高中數(shù)學北師大版（2019）必修第二冊第二章平面向■及其

應用綜合強化5

第I卷（選擇題）

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一、單選題

1.?均為單位向量,且它們的夾角為45。,設￡不滿足|辦月|=（出=冢+皈（人/?）,

則|辦-臼的最小值為（）

A.V2B.—C.—D.—

244

2.已知平面向量滿足|吊=2,|昨6且|已+（1-2X）B|（XWR）的最小值3,則

2

|￡+y5|（yeR）的最小值為（）

A.也B.1C.2D.1或2

2

3.已知點尸為圓（x-l）2+（y-2：『=l上動點，。為坐標原點，則向量辦在向量

方向上投影的最大值為（）

A.V5B,逑+1C.延7D.坡

555

4.已知平面向量訕工滿足：忖=|4=1,選=0，@+不歸一胃=4,則,-聞+忖一目的

最小值為（）

A.4—\/2B.4+y2C.5+D.5+

___1—1—

5.已知點M是AABC所在平面內一點，^AM=-AB+-ACf則AABW與/CM的

面積之比為（）

854

2

A.3-B.2-D.3-

6.在四邊形A8CD中，點E為AO的中點，點尸為BC的中點，且|而|=1,|。。|=2,若

ABDC>0,則I而I的取值范圍是（）

A.（李B，C.（~?+°°）D.[*,+oo）

二、多選題

7.下列命題中正確的是（）

A.不存在4個平面向量，兩兩不共線，其中任意兩個向量之和與其余兩個向量之和垂

直

B.設4、P2........2是單位圓。上的任意〃點，則在圓O上至少可以找到一點M,使

得|阿|+|阿卜…+|碉2〃

C.任意四邊形ABCO中，M、N分別為AD、8c的中點，G為MN的中點，。為平面

內任意一點，則05=,（函+麗+反+對

4

D.AABC中，點。為外心，H為垂心，則兩=西+而+覺

8.已知點。為“18c所在平面內一點，且［35+力布+C反=G（?b，c>0）,則下列選

項正確的是（）

A.若a=l,b=2,c=3,則AO='4B+，AC

32

B.若a=3,b=2,c=4,且|厲|=|/=|覺|=1,則反?布

C.若直線AO過BC的中點，則a=8=c

D.SjoB：Sjoc=b;c

第H卷（非選擇題）

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三、填空題

9.在AABC中，Z&4C=60°,BC=3,。是8。上的點，AO平分"4C,若4）=2,

則的面積為.

10.如圖，在AABC中，BD=DE=ECfAF=2FB,2AM=MDf直線尸M交AE于

點G,直線MC.交A&于點N,若△MNG是邊長為1的等邊二角形，則向.證=

11.如圖，已知正方形A6CO的邊長為1,E在C。延長線上，且DE=CD.動點尸從點

A出發(fā)沿正方形A8CD的邊按逆時針方向運動一周回到A點，其中祈=4通+〃恁，

則下列命題正確的是.（填上所有正確命題的序號）

試卷第2頁，共4頁

①人0,〃之0；

②當點尸為40中點時，4+4=1；

③若;1+〃=2,則點尸有且只有一個；

④2+〃的最大值為3：

⑤麗?通的最大值為1.

12.已知邊長為2的正方形A8C0邊上有兩點P、Q,滿足|PQ|N1,設O是正方形的中

心，則麗?麗的取值范圍是.

四、解答題

13.在①岑=-丁"，②,處A也,③2s=々5麗?近三個條件中任選

cosC2a+csinc-sinCa+c

一個補充在下面的橫線上，并加以解答.

在AABC中，角A,B,。的對邊分別為a,b,c且,作4?_LAD,使得四邊形

ABC。滿足NACZ）=q,AD=g,求8c的取值范圍.

14.如圖，數(shù)軸X），的交點為0,夾角為。，與I軸、》軸正向同向的單位向量分別是

由平面向量基本定理，對于平面內的任一向量而，存在唯一的有序實數(shù)對（乂y）,使得

麗=扃+再，我們把（x,y）叫做點尸在斜坐標系短），中的坐標（以下各點的坐標都指在

斜坐標系直為中的坐標）.

y；

(1)若。=90。，而為單位向量，且方與1的夾角為120。，求點尸的坐標；

⑵若0=45。，點P的坐標為(1,拒)，求向量而與I的夾角.

15.如圖，等腰直角三角形地塊ABC,A3=AC=2km,為了美化環(huán)境，現(xiàn)對該地塊

進行改造，計劃從BC的中點。引出兩條成45。角的射線，分別交48,AC于點E,F,

將四邊形A瓦加區(qū)域改造為人工湖，其余區(qū)域為草地，設NBDE=a.

(2)求人工湖AEL尸的面積S(a)的取值范圍.

TF

16.在平行四邊形A5CQ中，AB=2,40=1,NDAB=§.若E、尸分別是邊4C、CD

上的點.

(1)若E、尸分別是邊3C、C。的中點，AE與8尸交于點。，用油和G表示益；

BPCF

(2)若E、尸滿足器=為，求危.京的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案

I.C

【分析】

建立直角坐標系，求得向量￡,B的終點軌跡方程是圓和直線，利用圓心到直線距離減去半

徑得到最小值得解

【詳解】

設礪=￡，OB=b

以I的方向為正方向，所在直線為％軸，垂直于I所在直線為y軸，建立平面直角坐標系

力方均為單位向量，且它們的夾角為45。，則［=。,0),￡=(￥，￥)

,.1a+e2l=?設A=(x,y)

滿足(X+￥)、(y+*)2="

B=5+ke式kwR),設8=(%,%)

(%，Yo)=Q+^~'故/一%=1，

則|力|=|西-函=|麗I，則|力|的最小值為圓(x+爭+(y+爭2=:上的點到直線

%一%=1距離的最小值

一興+也T廠廠

其最小值為?22"五二近

VF+T44

故選:C.

【點睛】

向量模長最值問題轉化為點到直線距離是解題關鍵，屬于中檔題.

2.D

【分析】

設/(x)=\xa+(\-2x)b『，必■=r,則/(x)=(16-4/)x2+(2r-12)x+3,由『⑶的最小值為1,

4

得4x(161⑵2：9,且16-4”0,解得"0或"3,然后分2種情況考慮

4x(16—41)4

Ia+yb|(ye7?)的最小值，即可得到本題答案.

【詳解】

答案第1頁，共19頁

設/(x)=|xZ+(l-2%)5?，ab=!?

則fM=ax2+2x(1-2x)ah+(\-2x)2b

=4x2+2x(1-2x)t+3(1-4x+4x2)

=(16-4r)x2+(2z-12)x+3

因為屏+(l-2x)6|(%eR)的最小值避

所以『⑴的最小值為力

4x(16—41)x3—⑵一⑵3

人」4x(16-4r)“且16-4C0,

解得r=0或f=3,

當，=0,即￡.3=0時.

\a+yh|=^4+2ya-h+3y2=(4+3y?>2，

所以IG+yBI(yeR)的最小值為2；

當r=3,即2石=3時，

\a+yb|=yj4+2ya-b+3y2=J3y2+6y+4=J3(y+1)2+1>1，

所以|￡+y5|(ywK)的最小值為1,

綜上，|￡+?3|(yeR)的最小值為1或2.

故選：D

【點睛】

本題主要考查向量的模的計算與二次函數(shù)值域的綜合問題，考查學生的推理分析能力和計算

能力.

3.B

【分析】

設向量：所在直線為QA(A為向量的終點)，當點P位于與直線。A旋直且與圓相切的直線

上時，投影取得最值，進而求出最大值.

【詳解】

如圖所示，向量：所在直線為。4(4為向量的終點)，則后八=；，則設與直線。A垂直且與

答案第2頁，共19頁

I/-4I

圓相切的直線為/：y=-2x+f,所以圓心到直線的距離4==1nf=4±-\/5

根據(jù)圖形可知，當f=4+6時投影最大，設此時/:y=-2x+4+有與直線04交于8,

y=-2工+4+石

解得：《|件灼』4+灼｝

易得，直線04：y=~^x,聯(lián)立:1

y=-x

所以|08|=(4+石)+6)=號+1，則向量辦在向量)=(2,1)方向上投影的最大值

為---+1.

5

故選：B.

4.A

【分析】

由卜+0+歸-4=4可得同=2,由忖=口=1,選=0,可得⑹?七近，設5=歸一刎10,

貝|JS=忸_4_0,S2—2a+2-2a(b+e)+2a-a(b+e),從而可求出

其最小值

【詳解】

解:因為歸+0+忖一1=4,

所以歸+,+2忖+"弧-4+歸一42=16,

所以2片+2+2了-1卜16,所以/二4

所以同=2,

因為忖=忖=1,人"=0,所以歸一0=夜,

答案第3頁，共19頁

設$=卜一目+卜一0,則s>|(a_另卜(。_0)卜,

S2=2a+2-2a'(b+e)+2a-a(b+e),

當/一—小+工)40時，S2=2(舍去)，

當/_3@+工)>0時，52=18-4a-(5+e)>18-4|5|^4-^|=18-8x/2=(4->/2)2,

所以的最小值為4-、5，

故選：A

【點睛】

關鍵點點睛：此題考查向量數(shù)量積的運算律的應用，考查向量的性質的應用，解題的關鍵是

由已知條件得14=2,忸-0=也，令S=B-4+|￡—0,則

S2=2^+2—27@+工)+212—￡.@+可，然后化簡可求得結果，考查計算能力，屬于較難

題

5.C

【分析】

作出圖形,結合三點共線性質可?得，而=4而+(1-4)而，同時設AG=MM,聯(lián)立解出/U,

進而確定%關系，同時滿足且=2而，進而求出要關系，即可求解兩三角形面積之比.

GAGC

【詳解】

如圖，延長4M交8C于G,則而=4通+(1-義)而，因為A,M.G三點共線，所以

1

-

2心3

AG=tAM，即屈+。-4)/=，佶而+<祜，所以工-則=-

12

I2，33)1-/t

3-

，=：,又行=畫,故而=：質,所以票=,，察=!，所以

55GC3GA6

^aWc=^xlsAM3/=^BAM,所以2=2.

乙Z0乙%8MC

故答案為：C

答案第4頁，共19頁

6.A

【分析】

根據(jù)向量的加法可得2E戶=4月,再由向量的數(shù)量積運算得4|而產=而2+比2+2通.配,

由0<而.加=1*2=2可得選項.

【詳解】

因為前=麗+而+格W=ED+DC+CF>

又點E為A。的中點，點尸為8c的中點，所以2而==^+比，

又因為0<A月0^41x2=2，

所以4|而降褶+三+2被配>4+1=5，

22

且4|麗『=AB+DC+2ABDC^4+1+2|AB||DC|=5+2X1X2=9?

所以4|研逅（5,9］,即|喬歸卓/，

故選：A.

【點睛】

關鍵點睛：本題考查向量的數(shù)量積運算，求線段的長度的范圍，關鍵在于待求向量用已知向

量表示，由已知向量的數(shù)量積的范圍得以解決.

7.BCD

【分析】

對A：設0為正三角形ABC的內心，P為內切圓圓周上一點，（而+麗）-（4+所）=0,

所以西+而與京+而垂直，所以選項A錯誤；

對8：取西+西+…+礫的反向延長線與單位圓的交點為M,則而與

函+西+…+礫共線同向時，有|叫卜|西'卜…+|謝］

N“麗卜|西+西+…+四］之八，所以選項B正確；

對C：因為）+礪+反+礪=4而+2麗+痂:=4而，所以選項C正確；

對。：作直徑8D,連接人Q,可得四邊形4”C。為平行四邊形，所以

OH=OA+AH=OA+DC=dA+OC-dD=dA+O§+OC所以選項D正確.

【詳解】

解：對4如圖所示，。為正三角形43c的內心，P為內切圓圓周上一點，滿足再，而，無，可

答案第5頁，共19頁

兩兩不共線，而（蘇+方）.（定+而）=（而+）+所+而）（而+配+所）

=（2PO+OA+OB）（2PO+OC）=\2PO-OC^（2PO+OC）=4PO-O&=0,

所以中+而與定+所垂直，所以選項A錯誤；

對B：如圖，當〃=1時，|西|=|荻+珂，當碗與西共線同向時，

|畫=麗卜冏2網(wǎng)=1；

當〃=2時，|胸卜區(qū)冏=|M0+陷++OP^\>12Mo+（*+西,

當血與西+強共線同向時，有上荻+（西+四）|=2|而可+|西+。月|22；

同理，可取西+西+…+函的反向延長線與單位圓的交點為M,則血與

西+西+…+函共線同向時，有|砌]+|砌卜…+|研]

=函+0耳卜廂+西|+..+廂+因2%麗+西+圾+..+閉

="函+|西+西+…+西|之人所以選項B正確；

對C：因為）+5S+無+歷=[55+函）+（礪+而）+（礪+文）+（礪+SS）

=4OG+（GA+GS+GC+GD）=4OG+[GA++GD）+[GB+GC）

=4OG+2GM+2GN=4OGf

所以詬=]（礪+礪+式+兩，所以選項C正確；

4

答案第6頁，共19頁

D

對。：如圖，作直徑80,連接AD,則AD_LAB,又因為〃為三角形ABC的垂心，

所以Ca_LA8,所以C”〃A。，同理AH〃C。，所以四邊形AHCD為平行四邊形，

所以麗=次+而=而+就=弧+元一麗=麗+麗+無，所以選項D正確.

故選：BCD.

8.AB

【分析】

由礪+2礪+3方=6，OB=OA+AB^近=礪+恁即可判斷A；

將4反=-（3次+2礪）兩邊平方可得漢.麗的值，再結合而二無一次即可判斷B；

設3C的中點為￡）,則而=g（而+林）=-礪+：而+；覺再結合荷=攵而即可得4仇c

之間的關系可判斷C；取點4,*,C使得前=〃次，OBi=hOB,（X?=cOC,則點。為

ss

VAEC的重心，可得，=再利用三角形面積公式即可求臺"，

即可求得Sj8：S,w，即可判斷D,進而可得正確選項.

【詳解】

對于A：若a=l,b=2,c=3則方+2礪+3反=0，因為而=35+而，

OC=OA+AC，代入可得礪+2（E+而）+3（3+而）=。即

_,_____.1—1—

6OA+2AS+3AC=0^所以6而=2而+3而，可得4。=3A8+萬AC,

故選項A正確；

答案第7頁，共19頁

對于B：若a=3,b=2,c=4則3礪+2而+4雙=6，所以4反=-（3礪+2礪）

所以16反匕（3礪+2麗卜即16反、9次：4而2+［2礪.而，

所以16=9+4+12方?麗，可得萬?加二，

所以反.而=一；（3礪+2萬）（礪_礪）=_；卜3麗2+2而2+麗麗）

二一：（-3+2+：］=2，故選項B正確；

414）16

對于C：設BC的中點為O,貝IJ而=g（而+*）=g（而一礪+武一麗）

二一04+；。3+；0。若直線4。過BC的中點，則存在實數(shù)女滿足血=攵而，

^AO=kx^-OA+^OB+^OC^=-kOA+^OB+^OC,

所以（1+女）厲一?礪一,加=6,所以。=4+1,b=c=~,所以不一定°=b=c,故選項

C不正確；

對于D：取點4,乩（7使得函麗，兩=〃而，OC=cOC＞則

OAi+OBf+OC=d^所以點。為VA'UC的重心，

因為重心。到BC'中點的距離等于中線的：，所以重心。到8c的距離等于高線的：，可得

S4K0C=QSj'tfc，問理可得\A'OC'=§、owe?S揖0時=—SEKC、

所以S。*=^AAOC'=SAA,05',

-OBOCsxn^BOCIs1

所以［g2OBPC而同理可得；基

-OB'OCsxn^B'OCOB'OCac

2

S/OB1~T

嬴,所以Sj.^^叱=彳2-----=c:b,故選項D不正確;

一S.KOC

ac

故選：AB.

答案第8頁，共19頁

B\B

【點睛】

結論點睛：若點。為AA3c所在平面內一點，且〃次+力而+C覺=0（。，ac>0），則

S&BOC：S,A0c-SSOB=a：b:c

2

【分析】

由正弦定理可得3。=」、DC=^—,即有［二+1==3,而券=等=26，

sinBsinesin8sinesinesinB

可得A8+AC=^ACA8,結合余弦定理求ACA8,再應用三角形面積公式求d8C的

2

面積即可.

【詳解】

BDKDDCAD

ncAD.711

，由正弦定理，-7sinB，a即nBD=-----sin—=-------

sin—sinB6sinB

6

DC=—sin-=—,而8C=3,

sinC6sinC

--------1-------=3,

sinBsinC

???&=&=—^=26即_L=述，_L=氈

sinCsinBsinZBACsinCABsin5AC

BPAB+AC=—ACAB,

ACAB22

又由余弦定理知：AC2+AB2-2ACABcosZBAC=BC2，

答案第9頁，共19頁

AAC2+AB2-ACAB=9,即(4C+A8)2-3AC4B=9,^X=ACAB,

x2-4x-12=0,即x=6(x=-2舍去)，

I3J3

?-SARC=-ACABs\nZBAC=—.

故答案為：地.

2

【點睛】

關鍵點點睛：應用正余弦定理，列方程求AC-AB,根據(jù)三角形面積公式求面積.

10.-

5

【分析】

假設啟=4怠，首先根據(jù)向量共線求得AG=；AE，同理得ANn^AE，AG=^GN,最

》)4???2

后由于M"=4M)V，M4=MG+WNG,從而計算MAMC=g即可.

【詳解】

TT2T]一

解：^AG=AAE=-AAC+-AAB,

33

-?1—1—2f—2f

=-AD=-AC+-AB,AF=-AB,

3993

TT->]T4T

所以==

FG=AG-AF=-AAC+\-X--\AB,

3(33j

因為扁所嗎-|卜卜打I"

2

得八g,

T2T

所以4G=§AE.

T[ff4f

同理4N=—4E,所以AG=—GN.

25

-TT11(\^*2A21-*

MN=AN-AM=-AC+-AB-\-AC+-AB\=-AC--AB

36(99J918f

->->-?Q—>9->->

MC=AC-AM=-AC--AB=4MN,

99

->-?-?-?4—

MA=MG+GA=MG+wNG,

->-*f-*4A—1682

所以MAMC=|MG+mNG14MN=4MN?MG+W"MNG=2_]=M.

【點睛】

答案第10頁，共19頁

(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的

加、減或數(shù)乘運算.

(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論

表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

11.??④⑤

【分析】

建立適當?shù)淖鴺讼?，利用向量的坐標運算將有關問題轉化為點尸的坐標(x,y)的有關問題，

即可逐一作出判斷.

【詳解】

建立如圖所示的坐標系，則8(1,0],E(-M),

故A8=(L0),AE=(-1,1),AP-ZAB+=

設點P的坐標(x,y),則,易得4+〃=(/l-〃)+2〃=x+2y.

x=2-//>0??

①由尸的運行軌跡可知產后。,所以八故①正確;

②當點尸為中點時，，2+〃=x+2y=l,,故②正確;

③由4+〃=2時x+2y=2,直線J：x+2y=2經過0(0,1),與線段8c交于點(1,萬

工使得％+〃=2的點有兩個，故③錯誤;

④4+〃=4一〃+2〃=x+2y,顯然當直線x+2y=4+〃平行移動,

經過C(l,l)點時義+4取得最大值3,故④正確.

答案第11頁，共19頁

(5)由于而在荏的方向上的投影在「與。重合時取得最大值，

UUUULU_

此時而?荏取得最大值，ADAE=(O,1)(-1,1)=1?故⑤正確.

12.[-2,1]

【分析】

先建立平面直角坐標系，再分類討論求出各種情況下的麗?麗的范圍即可得到答案.

【詳解】

建立如下圖所示的平面直角坐標系.

①當P,Q兩點在正方形的同一邊上時(含正方形的頂點).

0W1

根據(jù)對稱性，不妨設由于IPQE1,所以滿足?-14y40,

x-y>l

可得-14個40,

所以麗?麗=孫+16]0,1]；

②當P,。兩點在正方形的相鄰邊上時(含正方形的頂點).

根據(jù)對稱性，不妨設QU，D,尸(Ly),

所以麗?麗=x+y,

答案第12頁，共19頁

由于IPQI之i,所以乂y滿足1"小

（x-l）2+（^-l）2>l

當2="+'與圓*—l）2+（y—l）2=l相切時，Z有最大值Zg=（應一1）>0=2-也,

所以這種情況下/?麗=x+ye[-2,2-&]；

③當P,。兩點在正方形的對邊上時（含正方形的頂點）.

根據(jù)對稱性，不妨設Q（K，1），P（X2，T），

所以麗?麗=西9一1,由圖可知，-1工王VlnTVXiW，

所以所衣=

答案第13頁，共19頁

綜上可知：[-2,1].

故答案為：[-2,1].

【點睛】

關鍵點睛：解決本題的關鍵?是要分類討論，二是在每?種情況下要準確地寫出變量的范圍

并求出每種情況下麗?麗取值范圍.

13.(0,2).

【分析】

根據(jù)題意，選擇①②③求得8=算，設㈤C=e，則/=e+在

△ACZ)中，由正弦定理求得AC=2sin(e+￡),在AABC中，由正弦定理求得可得

BC=-isin(^+—)sin^=-^^sin(2^--)+1,結合0<0<三和三角函數(shù)的性質，即可求解.

V36333

【詳解】

若選①：由筆=-J-，根據(jù)正弦定理可得筆

cosC2a+ccosCzsinA+sinc

即2sinAcosB+sinCeosB=-sinBcosC,

BP2sinAcosB=-sinBcosC-sinCeosB=-sin（B+C）=-sinA,

可得8sB=-；,因為Ae（0,;r）,所以B=

設Zft4C=e,ppjZC4D=--ZCDA=0+-,

26

ACAD

在AAC。中，由正弦定理得.八，

sinZADCsi'n1Z.3ACD

ADsinZADC"則（嶗）

可得檢"si必C'。"1二2sm（0+彳）,

sin一

3

答案第14頁，共19頁

在，蛇中,由正弦定理得益二總'

2制辦自加45叫「

ACsin，

可得BC=一”一耳sm('+k)sn°

sin8

3

sinO+JcosO)sine=,1

sin-^+—sin^cos0)

-^(2>/3sin29+2sinOcos。)=9(2>/5乂"!-C^S^+sin2^)

~^=(sin2。—5/3cos2。)+1=―^―1sin(26—()+1，

因為0<0v],可得—?<2?！?/p>

當2。一9=￡時，即e=g,可得拽sin2+1=2,

33333

當2夕-￡=-^時，即6=0,可得逆sin(-馬+1=0,

3333

所以8C的取值范圍是(0,2).

選②：由.：臣二口,根據(jù)正弦定理可得戶二"￡，

sinB-sinCa+cb-ca+c

可得，+公=乂一。？，BPa2+c2-b2=-ac,

又由余弦定理，可得cosB=#+c~b；=W￡

2aclac2

因為Aw(0人),所以8=與，

設ZJX4C=e,則NG4O=工一4NCDA=e+工,

26

ACAD

在△ACO中，由正弦定理得

sinZADCsin/AC。

汕3二士咤

2sin(^+—),

sinZACD.TT6

sin一

3

在，叱中，由正弦定理得煮二總'

2sin(6+7)sin。

ACsin。47T

可得BC==-j=sin(。+-)-sin0

sin.2%

Bsin——

3

答案第15頁，共19頁

sin6+；cos0)sin0=sin2e+；sin6cos6)

=J=(2Wsin?9+2sin"cos。)=1-COS20.今八\

-------+sin20)

x/3

=9(sin2。-百cos2。)+1=手sin(2<9-y)+l,

因為0<eg,可得這<2"d，

當26-g=g時，即。=￡,可得亞sin2+1=2,

33333

當2。一?二一?時，即0=0,可得竽sin(—?)+1=0,

所以8C的取值范圍是(0,2).

若選③：由2s=-J5麗可得2x：acsin〃一-BaccosZ?,

即sinB=-x/3cosB?可得tanB=-&?

因為46(04),所以B=弓,

設z^c=e,則NCAO=2—仇NCOA=O+2,

26

ACAD

在△ACQ中，由正弦定理得

sinZADCsinZACD

可…"三

2sin(6>+-),

6

3

在AMC中'由正弦定理得益=羔

A廠.n2sin(0+三)sin夕

ACsm6/_'64-4c

可得BC==—f=sin(?+—)-sin0

sinB.2乃

sin——V36

3

sine+gcos6)sine=9(*sin2e+gsinOcos。)

l-C2s2￡^

sin2^+2sin^cos^)=x+sin2)

=(sin26—V3cos26)+1=-1sin(26——)+1*

V333

答案第16頁，共19頁

因為0<0<]，可得一?〈2。一(〈事，

當2，—g=g時，即e=g,可得氈sin2+1=2,

33333

當28-5=-(時，即9=0,可得竿sin(-§+l=0,

所以BC的取值范圍是(0,2).

14.(1)(一：,士岑)；(2)arccos-=1^-

【分析】

(1)利用而與1的數(shù)量積及而為單位向量列出方程組，求解即得：

(2)類比平面向量的長度及夾角公式，計算向量而與1的夾角的余弦得解.

【詳解】

(1)0=90。時，坐標系Mb為平面直角坐標系，

設點P(x,y),則有加=(x,y),而不=(1,0),OP^=x,

又而￡=|而|￡|cosl20=-g,所以x=_g,又因|而|=Jf+y2=],

解得y=±乎，故點尸的坐標是(_最士*)；

⑵依題意[之夾角為45。，不.刊=|不I?向Icos45'孝,而=4+&?&,

2

「JOP|=|e,+>/2?e21=y/(et+V2-e2)=\Jet+2y/2et-e2+2e2=J5?

OPex^OP\\eyI-cos?=>/5cosa,9.&=(，+母+g￡4=2,

所以6cosa=2,cosa=?而ae[0,4],故a=arccos^^.

55

【點睛】

坐標系下新定義的創(chuàng)新試題，類比原有平面向量的模、數(shù)量積解決，但不能直接類比原有平

面向量的直角坐標方法處理.

15.(1)^^(km)2；(2)(4-何(km)?

【分析】

(1)先根據(jù)正弦定理求