專題09《直線與方程》中的取值范圍與最值問題（1）（滿分120分時間：60分鐘）班級姓名得分一、選擇題：在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點P(cosθ,sinθ)到直線定點A的距離，當(dāng)θ變化時，d的最大值與最小值的差是(

A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】

本題考查點到直線的距離的最大值的求法，考查點到直線的距離公式、三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，

由題意d=|cosθ-msinθ-2|12+m2=|m2+1sin(α-θ)-2|m2+1，當(dāng)sinα-θ=-1時，dmax=1+2m2+1≤3.當(dāng)sinα-θ=1，dmin=-1+2m2+1已知直線l:Ax+By+C-1=0(A>0,B>0)恒過定點(A.14 B.34 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】

本題主要考查了直線方程、點到直線的距離公式、兩點之間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，

【解答】

由題可知2=(m-2)2+22，所以m=2，所以2A+C=1．

12在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD上的動點(不含端點)，過B，E，D1的截面與棱A1B1交于F，若截面BED1A.有最小值2+25 B.有最大值4+22

C.是定值4+22 D.是定值【答案】A【解析】【分析】

本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，以及幾何體中的截面問題，考查學(xué)生的空間想象能力，由題意畫出截面圖，設(shè)DE=t，t∈(0,1)，則可推出則C1+C2=2+2((1-t)2+12+t2+12)，由此可求出C的范圍．

【解答】

解：依題意，設(shè)D1,F,B,E在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1上的正投影點分別為D'，F(xiàn)'，B'，E'，

截面BED1F在上面(平面A1B1C1D1)，左面(已知兩點，若直線與線段AB恒有交點，則k的取值范圍(????)A. B.

C. D.【答案】B【解析】【分析】

本題考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題的關(guān)鍵是正確求解邊界的斜率．

直線y=kx過定點(0,0)，再求它與兩點A1,3,B-3,1，的斜率，即可取得k的取值范圍．

【解答】

解：∵直線y=kx過定點O(0,0)，A1,3,B-3,1，

∴kOA=3,k過點P(-3,0)作直線a+2bx-(a+b)y-3a-4A.[5-5,5+5] B.[5-5,5)

【答案】A【解析】【分析】

本題考查直線恒過定點，以及圓的方程的運用，圓外一點與圓上的點的距離的最值求法，考查運算能力，

化已知直線為a(x-y-3)+b(2x-y-4)=0，即有解：由直線(a+2b)x-(a+b)y-3a-4b=0(a,b不同時為零)

化為a(x-y-3)+b(2x-y-4)=0，

令x-y-3=02x-y-4=0，解得x=1，y=-2，

∴

二、多選題已知兩點M(2,-3)，N(-3,-2)，直線l過點P(1,1)且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍是(????)A.k≤-4 B.k≥34 C.【答案】AB【解析】【分析】本題主要評價了學(xué)生直線斜率公式的掌握程度，以及運用數(shù)形結(jié)合的思想進行運算求解的能力，【解答】解：kPM=-3-12-1=-4，kPN=-2-1-3-1=34，

直線l過點P(1,1)且與線段MN相交，

下列說法錯誤的是A.“a=-1”是“直線與直線互相垂直”的充要條件

B.直線的傾斜角的取值范圍是[0,π4]∪[3π4,π)

C.過，兩點的所有直線的方程為

D.經(jīng)過點且在軸和y軸上截距都相等的直線方程為x【答案】ACD【解析】【分析】

本題主要考查命題的真假判斷，涉及直線方程，直線斜率以及直線垂直的位置關(guān)系的判斷，

對于A，根據(jù)直線垂直的等價條件進行判斷；對于B，根據(jù)直線斜率以及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行判斷；對于C，當(dāng)直線和坐標(biāo)軸平行時，不滿足條件；對于D，利用過原點的直線也滿足條件進行判斷．

【解答】

解：對于A，當(dāng)a=0時，兩直線方程分別為y=1和x=2，此時也滿足直線垂直，故A錯誤；

對于B.直線的斜率k=-sinα，則-1?k?1，即-1≤tanθ≤1，

則θ∈[0,π4]∪[3π4,π)，故B正確；

對于C.當(dāng)x1=已知直線l1:ax-y+1=0，l2:xA.不論a為何值時，l1與l2都互相垂直；

B.當(dāng)a變化時，l1與l2分別經(jīng)過定點A(0,1)和B(-1,0)

C.不論a為何值時，l1與l2都關(guān)于直線x+y=0對稱

D.【答案】ABD【解析】【分析】

本題考查兩條直線的位置關(guān)系

根據(jù)題意，逐項判斷即可．

【解答】

解：因為直線l1:ax-y+1=0,??l2:x+ay+1=0，

所以a·1+-1·a=0，

則不論a為何值時，l1與l2都互相垂直，故A正確；

因為直線l1：ax=y-1，當(dāng)a變化時，直線l1過定點A(0,1)；

直線l2：x+1=-ay，當(dāng)a變化時，直線l2過定點B(-1,0)，故B正確；

在l1上任取點(x,ax+1)，可知：點(x,ax三、單空題已知在矩形ABCD中，A(-4,4)，D(5,7)，其對角線的交點E在第一象限內(nèi)且到y(tǒng)軸的距離為1，動點P(x,y)沿矩形的一邊BC運動，則【答案】(-∞,-1【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式、相互垂直的向量與數(shù)量積的關(guān)系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，【解答】

解：如圖所示，

設(shè)E(1,a)．

∵點E是線段∴1=-4+xc∵AD⊥DC，

∴AD∴C(6,4)．

∵ABCD為矩形，∴AB=DC

即

xB+4,yB-4=6-5,4-7=1,-3

∴

xB=-3yB=1所以B故答案為(-∞,-13

已知a，b，c為某一直角三角形的三邊長，c為斜邊長，若點(m,n)在直線ax+by+2c【答案】4【解析】【分析】

此題考查了點到直線的距離公式，以及勾股定理．

理解當(dāng)點(m,n)為原點到已知直線垂直時的垂足時，所求式子達到最小值是解本題的關(guān)鍵．

【解答】

解：∵m2+n2表示點(m,n)到原點的距離的平方，

且點(m,n)在直線ax+by+2c=0上，

∴m2+n2在梯形ABCD中，已知，

AB=2CD=2，

AD|AD|?AB|AB|=12，動點E和F分布在線段【答案】74【解析】【分析】

本題主要考查平面向量的數(shù)量積和直線的方程，屬于難題．

根據(jù)向量數(shù)量積公式結(jié)合題意可得∠DAB=π3,分析可得當(dāng)E

與D

重合時，BA·BE

有最大值72，，則BH=74,AH=14

，可得DH=34，建立坐標(biāo)系，設(shè)出F點的坐標(biāo)，結(jié)合F點橫坐標(biāo)的取值范圍求解即可．

【解答】

解：由

，

得

，

當(dāng)E

與D

重合時，取得最大值

，

BA·BE

有最大值72

，此時

，

作EH⊥AB

于H

，則BH=74,AH=14

，可得DH=34

，

以A為原點，以AB為四、解答題已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標(biāo)原點重合(如圖所示)。將矩形折疊，使A點落在線段DC上

(1)若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程；

(2)當(dāng)-2+3≤k≤0【答案】解：(1)(1)當(dāng)k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程y=(2)當(dāng)k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G(a,1)(0<a≤2)，

所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有kOG?k=-1，1a·k=-1?a=-k，

故G點坐標(biāo)為G(-k,1)(-2≤k<0)．

從而折痕所在的直線與OG的交點坐標(biāo)(線段OG的中點)為M(-k2,12)，

折痕所在的直線方程y-12則|PQ|則|PQ|≤所以折痕長的最大值為2(6-【解析】本題考查了關(guān)于折疊問題轉(zhuǎn)化為軸對稱問題，考查了直線的方程、中點坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．(1)當(dāng)k=0時，此時A點與D點重合，求出折痕所在的直線方程．當(dāng)k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段DC上的點記為G(a,1)，可知：A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有kOG?k=-1，解得a=-k.(2)當(dāng)k=0時，折痕長為2.當(dāng)-2+3≤k<0時，折痕所在直線交BC于于(2,2

已知直線l：kx-y(1)若直線不經(jīng)過第二象限，求k的取值范圍；(2)若直線l交x軸正半軸于A，交y軸負半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程．【答案】(1)證明：直線l：kx-y-2-k=0(k∈R)化為k(x-1)-y-2=0，

令x-1=0-y-2=0，解得x=1，y=-2，

∴直線l過定點P(1,-2)．

(2)解：由方程可知：k≠0時，直線在x軸與y軸上的截距分別為：2+kk，-2-k．

∵直線不經(jīng)過第二象限，

∴2+kk≥0-2-k≤0，解得k>0.當(dāng)【解析】本題考查了直線系的應(yīng)用、直線交點的性質(zhì)、三角形面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)、直線的截距，考查了推理能力與計算能力，

(1)直線l：kx-y-2-k=0(k∈R)化為k(x-1)-y-2=0，令x-1=0-y-2=0，解得即可得出；

(2)由方程可知：k≠0時，直線在x軸與y軸上的截距分別為：2+kk，定義非零向量OM=(a,b)的“相伴函數(shù)”為f(x)=asinx+bcosx(x∈R)，向量OM=(a,(1)設(shè)h(x)=cos(2)求(1)中函數(shù)h(x)的“相伴向量(3)已知點M(a,b)(b≠0)滿足：(a-3)2+(b-【答案】解：(1)∵h(x)=cos(x+π6)-2cos(x+a)

=(2sina-12)sinx+(32-2cosa)cosx，

∴函數(shù)h(x)的相伴向量OM=(2sina-12,32-2cosa)，

∴h(x)∈S；

(2)∵|OM|=(2sina-12)2+(32-2cosa)2

=5-2sina-23cosa

=5-4sin(a+π3)，

∴|OM|【解析】

本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查二倍角的正切與向量的模，屬于綜合題．

(1)依題意，將h(x)=cos(x+π6)-2cos(x+a)化為h(x)=(2sina-12)sinx+(32-2cosa)過點P2,-1的直線l分別交y=12xx≥0與(1)設(shè)A點的坐標(biāo)為2a,a，用實數(shù)a表示B點的坐標(biāo)，并求實數(shù)(2)當(dāng)PA?PB最大時，求直線l【答案】解：(1)設(shè)Bm,n，由于B在射線y=-2xx≥0上，則n=-2m①.BP=2-m,-1-n,PA=2a-2,a+1，

由于A,