高等數(shù)學(xué)（第二版）一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)極限與連續(xù)三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)的連續(xù)性定義1設(shè)變量從它的一個(gè)初值變化到終值，則終值與初值的差就稱為變量的增量，記為，即。增量可以是正的，可以是負(fù)的，也可以是零。當(dāng)

時(shí)，變量從增大到，當(dāng)時(shí)，變量從減小到。對(duì)于函數(shù)，當(dāng)自變量從變化到，即在點(diǎn)取得增量時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地從變化到，取得增量，即。圖(2.11)定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量趨向于零時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的增量也趨向于零，即則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)或稱是的連續(xù)點(diǎn)。例1用定義證明在點(diǎn)處連續(xù)。證：在連續(xù)性定義中，令，即，則當(dāng)

時(shí)，，且，于是可以改寫為即定義3設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。從定義式可知，一個(gè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必需滿足下列三個(gè)條件：（1）在有確定的函數(shù)值（2）極限存在（3）這個(gè)極限值就等于函數(shù)值顯然可知，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是在點(diǎn)處左、右連續(xù)。若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)。若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù)；如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)。如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)連續(xù)，且在處右連續(xù)，在處左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點(diǎn)由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，如果在點(diǎn)處有下列三種情況之一，則是的一個(gè)間斷點(diǎn)。定義4如果函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，則稱點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)。（2）不存在；（3）存在，也有定義，但。（1）在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，而在點(diǎn)沒(méi)有定義；例2函數(shù)在點(diǎn)處無(wú)定義，所以是

的一個(gè)間斷點(diǎn)。又因?yàn)?，所以點(diǎn)稱為的無(wú)窮間斷點(diǎn)。例3函數(shù)在點(diǎn)處有定義，

，但在處，有即在處左、右極限不相等，在處極限不存在。所以是的一個(gè)間斷點(diǎn)。例4函數(shù)在點(diǎn)處有定義，且

但是所以點(diǎn)是的間斷點(diǎn)。例5設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，求值。因?yàn)樵谔庍B續(xù)，則，而所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。解：定理1若函數(shù)與在點(diǎn)處連續(xù)，則這兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商時(shí)在點(diǎn)處仍連續(xù)。三、初等函數(shù)的連續(xù)性定理2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，在點(diǎn)處連續(xù)，且，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且這個(gè)等式成立表明：在函數(shù)連續(xù)的前提下，極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可以互相交換。例6求解：由于在點(diǎn)連續(xù)，所以函數(shù)可以看成由及

復(fù)合而成。有，即證明了?？梢宰C明：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)，一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。所謂定義區(qū)間，就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間。這樣我們求初等函數(shù)在其定義區(qū)間某點(diǎn)的極限，只需求初等函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可。例7求解：由于是初等函數(shù)，是其定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，所以四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理3（最大值與最小值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值與最小值。最值定理給出了函數(shù)存在最大值及最小值的充分條件，定理中的兩個(gè)條件：閉區(qū)間，連續(xù)函數(shù)是缺一不可的。推論（有界性定理）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，在該區(qū)間上必有界，即存在數(shù)，使得這個(gè)定理的幾何意義是：函數(shù)的圖形位于兩條水平直線之間。定理4（介值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，和分別為在上的最小值與最大值，則對(duì)介于和之間的任一實(shí)數(shù)，至少存在一點(diǎn)

，使得。其幾何意義是：連續(xù)曲線與水平直線至少有一個(gè)交點(diǎn).推論（零點(diǎn)定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)，使得。其幾何意義是：如果連續(xù)曲線弧的兩個(gè)端點(diǎn)位于軸的不同側(cè)，那么這段曲線弧與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)。證明：由于初等函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，又所以由零