第九章 總體比率的推斷比率的抽樣分布總體比率的區(qū)間估計總體比率的假設(shè)檢驗總體比率差異的顯著性檢驗一比率的抽樣分布1

數(shù)據(jù)的特點比率屬于點計數(shù)據(jù)，這類數(shù)據(jù)的分布是非正態(tài)的。對這類數(shù)據(jù)的統(tǒng)計推斷有兩種方法，一般來說，當事物按性質(zhì)不同被劃分成兩類時，要用總體比率的推斷方法進行統(tǒng)計推斷；當事物被劃分為成兩類以上時，則用卡方檢驗法。2比率的抽樣分布由于這里假設(shè)事物按性質(zhì)不同分成兩類，所以其中的一類事物發(fā)生比率的抽樣分布屬于二項分布。假設(shè)有一個總體，這個總體中所包含的事件要么具有某種屬性，要么不具有某種屬性，其中具有某種屬性的事件出現(xiàn)的概率為р′，不具有某種屬性的事件出現(xiàn)的概率為q′=1-р′。2比率的抽樣分布現(xiàn)在從中隨機抽取一個容量為n（n次重復試驗）的樣本，算得成功事件出現(xiàn)的比率：p1=X1/n（X表示成功事件出現(xiàn)的次數(shù)）將樣本還回總體中，再從中隨機抽取一個容量為n的樣本，又可以算得一個成功事件出現(xiàn)的比率：p2=X2/n2比率的抽樣分布經(jīng)過反復抽樣，就可以計算出許多樣本的p值，這些p值就形成了一個實驗性的比率的抽樣分布。這個分布的形態(tài)是二項分布。二項概率分布是進行總體比率統(tǒng)計推斷的理論依據(jù)。3比率的標準誤比率抽樣分布的標準差，就是比率的標準誤。當總體比率已知時：σp表示比率的標準誤p′表示總體比率q′=1-p′n表示樣本容量（試驗重復次數(shù)）3比率的標準誤當總體比率未知時，需要用樣本比率p=X/n作為總體比率p′的點估計。所以總體比率標準誤的估計量為：Sp表示比率標準誤的估計量p表示樣本的比率q=1-pn表示樣本容量（試驗重復次數(shù)）二總體比率的區(qū)間估計以比率的抽樣分布為理論依據(jù)，按一定的概率要求估計總體比率的所在范圍就叫做總體比率的區(qū)間估計。1正態(tài)近似法當樣本容量n比較大，np和nq中較小的那個數(shù)等于或大于5時，二項分布已經(jīng)接近于正態(tài)分布，此時可以按照正態(tài)分布來估計總體比率0.95和0.99的置信區(qū)間（因為這種方法比較簡便），這種方法叫做正態(tài)近似法。1正態(tài)近似法根據(jù)標準正態(tài)分布的規(guī)律，得知p（-1.96<Z<1.96）=0.95p（-2.58<Z<2.58）=0.99將帶入上式P（-1.96<<1.96）=0.95P（p-1.96<p′<p+1.96）=0.95例1：從北京市去年的理科考生中隨機抽取200名考生作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計，該樣本高考英語的及格率為0.67，試估計去年高考北京理科生英語及格率0.95和0.99的置信區(qū)間。解：因為n=200，nq=200×0.33=66>5因此，總體比率0.95的置信區(qū)間為：P（0.67-1.96×0.0332<p′<0.67+1.96×0.0332）=0.95P（0.605<p′<0.735）=0.95

即在去年的高考中，北京理科生英語及格率有95%的可能在0.605至0.735之間，總體比率超出這個范圍的可能性只有5%。同理，總體比率0.99的置信區(qū)間為：P（0.67-2.58×0.0332<p′<0.67+2.58×0.0332）=0.99P（0.584<p′<0.756）=0.99即在去年的高考中，北京理科生英語及格率有99%的可能在0.584至0.756之間，總體比率超出這個范圍的可能性只有1%。例2：從某區(qū)隨機抽取100個中學生，查得正常視力有65人，若用樣本比率p=0.65來估計全區(qū)中學生正常視力的比率，那么全區(qū)中學生正常視力的比率0.95和0.99的置信區(qū)間各是什么？（教科書第214、215、216頁）2查表法例1：有研究者從7歲兒童中隨機抽取了100名被試進行了一項智力測查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，IQ在70分以下的（弱智）有2人，試估計7歲兒童從總體上看弱智的發(fā)生率是多少？解：因為n=100，X=2，查附表6.2，得總體比率0.95的置信區(qū)間為0~7%，0.99的置信區(qū)間為0~9%。因此，可以說，7歲兒童中弱智比率有95%的可能在0~7%之間，有99%的可能在0~9%之間。例2：有研究者向某中學65名教職員工調(diào)查關(guān)于采取聘任制的意見，其中有28人表示贊同，試估計中學教職員工贊成聘任制的比率。解：先根據(jù)n=60，X=28查表，得0.95的置信下限和置信上限分別為34和60。然后根據(jù)n=70，X=28查表，得0.95的置信下限和置信上限分別為29和52。因此，當n=65，X=28時，其0.95的置信下限為：（60—70）：（34—29）=（60—65）：（34—p1）解：0.95的置信下限:（60—70）：（34—29）=（60—65）：（34—p1）

10（34—p1）=5×5

p1=31.5

其0.95的置信上限為：（60—70）：（60—52）=（60—65）：（60—p2）

10（60—p2）=5×8

p2=56以同樣的方法可以計算出0.99的置信下限和置信上限為27.5和60。即中學的教職員工贊同聘任制的比率有95%的可能在31.5%~56%之間，有99%的可能在27.5%~60%之間。三 總體比率的假設(shè)檢驗總體比率的假設(shè)檢驗是檢驗樣本比率與某個總體的比率之間差異是否顯著?？傮w比率的假設(shè)檢驗同樣也有正態(tài)近似法和查表法兩種。1正態(tài)近似法當p=q，無論n的大??；或者雖然p≠q，但np和nq都≥5，這時二項分布（p-p′的抽樣分布）接近正態(tài)分布，因此，可以對樣本比率與總體比率的差異進行Z檢驗。1正態(tài)近似法例如，已知某年某區(qū)高考升學率為75%，某校在這一年有300名學生參加了高考，最后有210人被高校錄取，問該校的升學率與全區(qū)的升學率是否相同？

第一步：提出假設(shè)第二步：計算p與pˊ的差（即p―pˊ）與抽樣分布的平均數(shù)（即0）的距離有多遠（這個差距除以標準誤，就變成了用Z表示）。第三步：統(tǒng)計決斷因為Z=2.00*>1.96=Z0.05/2，p<0.05，所以拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即該校這一年高考的升學率與全區(qū)的升學率有顯著的差異。由實際的數(shù)據(jù)來看，該校這一年高考的升學率低于全區(qū)。2查表法當p≠q，np<5，這時p-―pˊ的抽樣分布不接近于正態(tài)分布，因此，不能對樣本比率與總體比率的差異進行Z檢驗，而應該用查表法進行顯著性檢驗。例如，已知某區(qū)學習障礙兒童的比率為8%，通過調(diào)查得知某班45名學生中有學習障礙的學生共3人，問該班學習障礙學生的比率與全區(qū)是否有差異？2查表法例如，已知某區(qū)學習障礙兒童的比率為8%，通過調(diào)查得知某班45名學生中有學習障礙的學生共3人，問該班學習障礙學生的比率與全區(qū)是否有差異？解：通過查表得知該班學習障礙學生的比率所屬總體比率0.95的置信區(qū)間為2%~18%。將實際的總體比率與查表等到的置信區(qū)間進行比較，實際的總體比率在置信區(qū)間內(nèi)，所以要保留零假設(shè)，拒絕備擇假設(shè)，也就是說，該班學習障礙學生的比率與全區(qū)沒有顯著性差異。四 總體比率差異的顯著性檢驗總體比率差異的顯著性檢驗是根據(jù)兩個樣本的比率來檢驗兩個相應總體的比率是否存在顯著性差異。由于樣本性質(zhì)不同，其檢驗方法也不同。1

兩個獨立樣本比率差異的顯著性檢驗數(shù)理統(tǒng)計已經(jīng)表明，當兩個樣本異的容量都比較大，兩個樣本的最小頻數(shù)都等于或大于5時，兩個樣本比率之差的抽樣分布接近于正態(tài)分布，并且標準誤可以用下面的公式計算：

如果總體比率未知，又假設(shè)這兩個樣本來自同一個總體（即p1ˊ=p2ˊ=pˊ），那么總體比率可以用兩個樣本比率的加權(quán)平均數(shù)作為估計量，即則得比率差的標準誤的估計量為：當兩個樣本的容量相等時，上式可以化簡為：因此，總體比率差異的檢驗統(tǒng)計量為：例1研究者在兩所學校隨機各抽取一個班學生進行了一項視力檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)甲校46名學生中患近視的有20人；乙校48名學生中患近視的有33人，問兩所學校學生患近視的比率是否有顯著性差異：

第一步：提出假設(shè)H0：p1′=p2′H1:p1′≠p2′第二步：計算檢驗統(tǒng)計量的值因為p1=20/46=0.4348q1=1-0.4348=0.5652p2=33/48=0.6875q2=1-0.6875=0.3125n1=46n2=48

所以