高三（上）第二次質(zhì)量檢測聯(lián)考高三數(shù)學(xué)解析版注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：集合、邏輯用語、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、概率統(tǒng)計、三角函數(shù)、平面向量.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化簡集合A，再結(jié)合韋恩圖求出陰影部分表示的集合.【詳解】依題意，集合或，而，則或，由韋恩圖知，圖中陰影部分表示的集合為.故選：C.2.若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的模（）A. B.1 C. D.5【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式求解即可.【詳解】由，得，所以.故選：B.3.設(shè)等比數(shù)列前n項和為，且，，則的最大值為（）A.32 B.16 C.128 D.64【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式，結(jié)合【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，因為，所以，由，，即，顯然當(dāng)，或時，最大，最大值為，故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是要根據(jù)指數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進行求解.4.已知向量，滿足，，，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量的定義計算即可求得在方向上的投影向量.【詳解】因為，，，，所以，所以在方向上的投影向量為．故選：C.5.柜子里有4雙不同的鞋子，從中隨機地取出2只，下列計算結(jié)果錯誤的是（）A.“取出的鞋不成雙”的概率等于B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C.“取出的鞋都是一只腳的”概率等于D.“取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙”的概率等于【答案】D【解析】【分析】利用古典概型公式可判斷A、B、D選項，根據(jù)B結(jié)論和加法公式可判斷選項C.【詳解】對于A，可以先取兩雙鞋再各分配一只即可得到“取出的鞋不成雙”的可能情況數(shù)，所以“取出的鞋不成雙”的概率為，故A正確，不符合題意；對于B，從4只左鞋里面取兩只即可得到“取出鞋都是左鞋”的可能情況數(shù)，所以“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，故B正確，不符合題意；對于C，由B可知，“取出鞋都是左鞋”的概率等于，同理“取出的鞋都是右鞋”的概率等于，所以“取出的鞋都是一只腳的”概率等于，故C正確，不符合題意；對于D，可以先取兩雙鞋，再分步取鞋使得它們一只是左腳，一只是右腳，所以“取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙”的概率為，故D錯誤，符合題意；故選：D.6.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上存在點，使以點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】兩圓有公共點，則兩圓相交或相切，利用圓心距與半徑的關(guān)系列不等式求實數(shù)的取值范圍.【詳解】解法一：圓的方程化標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓是以為圓心，1為半徑的圓.設(shè)，由以為圓心，1為半徑圓與圓有公共點，得關(guān)于的不等式有解，即有解，所以，解得或.故選：B.解法二：圓的方程化標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓是以為圓心，1為半徑的圓.又直線上存在點，使以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，所以只需圓與直線有公共點即可.由，解得或.故選：B.7.已知，分別為橢圓的左右焦點，過的一條直線與交于A，B兩點，且，，則橢圓長軸長的最小值是（）A.12 B. C.6 D.【答案】D【解析】【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合勾股定理，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】設(shè)，則，，，由，得，則，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．所以橢圓長軸長的最小值是.故選：D8.已知函數(shù)，若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】問題等價于恒成立，不妨令，求出即可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)，恒成立，，即恒成立.不妨令，則設(shè)，有，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，有，所以時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時上式取得等號，由對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，方程顯然有解，所以，得.故選：B.【點睛】方法點睛：問題等價于恒成立，由，利用，得到.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.甲、乙兩個不透明的袋子中分別裝有兩種顏色不同但是大小相同的小球，甲袋中裝有5個紅球和5個綠球；乙袋中裝有4個紅球和6個綠球.先從甲袋中隨機摸出一個小球放入乙袋中，再從乙袋中隨機摸出一個小球，記表示事件“從甲袋摸出的是紅球”，表示事件“從甲袋摸出的是綠球”，記表示事件“從乙袋摸出的是紅球”，表示事件“從乙袋摸出的是綠球”.下列說法正確的是（）A.是互斥事件 B.是獨立事件C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的定義可判斷A；求出是否相等可判斷B；計算出可判斷C；計算出可判斷D.【詳解】對于A，依題意，因為每次只摸出一個球，，所以，是互斥事件，故A正確；對于B，，，則，所以，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：ACD.10.我國在預(yù)測人口變化趨勢上有直接推算法、灰色預(yù)測模型、VAR模型、隊列要素法等多種方法，直接推算法使用的公式是，其中為預(yù)測期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測期內(nèi)人口增長率，為預(yù)測期間隔年數(shù)，則下列說法正確的有（）A.若在某一時期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢B.若在某一時期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢C.若在某一時期內(nèi)，則這期間人口數(shù)擺動變化D.若在某一時期內(nèi)，則這期間人口數(shù)不變【答案】ABD【解析】【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】由，得當(dāng)時，，因為，所以，對任意的，，所以，，則，此時，在某一時期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢，A對；對于B選項，當(dāng)時，，因為，所以，對任意的，，所以，，則，故在某一時期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢，B對；對于C選項，由B選項可知，在某一時期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢，C錯；對于D選項，當(dāng)時，，故在某一時期內(nèi)，則這期間人口數(shù)不變，D對.故選：ABD.11.已知函數(shù)，，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.當(dāng)時，函數(shù)的值域為C.當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D.當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有個零點，則【答案】ABD【解析】【分析】利用余弦型函數(shù)和正弦函數(shù)的周期性可判斷A選項；利用二次函數(shù)的值域可判斷B選項；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項；在時解方程，結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，故函數(shù)的最小正周期為，A對；對于B選項，當(dāng)時，，令，則，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，，所以，當(dāng)時，函數(shù)的值域為，B對；對于C選項，當(dāng)時，，則，令，則，則外層函數(shù)，外層函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時，則內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞增時，則函數(shù)為增函數(shù)，所以，；當(dāng)時，則內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞減時，則函數(shù)為增函數(shù)，所以，.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，C錯；對于D選項，當(dāng)時，，可得或，由于函數(shù)的最小正周期為，且，現(xiàn)在考慮函數(shù)在上的零點個數(shù)，由可得，由可得或，所以，函數(shù)在上的零點個數(shù)為，因為，故，D對.故選：ABD.【點睛】方法點睛：三角函數(shù)最值的不同求法：①利用和的最值直接求；②把形如的三角函數(shù)化為的形式求最值；③利用和的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值；④形如或轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知x，y為正實數(shù)，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】將原式變形為，再結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號.所以的最小值為.故答案為：13.閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為____________.【答案】【解析】【分析】由題意可得平面的法向量，同理可得平面的法向量以及的法向量，進而求得直線的一個方向向量，再利用向量的夾角公式即可得解.【詳解】平面的方程為，可得平面的法向量為，平面的法向量為的法向量為，設(shè)直線的方向向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角，，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：.14.已知正方體中，O為正方形的中心．M為平面上的一個動點，則下列命題正確的_______①若，則M的軌跡是圓；②若M到直線距離相等，則M的軌跡是雙曲線；③若M到直線距離相等，則M的軌跡是拋物線【答案】②③【解析】【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的坐標(biāo)法或直接運用幾何定義法來研究動點軌跡，然后再進行判斷即可.【詳解】對于①，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為，對于A，，，，則，則，即此時僅有，所以的軌跡是一個點，故①錯誤；對于②，過向作垂線，垂足為，過向作垂線，垂足為，過向作垂線，垂足，由于，又因為，，平面，所以平面，又因為平面，所以，若到直線，距離相等，即，因為，所以，則，即，則的軌跡是雙曲線，故②正確，對于③，若到直線，距離相等，面，面，所以，所以到直線的距離為到點的距離，則到直線，點距離相等，由拋物線定義可得，的軌跡是拋物線，故③正確；故答案為：②③.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題重點考查立體幾何中的軌跡問題，關(guān)鍵在于對于對圓錐曲線定義的理解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的角平分線交AB于點D，，且.（1）求；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角可得，再由誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式化簡即可得出答案.（2）令，利用正弦定理求出，再化簡的表達(dá)式，最后再利用對勾函數(shù)單調(diào)性即可得到范圍.【小問1詳解】由正弦定理可得：，因為，所以，即，所以，因為，所以，，即，所以，即.【小問2詳解】銳角中，令，則，則，在中，，，在中，，則，所以令，因為，則，則，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，，則的值域為.即的取值范圍為.16.如圖1，平面圖形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，點是中點，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．（1）當(dāng)二面角為直二面角時，求點到平面的距離；（2）在（1）的條件下，設(shè)點為線段上任意一點（不與，重合），求二面角的余弦值的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點到平面的距離.（2）設(shè)，求得點坐標(biāo)，表示出二面角余弦值，再求其范圍.【小問1詳解】∵，，∴．點是中點，，∴，結(jié)合折疊前后圖形的關(guān)系可知，∵二面角為直二面角，則側(cè)面底面，側(cè)面底面，∴平面，易知，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，則P0,0,1，，，，D0,1,0，∴，，PD=0,1,?1．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，則為平面的一個法向量，則點到平面的距離．【小問2詳解】設(shè)點滿足（）．∵PD=0,1,?1，∴∴，∴．設(shè)平面的法向量為m=x又∵，，∴，取，則，，取為平面的一個法向量．易知平面的一個法向量為，二面角的余弦值為，由，所以，則，所以二面角的余弦值的取值范圍為.17.甲、乙、丙參加某競技比賽，甲輪流與乙和丙共競技場，每場比賽均能分出勝負(fù)，各場比賽互不影響.（1）假設(shè)乙的技術(shù)比丙高，如果甲輪流與乙和丙競技3場，甲只要連勝兩局即可獲勝，甲認(rèn)為：先選擇與實力弱的丙比賽有優(yōu)勢，判斷甲猜測的正確性；（2）假設(shè)乙與丙的技術(shù)相當(dāng)，且甲與乙，甲與丙競技甲獲勝的概率都是，設(shè)為甲未獲得連續(xù)3次勝利的概率.①求，；②證明：.【答案】（1）甲猜測錯誤.（2）①，；②證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，由獨立事件的乘法公式分別求出若甲與丙比賽，則甲獲勝的概率和甲先與乙比賽，則甲獲勝的概率再比較大小即可；（2）①為1減去甲獲得連續(xù)3次勝利的概率，為1減去甲獲得連續(xù)3次和4次勝利的概率；②考察，分為情形一、二、三，結(jié)合獨立事件的乘法公式和全概率公式計算即可；【小問1詳解】設(shè)甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙的技術(shù)比丙高，若甲與丙比賽，則甲獲勝的概率為：若甲先與乙比賽，則甲獲勝的概率為：顯然，故甲應(yīng)先與乙比賽有優(yōu)勢，故甲猜測錯誤.【小問2詳解】①，②考察，分為情形一：第局甲輸；情形二：第局甲贏，局甲輸情形三：第局甲贏，局甲贏，局甲輸由題意分為三種情形，如下：情形一第場輸了，則前場甲未獲得連續(xù)3次勝利，此時概率為.情形二第場贏了，第場輸了，則前場甲未獲得連續(xù)3次勝利，此時概率為.情形三第場贏了，第場贏了，第場輸了，則前場甲未獲得連續(xù)3次勝利，此時概率為.由全概率公式得.①因此.②①②得，又因為，所以當(dāng)，時，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的第二小問關(guān)鍵是考察時能夠把情況分為三種，再結(jié)合全概率計算比較大小.18.在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”．雙曲線的左、右焦點分別為、，其離心率為，且點為雙曲線右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于、兩點，且點在點上方．當(dāng)軸時，直線為的等線．已知雙曲線在其上一點處的切線方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）若是四邊形的等線，求四邊形的面積；（3）已知為坐標(biāo)原點，設(shè)，點的軌跡為曲線，證明：在點處的切線為的等線．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）在雙曲線的方程中，令，結(jié)合已知條件求出點的坐標(biāo)，根據(jù)“等線”的定義可得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，即可得出雙曲線的方程；（2）利用給定定義，求解關(guān)鍵點的坐標(biāo)，最后得到四邊形面積即可.（3）利用給定條件和新定義證明即可.【小問1詳解】解：在雙曲線的方程中，令，解得，因為直線為的等線，顯然點在直線的上方，故有，又F1?c,0、，有，，，解得，，所以的方程為．【小問2詳解】解：設(shè)Px0,y0漸近線方程為，聯(lián)立得，，故，所以是線段的中點，因為、到過原點的直線距離相等，則過原點點的等線必定滿足：、到該等線距離相等，且分居兩側(cè)，所以該等線必過點，即直線的方程為，由，解得，故．所以.所以，所以，所以．【小問3詳解】證明：設(shè)，由，所以，，故曲線的方程為，由①知切線為，也為，即，即．易知與在的右側(cè)，在的左側(cè)，分別記、，到的距離為、、，由（2）知，，所以，由得，因為，所以直線為的等線．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題