質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)一、預(yù)備知識(shí)（幾個(gè)概念）1、參考系、坐標(biāo)系

運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，是物質(zhì)的固有屬性，運(yùn)動(dòng)和物質(zhì)是不可分割的，但對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述卻是相對(duì)的。對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述時(shí)，選擇不同的參照物會(huì)有不同的描述。在描述物體運(yùn)動(dòng)時(shí)被選作參照物的物體或物體系稱為參考系。

要定量描述物體的位置與運(yùn)動(dòng)情況，就要運(yùn)用數(shù)學(xué)手段，在參照系上建立坐標(biāo)系。1.1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述

常用的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系(x,y,z)，極坐標(biāo)系(

,

)，球坐標(biāo)系(R,

,

)，柱坐標(biāo)系(R,

,z

)。xyzoz

R參考方向zo

Rxy

2、質(zhì)點(diǎn)

物體：具有大小、形狀、質(zhì)量和內(nèi)部結(jié)構(gòu)的物質(zhì)形態(tài)。在某些情況下，物體的大小、形狀對(duì)研究的運(yùn)動(dòng)不產(chǎn)生影響，或其影響可以忽略，把這樣的物體簡化為質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn):具有質(zhì)量而沒有大小的理想物體模型。把物體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)是有條件的：物體的大小和形狀對(duì)運(yùn)動(dòng)沒有影響或影響可以忽略。如研究某物體的平動(dòng)。把物體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)是相對(duì)的：同樣一個(gè)物體在不同的情況下，有時(shí)可以當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，有時(shí)則不可以。如地球的公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)。另一類物理模型：把物體化為若干個(gè)質(zhì)點(diǎn)的集合體來研究，即剛體。

二、描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量1、位置矢量

選定參考系及坐標(biāo)系后，質(zhì)點(diǎn)的位置可用一個(gè)位置矢量來確定。

oxyz在坐標(biāo)系中，從坐標(biāo)原點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)所在位置的有向線段，叫做位置矢量，簡稱位矢。直角坐標(biāo)系中，位置矢量可表為：大?。嘿|(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，其坐標(biāo)x、y、z均為時(shí)間t的函數(shù)，可記做質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程分量式質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程2、位移矢量由質(zhì)點(diǎn)的初始位置指向質(zhì)點(diǎn)的終了位置的有向線段稱為該時(shí)間段內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移矢量，簡稱位移。路程是質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的實(shí)際路徑的長度，是標(biāo)量。注意區(qū)分在直角坐標(biāo)系中：xyzo大小：注意區(qū)分和注意區(qū)分和只有在質(zhì)點(diǎn)作單向直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，或所取時(shí)間段趨于0時(shí)，位移大小=路程。分別表示為3、速度矢量速度矢量是描述質(zhì)點(diǎn)位置變化快慢的物理量。A.平均速度P2P1oxyzΔS矢量大?。悍较颍号c位移方向一致B.平均速率平均速度的大小一般不等于平均速率。標(biāo)量C.瞬時(shí)速度平均速度和平均速率只能粗略描寫質(zhì)點(diǎn)位置變動(dòng)的快慢和方向。矢量大?。悍较蜓刂摃r(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在處運(yùn)動(dòng)軌道的切線方向指向前方。D.瞬時(shí)速率（瞬時(shí)）速率是標(biāo)量（瞬時(shí)）速率等于（瞬時(shí)）速度的大小。4、加速度矢量加速度是反映質(zhì)點(diǎn)速度大小和方向變化快慢的物理量。A.平均加速度P2

P1x

yzOB.瞬時(shí)加速度1.質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，判斷下列說法的正誤?！蘹xxx思考題：2.物體在某一時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng)，在Δt時(shí)間后，經(jīng)任意路徑回到出發(fā)點(diǎn)，此時(shí)速度的大小與開始時(shí)相同，但方向不同，問在Δt時(shí)間內(nèi)的平均速度是否為零?平均加速度是否為零？答：平均速度為零；平均加速度不為零。例1-1

已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

求：（1）質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。（2）質(zhì)點(diǎn)的軌道。（3）0--s內(nèi)的位移和平均速度。解：

（1）由運(yùn)動(dòng)方程的矢量式得直角坐標(biāo)系的分量式

（2）質(zhì)點(diǎn)的軌道是半徑為的圓.

（3）0--s內(nèi)的位移平均速度例1-2

已知質(zhì)點(diǎn)的加速度，初始時(shí)刻，。求：質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和位置。解：

已知

分離變量兩邊積分已知分離變量兩邊積分例1-3

一質(zhì)點(diǎn)在xoy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為求速度與位矢垂直的時(shí)間？

解：

與垂直時(shí)，兩矢量點(diǎn)積為0，即解此方程得或舍去課后習(xí)題1-11-21-31.2圓周運(yùn)動(dòng)一、直角坐標(biāo)系下的描述

一質(zhì)點(diǎn)在半徑為R的圓周上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

角速度為

建立直角坐標(biāo)系時(shí)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置矢量速度矢量加速度矢量速度、加速度也可以用其在x、y方向上的分量來表示二、自然坐標(biāo)系下的描述

為切、法向的單位矢量。自然坐標(biāo)系：以動(dòng)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以動(dòng)點(diǎn)所在軌道處的切線和法線為坐標(biāo)軸（切向指向前進(jìn)方向，法向指向曲率中心），、質(zhì)點(diǎn)在半徑為R的圓周上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在圓周的點(diǎn)處，在任意時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)在處，

的值確定了質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的位置此刻質(zhì)點(diǎn)速度為的大小：方向：為該處切線指向前進(jìn)的方向，即向。加速度為質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)，轉(zhuǎn)過角到經(jīng)過時(shí)間在B處時(shí)其切向單位矢量為在處時(shí)其切向單位矢量為所以大小：方向：方向垂直于，指向圓心即向切向加速度是改變速度大小的加速度分量法向加速度是改變速度方向的加速度分量對(duì)于一般的曲線運(yùn)動(dòng)，思考題：根據(jù)下列質(zhì)點(diǎn)加速度情況判斷質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng)（1）如

；則質(zhì)點(diǎn)作

（2）如；則質(zhì)點(diǎn)作（3）如；則質(zhì)點(diǎn)作（4）如；質(zhì)點(diǎn)作一般曲線運(yùn)動(dòng)（5）如；質(zhì)點(diǎn)作變速圓周運(yùn)動(dòng)（6）如；質(zhì)點(diǎn)作勻變速圓周運(yùn)動(dòng)（7）如；質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)（8）如；質(zhì)點(diǎn)作勻速曲線運(yùn)動(dòng)三、圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述

用位置矢量、速度、加速度描寫圓周運(yùn)動(dòng)的方法，稱線量描述法；也可用角度來確定其位置，稱角量描述法。質(zhì)點(diǎn)在xoy平面內(nèi)繞o點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，以ox軸為參考方向.角坐標(biāo)與x軸的夾角為質(zhì)點(diǎn)的位矢時(shí)刻與x軸的夾角為質(zhì)點(diǎn)的位矢時(shí)刻在時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的角位移為

,規(guī)定逆時(shí)針為正.平均角速度為角速度角加速度角量與線量的關(guān)系弧長和圓心角的關(guān)系為兩邊求導(dǎo)即線速度與角速度的關(guān)系為：兩邊再求導(dǎo)得切向加速度與角加速度的關(guān)系為而法向加速度

質(zhì)點(diǎn)作勻變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度、角位移與角加速度的關(guān)系式為：比較知：兩者數(shù)學(xué)形式完全相同,說明用角量描述,可把平面圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為一維運(yùn)動(dòng)形式，從而把問題簡化.例題:1-14.作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn),速率與時(shí)間的關(guān)系為(c為常數(shù),t以秒計(jì))

求:(1)t=0到t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)走過的路程;(2)t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)加速度的大小.1-16.飛輪作勻減速轉(zhuǎn)動(dòng),在5秒內(nèi)角速度由

40πrad/s減到10πrad/s,則飛輪在這

5秒內(nèi)總共轉(zhuǎn)過了多少圈?飛輪再經(jīng)過多少時(shí)間才能停止轉(zhuǎn)動(dòng)?課后習(xí)題1-81-91-101.3直線運(yùn)動(dòng)的描述一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在x處則位置矢量則速度矢量則加速度矢量可略去標(biāo)量可以表示矢量并非位置矢量、速度矢量、加速度矢量的大小。例1-4

如某質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為.求①質(zhì)點(diǎn)在秒內(nèi)走的路程。②質(zhì)點(diǎn)何時(shí)到達(dá)位置坐標(biāo)的最大值？解：

（1）由

得

（2）t=1s而例1-5

一質(zhì)點(diǎn)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，其加速度與時(shí)間的關(guān)系為時(shí)，求：質(zhì)點(diǎn)的速度、位置與時(shí)間的關(guān)系。解：

因?yàn)榉蛛x變量，有兩邊積分得又有分離變量得：兩邊積分得例1-6

一艘船沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，其加速度與速度的關(guān)系為時(shí)，求：速度、位置與時(shí)間的關(guān)系。解：

又因?yàn)橛蟹蛛x變量得：兩邊積分即

分離變量得：兩邊積分課后習(xí)題1-5相對(duì)于地球作運(yùn)動(dòng)的參照系為系1.4相對(duì)運(yùn)動(dòng)和伽利略變換

運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，但運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的，同一運(yùn)動(dòng)在不同參照系中的描述是不同的，但它們又是關(guān)聯(lián)的。如果已知物體在一個(gè)參照系的運(yùn)動(dòng)和另一個(gè)參照系相對(duì)于已知參照系的運(yùn)動(dòng)，我們就可求出物體相對(duì)于另一個(gè)參照系的運(yùn)動(dòng)。將地球這個(gè)參照系定為S系，則有不