第15講解三角形(原卷版)學習目標：正弦定理與余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，1：熟練運用邊、角、面積的計算2：熟練運用三角化簡3：熟練運用最值問題教學內(nèi)容1.在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，則AB＝()A.4eq\r(2)B.eq\r(30)C.eq\r(29)D.2eq\r(5)2．在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC邊上的高等于eq\f(1,3)BC，則sinA＝()A.eq\f(3,10)B.eq\f(\r(10),10)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(3\r(10),10)3．已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，＝7，c＝6，則b＝()A．10B．9C．8D．5知識點一：正弦定理、余弦定理的運用知識梳理1.正弦定理在△ABC中，＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)；變形：＝2RsinA，sinA＝eq\f(a,2R)，∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等.2.余弦定理在△ABC中，2＝b2＋c2－2bccosA；變形：b2＋c2－2＝2bccosA，cosA＝.例題精講例1、△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為、b、c．已知，，c=，則()A． B． C． D．例2、的內(nèi)角的對邊分別為．已知，，，則（）A．B．C．D．【解析】選D．由余弦定理得，即，整理得，解得．故選D．例3、在平面四邊形中,求；若，求.鞏固練習1、如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.2、在中，，，，求：角；邊上的高。知識點二：三角形面積公式的運用知識梳理三角形面積公式S△ABC＝eq\f(1,2)bsinC＝eq\f(1,2)bcsinA=eq\f(1,2)csinB=(其中R其外接圓半徑)例題精講例1、已知分別為內(nèi)角的對邊，．（1）若，求；（2）設，且，求的面積．例2、已知三角形中，三個內(nèi)角、、的對應邊分別為、、，且，.（1）若，求；（2）設點是邊的中點，若，求三角形的面積.例3、已知函數(shù)．（1）當?shù)淖钚≌芷跒闀r，求的值；（2）當時，設的內(nèi)角對應的邊分別為，已知，且，求的面積．鞏固練習1、的內(nèi)角的對邊分別為，已知． （Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面積為，求的周長．知識點三：解三角形中的最值例題精講例1、已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，=2，且，則面積的最大值為.例2、在中，邊滿足，，則邊的最小值為___________．例3、在△中，、、分別是角、、的對邊，且.（1）若，求△的面積；（2）若，求的取值范圍.例4、已知等邊的邊長為，點是其外接圓上的一個動點，則的取值范圍是.鞏固練習1、在中，，則的最大值為．2、在△中，，，則△面積的最大值是．3、在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則=____知識點四：應用舉例例題精講例1、如圖所示，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點．從點測得點的仰角，點的仰角以及；從點測得．已知山高，則山高．例2、某人駕駛一艘小游艇位于湖面處，測得岸邊一座電視塔的塔底在北偏東方向，且塔頂?shù)难鼋菫?，此人駕駛游艇向正東方向行駛1000米后到達處，此時測得塔底位于北偏西方向，則該塔的高度約為（）【A】265米【B】279米【C】292米【D】306米例3、某居民小區(qū)為解決業(yè)主停車難的問題，擬對小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地進行改建。如圖所示，平行四邊形區(qū)域為停車場，其余部分建成綠地，點在圍墻弧上，點和點分別在道路與道路上，且米，，設。（1）求停車場面積關于的函數(shù)關系式，并指出的取值范圍；（2）當為何值時，停車場面積最大，并求出最大值（精確到0.1平方米）例4、某地實行垃圾分類后，政府決定為、、三個校區(qū)建造一座垃圾處理站，集中處理三個小區(qū)的濕垃圾，已知在的正西方向，在的北偏東30°方向，在的北偏西20°方向，且在的北偏西45°方向，小區(qū)與相距2，與相距3.（1）求垃圾處理站與小區(qū)之間的距離；（2）假設有大、小兩種運輸車，車在往返各小區(qū)、處理站之間都是直線行駛，一輛大車的行車費用為每公里元，一輛小車的行車費用為每公里元（其中為滿足是199內(nèi)的正整數(shù)），現(xiàn)有兩種運輸濕垃圾的方案：方案1：只用一輛大車運輸，從出發(fā)，依次經(jīng)、、再由返回到；方案2：先用兩輛小車分別從、運送到，然后并各自返回到、，一輛大車從直接到再返回到；試比較哪種方案更合算？請說明理由.（結果精確到小數(shù)點后兩位）例5、如圖，某城市有一矩形街心廣場ABCD，其中百米，百米?，F(xiàn)將挖掘一個三角形水池種植荷花，其中點在邊上，點在邊上，要求.若百米，判斷是否符合要求，并說明理由；設,求的面積關于的表達式，并求出的最小值。鞏固練習1.如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為，，于水面C處測得B點和D點的仰角均為，AC＝0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點距離相等，然后求B，D的距離（計算結果精確到0.01km，1.414，2.449）2、如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路經(jīng)過三個景點、、，景區(qū)管委會又開發(fā)了風景優(yōu)美的景點，經(jīng)測量景點位于景點的北偏東30°方向8處，位于景點的正北方向，還位于景點的北偏西75°方向上，已知.（1）景區(qū)管委會準備由景點向景點修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長；（結果精確到0.1）（2）求景點與景點之間的距離.（結果精確到0.1）3、東西向的鐵路上有兩個道口,鐵路兩側的公路分布如圖，位于的南偏西，且位于的南偏東方向，位于的正北方向，,處有一輛救護車欲通過道口前往處的醫(yī)院送病人，發(fā)現(xiàn)北偏東方向的處（火車頭位置）又一列火車自東向西駛來，若火車通過每個道口都需要1分鐘，救護車與火車的速度均為。（1）判斷救護車通過道口是否會受到火車影響，并說明理由（2）為了盡快將病人送到醫(yī)院，救護車應該選擇中的哪個道口？通過計算說明1.已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，則b＝()．A．10B．9C．8D．52.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，b，c．已知，，則△ABC的面積為．3、在平面四邊形中，，，則的取值范圍是.4、在△中，，則的取值范圍是.5、設的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，，則.6、已知，，分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，．（1）求A；（2）若，△ABC的面積為，求，．7、△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長8、已知，，分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，．（1）求A；（2）若，△ABC的面積為，求，．9、已知函數(shù)（1）求的最大值和最小正周期（2）在中，內(nèi)角所對邊分別為，已知，且，求面積的最大值.10、某開發(fā)商欲將一塊如圖所示的四邊形空地沿著邊界用固定高度的板材圍成一個封閉的施工區(qū)域，經(jīng)測量，邊界與的長都是2千米，，.（1）如果，求的長（結果精確到0.001千米）；（2）圍成該施工區(qū)域至多需要多少千米長度的板材？（不計損耗，結果精確到0.001千米）11、某公園計劃在矩形空地上建造一個扇形花園，如圖1所示，矩形的邊與邊的長分別為48米與40米，扇形的圓心為中點，扇形的圓弧端點、分別在與上，圓弧的中點在上.（1）求扇形花園的面積（精確到1平方米）；（2）若在扇形花園內(nèi)開辟出一個矩形區(qū)域為花卉展覽區(qū)，如圖2所示，矩形的四條邊與矩形的對應邊平行，點、分別在、上，點、在扇形的弧上，某同學猜想：當矩形面積最大時，兩矩形與的形狀恰好相同（