(s平面為2/T的一個(gè)水平帶)(z平面輻角轉(zhuǎn)了一周，覆蓋整個(gè)z平面)

Z平面jIm[z]Re[z]

jS平面-/T/T3/T-3/T多值映射

存在的問題：混疊失真數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真。即：|ω|<π但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的（非理想），變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而是有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)幅度還與采樣間隔T成反比：|ω|<π如果采樣頻率很高，即T很小，數(shù)字濾波器可能具有太高的增益，這是不希望的。為了使數(shù)字濾波器增益不隨采樣頻率而變化，可以作以下簡(jiǎn)單的修正，令：h(n)=Tha(nT)則有:很小的數(shù)在分子比在分母安全！例：已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為：用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解：首先將Ha(s)寫成部分分式極點(diǎn)為：那么H(z)的極點(diǎn)為：設(shè)T=1s時(shí)用H1(z)表示，T=0.1s時(shí)用H2(z)表示，則轉(zhuǎn)換時(shí)，也可以直接按照二階節(jié)的公式來(lái)直接寫。優(yōu)點(diǎn)：脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好。模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間呈線性關(guān)系ω=ΩT。

因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。21寫在最后成功的基礎(chǔ)在于好的學(xué)習(xí)習(xí)慣Thefounda