2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試九年級(jí)數(shù)學(xué)試題（滿分150分，完卷時(shí)間120分鐘）班級(jí)______姓名______成績(jī)______一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.下列新能源汽車標(biāo)志圖案中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.2.用配方法解一元二次方程的過(guò)程中，配方正確的是（）A. B. C. D.3.如圖，在中，，則等于（）A. B. C. D.4.拋物線與軸的交點(diǎn)是（）A. B. C. D.5.正多邊形的中心角為，則正多邊形的邊數(shù)是（）A.4 B.6 C.8 D.126.如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到.若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，以原點(diǎn)為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來(lái)的，可以得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.或C.或 D.8.如圖，在中，為上一點(diǎn)，連接、，且、交于點(diǎn)，，則為（）A. B. C. D.9.已知拋物線，與的部分對(duì)應(yīng)值如表所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤是（）01230343A.開(kāi)口向下 B.頂點(diǎn)坐標(biāo)為C.當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 D.10.如圖，在矩形中，，，以點(diǎn)為圓心作與直線相切，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的最小值是（）.A. B.1 C. D.二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11.在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則______.12.已知關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為，則______.13.如圖，在中，分別交、于點(diǎn)、；若，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____.14.如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，則的度數(shù)為_(kāi)_____.15.若圓錐的高為，母線長(zhǎng)為，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)是______.（結(jié)果保留）16.關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于的一元二次方程同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，給出三個(gè)結(jié)論：①這兩個(gè)方程的根都負(fù)根；②③；④，其中正確結(jié)論的結(jié)論是______.三、解答題（本大題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（本小題8分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?） （2）18.（本小題8分）已知是關(guān)于的一元二次方程，求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.19.（本小題8分）為了測(cè)量水平地面上一棵直立大樹(shù)的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計(jì)如圖所示的測(cè)量方案：把一面很小的鏡子放在與樹(shù)底端相距8米的點(diǎn)處，然后沿著直線后退到點(diǎn)，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹(shù)梢頂點(diǎn)，再用皮尺量得米，觀察者目高米，求樹(shù)的高度.20.（本小題8分）如圖1、圖2，，均是等腰直角三角形，，（1）在圖1中，求證：；（2）若繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后如圖2所示，請(qǐng)問(wèn)與還相等嗎？為什么？圖1 圖221.（本小題8分）如圖，是的直徑，過(guò)點(diǎn)作的切線，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接.（1）請(qǐng)補(bǔ)全圖形；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）證明：是的切線.22.（本小題10分）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，平分，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接.（1）求直徑的長(zhǎng)；（2）若，計(jì)算圖中陰影部分的面積.23.（本小題10分）施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，其最高點(diǎn)距離地面高度為8米，寬度為16米.現(xiàn)以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示）.（1）求出這條拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；（2）隧道下的公路是單向雙車道，車輛并行時(shí)，安全平行間距為2米，該雙車道能否同時(shí)并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；24.（本小題12分）問(wèn)題背景：如圖1，已知，求證：；嘗試運(yùn)用：如圖2，在中，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，，且，，，與相交于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度；拓展創(chuàng)新：如圖3，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，.求的長(zhǎng).圖1 圖2 圖325.（本小題14分）已知拋物線過(guò)點(diǎn)和，與軸交于另一點(diǎn)，頂點(diǎn)為.（1）求拋物線的解析式，并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，為線段上方的拋物線上一點(diǎn)，，垂足為，軸，垂足為，交于點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求的面積；（3）如圖2，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，在軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1 圖22024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試九年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）題號(hào)12345678910答案ADCBCBCACD二、填空題（本大題共24分，每小題4分）11.1 12. 13.314. 15. 16.①③④三、解答題（共8小題，滿分86分）17.（1）解：.，，，.，即，.（2）解：或，.18.證明：，故方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；19.解：根據(jù)題意，易得，則，則，即，解得：，答：樹(shù)的高度為.20.解：（1）證明：，均是等腰直角三角形，，，，，；（2）答：相等.在圖2中，，，，在和中，，，.21.解：（1）答：補(bǔ)全圖形如圖所示：（2）解：證明：連接，切于，，即，，，，，，在和中，，，，，即，是的半徑，是的切線.22.（1）解：如圖所示，連接，為的直徑，平分，，，..，，，即...（2）解：如圖所示，設(shè)其中小陰影面積為，大陰影面積為，弦與劣弧所形成的面積為，由（1）已知，，，，.，弦弦，劣弧劣弧..為的直徑，，，.，...23.（1）解：依題意：拋物線形的公路隧道，其高度為8米，寬度為16米，現(xiàn)在點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)，點(diǎn)代入得：，解得拋物線的解析式為，，自變量的取值范圍為：.（2）解：當(dāng)時(shí)，，故能同時(shí)并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛.24.證明：?jiǎn)栴}背景：，，，，，，.嘗試應(yīng)用：如圖（2），連接，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，.拓展創(chuàng)新：過(guò)點(diǎn)作的垂線，過(guò)點(diǎn)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，連接，圖3，，，又，，，又，，即，，，，，，，，，或（舍去）.25.解：（1）把點(diǎn)，代入中，，解得，，頂點(diǎn)；（2）方法一：如圖1，拋物線，令，，或，.設(shè)的解析式為，將點(diǎn)，代入，得，解得，..設(shè)直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入中，得，，聯(lián)立得..把代入，得，..，即.解得或.點(diǎn)是上方拋物線上的點(diǎn)，（舍去）.點(diǎn)，，，，，；方法二：圖