二元一次方程組應(yīng)用題【例題選講】例1：（利息問題）李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅后可得利息43.92元。已知這兩種儲(chǔ)蓄的年利率的和為3.24％，問這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是多少？（注：公民應(yīng)交利息所得稅＝利息金額20％）分析：利息問題是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，一定要結(jié)合實(shí)際來理解掌握，如：一般說來，利息要交20%的利息稅，但是教育儲(chǔ)蓄和國(guó)庫(kù)券等一些特殊形式的儲(chǔ)蓄是無(wú)須交利息稅的。本題中需要求的是兩個(gè)量，因此直接設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，從而列出方程組來解決。相等關(guān)系是：①兩種儲(chǔ)蓄的年利率的和=3.24%，②兩種儲(chǔ)蓄的利息和=43.92元。解：設(shè)存2000元的這種儲(chǔ)蓄的年利率是，存1000元的這種儲(chǔ)蓄的年利率是，根據(jù)題意得：解這個(gè)方程組得：答：存2000元的這種儲(chǔ)蓄的年利率是2.25%，存1000元的這種儲(chǔ)蓄的年利率是0.99%。注意：本題也可以列一元一次方程來解決：解法2：設(shè)存2000元的這種儲(chǔ)蓄的年利率是，則存1000元的這種儲(chǔ)蓄的年利率是，根據(jù)題意得：解這個(gè)方程組得：則答：存2000元的這種儲(chǔ)蓄的年利率是2.25%，存1000元的這種儲(chǔ)蓄的年利率是0.99%。例2：（人員調(diào)配問題）某班學(xué)生參加義務(wù)勞動(dòng)，男生全部挑土，女生全部抬土，這樣安排恰需筐68個(gè)，扁擔(dān)40根，問這個(gè)班男生、女生各有多少人？分析：本題看似條件很少，實(shí)際上里面還有隱含條件，那就是：挑土需要一個(gè)人、一根扁擔(dān)和兩個(gè)筐，抬土需要兩個(gè)人、一根扁擔(dān)和一個(gè)筐，因此，本題就有充足的條件來解決了。這里可以直接設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，列出方程組。本題的相等關(guān)系是：①男生需要筐的數(shù)量+女生需要筐的數(shù)量=68個(gè)，②男生需要扁擔(dān)的數(shù)量+女生需要扁擔(dān)的數(shù)量=40根。解：設(shè)這個(gè)班有男生人，女生人，根據(jù)題意得：解這個(gè)方程組得：答：這個(gè)班有男生28人，女生24人注意：本題也可以列一元一次方程來解決，同學(xué)們?nèi)绻信d趣不妨一試。其實(shí)，列二元一次方程組來解決的問題大部分可以列一元一次方程來解決，只是有時(shí)候比較困難或是煩瑣。例3：（數(shù)字問題）甲、乙兩人做加法，甲將其中一個(gè)加數(shù)后面多寫了一個(gè)0，所以得和是2342，乙將同一個(gè)加數(shù)后面少寫了一個(gè)0，所得和是65，求原來的兩個(gè)加數(shù)。分析：這個(gè)數(shù)字問題中需要弄清的是，一個(gè)加數(shù)（如）后面多寫一個(gè)0可以表示為,少寫一個(gè)0可以表示為，本題的兩個(gè)相等關(guān)系是①一個(gè)加數(shù)+另一個(gè)加數(shù)的10倍=2342，②一個(gè)加數(shù)+另一個(gè)加數(shù)的eq\f(1,10)=65。解：設(shè)兩個(gè)加數(shù)分別為和，其中兩人都看錯(cuò)的加數(shù)為，根據(jù)題意得：解這個(gè)方程組得：答：原來兩個(gè)加數(shù)分別為42和230。例4：（工程問題）甲、乙2個(gè)工人同時(shí)接受一批任務(wù)，上午工作的4小時(shí)中，甲用了2.5小時(shí)改裝機(jī)器以提高工效，因此，上午工作結(jié)束時(shí)，甲比乙少做40個(gè)零件；下午2人繼續(xù)工作4小時(shí)后，全天總計(jì)甲反而比乙多做420個(gè)零件，問這一天甲、乙各做多少個(gè)零件？分析：這是個(gè)工程問題，一定要抓住工作總量=工作效率工作時(shí)間這個(gè)相等關(guān)系，這里有兩個(gè)條件，也就是本題的兩個(gè)相等關(guān)系，①甲上午（4-2.5）小時(shí)完成的零件數(shù)+40個(gè)=乙上午4小時(shí)完成的零件數(shù)，②甲一天（8-2.5）小時(shí)完成的零件數(shù)=乙一天8小時(shí)完成的零件數(shù)+420個(gè)。這里的相等關(guān)系用的是工作量相等，因此只要知道工作時(shí)間和工作效率，工作時(shí)間已知，故本題間接設(shè)兩人的工作效率為未知數(shù)。解：設(shè)甲每小時(shí)加工個(gè)零件，乙每小時(shí)加工個(gè)零件，則甲一天做個(gè)零件，乙一天做個(gè)零件。根據(jù)題意得：解這個(gè)方程組得：則，答：這一天甲做了11000個(gè)零件，乙做了680個(gè)零件。例5：（稅利問題）去年甲、乙兩車間計(jì)劃共完成稅利150萬(wàn)元，由于技術(shù)革新，生產(chǎn)效率大幅度提高，結(jié)果甲車間超額完成稅利110％，乙車間超額完成稅利120％，兩車間一共上繳稅利323萬(wàn)元，問甲、乙車間實(shí)際上繳稅利多少萬(wàn)元？分析：這里只要注意甲車間超額完成稅利110%，實(shí)際上甲車間完成的稅利是原來的（1+110%），同樣，乙車間完成的稅利是原來的（1+120%）。兩個(gè)相等關(guān)系是，①甲車間計(jì)劃完成的稅利+乙車間計(jì)劃完成的稅利=150萬(wàn)元，②甲車間實(shí)際完成的稅利+乙車間實(shí)際完成的稅利=323萬(wàn)元。解：設(shè)去年甲車間計(jì)劃完成稅利萬(wàn)元，乙車間計(jì)劃完成稅利萬(wàn)元，則實(shí)際甲車間完成稅利萬(wàn)元，乙車間完成稅利萬(wàn)元。根據(jù)題意得：解這個(gè)方程組得：則，答：甲車間實(shí)際上繳稅利147萬(wàn)元，乙車間實(shí)際上繳稅利176萬(wàn)元。例6：（行程問題）一列快車長(zhǎng)168米，一列慢車長(zhǎng)184米，如果兩車相向而行，那么兩車錯(cuò)車需4秒，如果同向而行，兩車錯(cuò)車需16秒鐘，求兩車的速度。分析：行程問題是用方程或方程組解決問題的常見類型，主要要抓住路程=速度時(shí)間這個(gè)相等關(guān)系，本題的錯(cuò)車問題，實(shí)際上是兩種情況：①相向而行，錯(cuò)車實(shí)際上是兩車合走的路程是兩車長(zhǎng)之和，②同向而行，錯(cuò)車實(shí)際上是快車比慢車多走的路程是兩車長(zhǎng)之和。這就是本題的兩個(gè)相等關(guān)系。解：設(shè)快車的速度是米/秒，慢車的速度為米/秒，根據(jù)題意得：解這個(gè)方程組得：答：快車的速度是55米/秒，慢車的速度為33米/秒。例7：（環(huán)行跑道問題）甲、乙兩人分別以均勻的速度在周長(zhǎng)為600米的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，甲的速度較快，當(dāng)兩人反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每15秒鐘相遇一次；當(dāng)兩人同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每1分鐘相遇一次，求各人的速度。分析：環(huán)行跑道的問題主要抓住相向而行，每一次相遇兩人合走了一圈，同向而行，每一次遇到，快的人比慢的人多走了一圈。同樣，這道題中的兩個(gè)相等關(guān)系是：①反向運(yùn)動(dòng)：甲15秒所走的路程+乙15秒所走的路程=600米，②同向運(yùn)動(dòng)：甲1分鐘所走的路程-乙1分鐘所走的路程=600米。這里注意時(shí)間的單位名稱。解：設(shè)甲的速度是米/秒，乙的速度是米/秒，根據(jù)題意得：解這個(gè)方程組得：答：甲的速度是25米/秒，乙的速度是15米/秒。例8：（利潤(rùn)問題）某牛奶加工廠現(xiàn)有鮮奶9噸，若在市場(chǎng)上直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤(rùn)500元；制成酸奶銷售，每噸可獲取利潤(rùn)1200元；制成奶片銷售，每噸可獲取利潤(rùn)2000元。該工廠的生產(chǎn)能力是：如制成酸奶，每天可加工3噸；制成奶片，每天可加工1噸，受人員限制，兩種加工方式不可同時(shí)進(jìn)行。受氣溫條件限制，這批牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完畢。為此，該廠設(shè)計(jì)了兩種方案：方案一：盡可能多的制成奶片，其余直接銷售鮮奶；方案二：將一部分制成奶片，其余制成酸奶銷售，并恰好4天完成。你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多，為什么？分析：要比較那種方案的獲利最多，當(dāng)然要將兩種方案的獲利情況算出來，方案一直接就可以計(jì)算，而方案二需要先求出制成奶片和酸奶各是多少，才能計(jì)算出利潤(rùn)來，因此這里需要先列方程組來解題。兩個(gè)相等關(guān)系是：①加工酸奶的數(shù)量+加工奶片的數(shù)量=9噸，②加工酸奶的天數(shù)+加工奶片的天數(shù)=4天。解：方案一：總利潤(rùn)=元。方案二：設(shè)4天內(nèi)加工酸奶噸，加工奶片噸，則總利潤(rùn)為元，根據(jù)題意得：解這個(gè)方程組得：則因?yàn)榉桨敢坏目偫麧?rùn)<方案二的總利潤(rùn)所以選擇方案二獲利更多。答：選擇方案二獲利更多。例9：（年齡問題）甲、乙兩人不知其年齡，只知道甲像乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙只有2歲，又知等乙長(zhǎng)到甲現(xiàn)在這么大時(shí)，甲已經(jīng)是38歲了，問甲、乙現(xiàn)在的年齡各是多少？分析：解年齡問題只要抓住年齡差不變即可，也就是說，兩人現(xiàn)在的年齡的差等于兩人若干年前的年齡的差，也等于兩人若干年后的年齡的差。這題的兩個(gè)相等關(guān)系是：①甲現(xiàn)在的年齡-乙現(xiàn)在的年齡=甲是乙現(xiàn)在的年齡-乙當(dāng)時(shí)的年齡2歲，②甲現(xiàn)在的年齡-乙現(xiàn)在的年齡=甲38歲-乙在甲38歲時(shí)的年齡。解：設(shè)甲現(xiàn)在的年齡是歲，乙現(xiàn)在的年齡是歲，根據(jù)題意得：解這個(gè)方程組得：答：甲現(xiàn)在的年齡是26歲，乙現(xiàn)在的年齡是14歲。例10：（不足和有余問題）某校為初一年級(jí)學(xué)生安排宿舍，若每間宿舍住5人，則有4人住不下；若每間住6人，則有一間只住了4人，且空兩間宿舍，求該年級(jí)寄宿生人數(shù)及宿舍間數(shù)。分析：抓住兩個(gè)條件給出的兩個(gè)相等關(guān)系：①每間宿舍5人可以住下的學(xué)生數(shù)+住不下的4人=學(xué)生總數(shù)，②每間宿舍住滿6人的學(xué)生數(shù)+一間宿舍只有的4人=學(xué)生總數(shù)。這里特別注意，題目中并沒有具體給出“多”、“少”的關(guān)系，要自己將住不下理解成“多”，將空兩間宿舍和有一間只住了4人理解為“少”。解：設(shè)該年級(jí)寄宿生人，宿舍間，根據(jù)題意得：解這個(gè)方程組得：答：該年級(jí)寄宿生94人，宿舍18間【同步練習(xí)】一、填空題：1、甲、乙兩商店共有練習(xí)本400本，某日甲店售出38本，乙店售出60本，甲、乙兩店所剩的練習(xí)本數(shù)相等，則甲店原有練習(xí)本本，乙店原有練習(xí)本本。2、一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是96cm，長(zhǎng)比寬的2倍多6cm，則長(zhǎng)為cm，寬為cm。3、兩數(shù)之差為1，兩數(shù)之和比其中較大數(shù)的eq\f(1,3)\1/31/31/3多4，則這兩個(gè)數(shù)分別為、。4、商店運(yùn)來120臺(tái)洗衣機(jī)，每臺(tái)售價(jià)是440元，每售出一臺(tái)可以得到售價(jià)15％的利潤(rùn)，其中二臺(tái)有些破損，按原售價(jià)打八折出售，這批洗衣機(jī)售完后實(shí)得利潤(rùn)為元。5、小明、小軍兩人賽跑，若小明讓小軍先跑12米，則小明6秒鐘即可追上小軍；若小軍比小明先跑2.5秒，則小明跑5秒就可追上小軍。設(shè)小明每秒跑米，小軍每秒跑米，可列出方程組為。6、某城市現(xiàn)有42萬(wàn)人口，預(yù)計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口將增加0．8％，農(nóng)村人口增加1．1％，這樣全市人口將增加1％，求這個(gè)城市現(xiàn)有城市人口與農(nóng)村人口。設(shè)該城市現(xiàn)有城鎮(zhèn)人口萬(wàn)人，農(nóng)村人口萬(wàn)人，則所列方程組為。7、某校初一年級(jí)（1）、（2）兩班共有96人，在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，總及格率為81.25％，其中（1）班的及格率為75％，（2）班的及格率為87.5％，則（1）班有人，（2）班有人。8、一份試共有20道選擇題，總分為100分，每道題選對(duì)得5分，選錯(cuò)或不選扣1分。如果一個(gè)學(xué)生得88分，那么他選對(duì)道題。9、甲種糖果的單價(jià)是每千克20元，乙種糖果的單價(jià)是每千克15元，若要配制200千克單價(jià)為每千克18元的混合糖，則需甲種糖果千克，乙種糖果千克。10、母親26歲結(jié)婚，第二年生了兒子，若干年后，母親的年齡是兒子的3倍，此時(shí)母親的年齡是歲，兒子的年齡是歲。二、解答題：1、4輛小車和7輛大車一次運(yùn)貨38噸，5輛小車和6輛大車一次運(yùn)貨36.5噸，問一輛小車和一輛大車一次各運(yùn)貨多少噸？2、兩地相距280千米，一艘輪船在其間航行，順流用14小時(shí)，逆流用20小時(shí)，求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度。3、某無(wú)線電廠原計(jì)劃上月生產(chǎn)A型電視機(jī)和B型電視機(jī)共3600臺(tái)，由于訂貨量增加，該廠挖掘生產(chǎn)潛力，上月A、B兩種型號(hào)的電視機(jī)共生產(chǎn)4240臺(tái)，其中A型電視機(jī)完成了原計(jì)劃的116％，B型電視機(jī)完成了原計(jì)劃的120％，問上月兩種電視機(jī)各比原計(jì)劃超額了多少臺(tái)？4、有一只駁船，載重500噸，容積705立方米，現(xiàn)在要運(yùn)生鐵和棉花兩種貨物，生鐵每噸體積0.3立方米，棉花每噸體積4立方米。生鐵和棉花各裝多少噸才能充分利用船的載重量與容積？5、永盛電子有限公司向工商銀行申請(qǐng)了甲乙兩種貸款，共計(jì)68萬(wàn)元，每年需付出利息8.42萬(wàn)元。甲種貸款每年的利息是12%，乙種貸款每年的利率是13%，求這兩種貸款的數(shù)額各是多少？6、甲、乙兩種商品，如果購(gòu)買甲3件、乙7件共需27元，如果購(gòu)買甲商品40件、乙商品50件，則可以按批發(fā)價(jià)計(jì)算，共需付189元，已知甲商品每件批發(fā)價(jià)比零售價(jià)低0.4元，乙商品每件批發(fā)價(jià)比零售價(jià)低0.5元。問甲、乙兩種商品的批發(fā)價(jià)各是多少元？7、兩個(gè)商店以100元的相同價(jià)格進(jìn)同一種商品。甲店以30%的利潤(rùn)加價(jià)出售，乙店以20%的利潤(rùn)加價(jià)出售，結(jié)果乙店銷售的件數(shù)是甲店的2倍，且總利潤(rùn)比甲店多4000元。問甲、乙兩店各售出多少件商品？8、一個(gè)三位數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)的3倍，把三位數(shù)放在兩位數(shù)的左邊得到一個(gè)五位數(shù)；再把三位數(shù)放在兩位數(shù)的右邊又得到一個(gè)