專項素養(yǎng)綜合全練(二)有理數(shù)的運算技巧練方法方法一歸類相加方法歸納(1)互為相反數(shù)的兩數(shù)先相加——“相反數(shù)結(jié)合法”;(2)符號相同的數(shù)先相加——“同號結(jié)合法”;(3)分母相同的數(shù)先相加——“同形結(jié)合法”;(4)相加能得到整數(shù)的數(shù)先相加——“湊整法”.1.計算:(-41)+18+(-39)+12.解析原式=[(-41)+(-39)]+(18+12)=-50.2.計算:5

+4

+2

+2

.解析原式=

+

=8+7=15.3.計算:

+15.5+

+

.解析原式=

+15

+

+

=

+

=10-10=0.4.計算:(-45)-(+9)-(-45)+(+9).解析原式=(-45)+(-9)+45+9=[(-45)+45]+[9+(-9)]=0+0=0.5.計算:

+3+

-

+5+

-

.解析原式=

+

+(3+5)+

=0+0+8+

=8

.方法二拆項重組方法歸納帶分數(shù)相加時,先拆成整數(shù)和真分數(shù)的和,再利用加法的運算

律進行相加.6.閱讀下面文字:對于

+

+17

+

可以進行如下計算:原式=

+

+

+

=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+

+

-

+

+

-

=0+

=-1

.上面這種方法叫拆項法,類比上面的方法計算:(1)

+22

+

+24

;(2)

+

+4000

+

.解析

(1)

+22

+

+24

=

+

+

+

=(-23+22-21+24)+

=2-

=

.(2)

+

+4000

+

=

+

+

+

=[-1+(-2000)+4000+(-1999)]+

-

+

+

+

=0+

=-

.方法三倒序相加方法示例例題:計算1+2+3+…+98+99+100的和.解:令S=1+2+3+…+98+99+100①,S=100+99+98+…+3+2+1②,①+②,得2S=(1+100)×100,解得S=5050.7.計算:2+4+6+8+…+2024.解析令S=2+4+6+8+…+2024①,S=2024+…+8+6+4+2②,①+②得2S=(2+2024)×

=2026×1012,所以S=2026×506=1025156.方法四改變順序方法歸納可以利用運算律改變運算順序,簡化運算.其中,乘法分配律

可正用、逆用、拆項運用等.8.(2024廣東揭陽榕城期中)計算:-14-

×24+|-4|.解析原式=-1-

+4=-1-(14-20+36)+4=-1-30+4=-27.9.(2024山西大同期中)閱讀下面材料.利用運算律有時能進行簡便計算.例1:98×12=(100-2)×12=1200-24=1176.例2:-16×233+17×233=(-16+17)×233=233.參照上面的例題.利用運算律進行簡便計算:(1)

÷9;(2)

×

+

×

+2

×

.解析

(1)

÷9=

×

=-9×

-

×

=-1-

=-1

.(2)

×

+

×

+2

×

=

×

=

×

=

×1=

.方法五錯位相減方法歸納多個數(shù)求和,且相鄰兩數(shù)比值為定值,例如:1+a+a2+a3+…+an,

其中a≠1.令S=1+a+a2+a3+…+an,其中a≠1,等號左右兩邊同時乘a,得到

aS=a+a2+a3+…+an+an+1,兩個等式錯位相減,得(a-1)S=an+1-1,從

而求得S=

,所以1+a+a2+a3+…+an=

,其中a≠1.10.為了求1+3+32+33+…+3100的值,可令M=1+3+32+33+…+3100,

則3M=3+32+33+…+3101.因此3M-M=3101-1,所以M=

,即1+3+32+33+…+3100=

,仿照以上推理計算:1+5+52+53+…+52026的值.解析設(shè)M=1+5+52+53+…+52026,則5M=5+52+53+…+52027,所以5M-M=52027-1,所以4M=52027-1,所以M=

,即1+5+52+53+…+52026=

.方法六裂項相消方法歸納1.逆用分數(shù)的加減法法則,可得規(guī)律

=

-

(n為正整數(shù)).2.根據(jù)規(guī)律把每一項拆成兩項,再把互為相反數(shù)的項消去.11.計算:(1)

+

+

+

;(2)

+

+

+

+

.解析

(1)

+

+

+

=1-

+

-

+

-

+

-

=1-

=

.(2)

+

+

+