PAGE11.3.3平面與平面平行1.平面與平面的位置關系2.平面與平面平行的判定定理3.平面與平面平行的性質定理1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)兩個平面α∥β,一條直線a平行于平面α,則a肯定平行于平面β.()(2)三角板的兩條邊所在直線分別與平面α平行,這個三角板所在平面與平面α平行.()(3)平面α內的一個平行四邊形的兩邊與平面β內的一個平行四邊形的兩邊對應平行,則α∥β.()(4)若平面α∥β,點P∈α,a∥β且P∈a,那么a?α.()提示:(1)×.直線a可能與β平行,也可能在β內.(2)√.三角板的兩條邊所在直線是相交的,依據平面與平面平行的判定定理可知此說法正確.(3)×.若平行四邊形的兩邊是對邊,則相互平行不相交,無法推出α∥β.(4)√.因為平面α∥β,a∥β,所以a∥α或a?α,又因為點P∈α,P∈a,所以a?α.2.已知平面α∥平面β,過平面α內的一條直線a的平面γ與平面β相交,交線為直線b,則a,b的位置關系是()A.平行B.相交C.異面D.不確定【解析】選A.由面面平行的性質定理可知選項A正確.3.(教材二次開發(fā):例題改編)底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,與平面BB1A.平面AA1D1DB.平面AA1B1BC.平面DD1D.平面ABCD【解析】選A.依據圖形及平面平行的判定定理知,平面BB1C1C∥平面AA14.下列命題:①兩個平面有多數個公共點,則這兩個平面重合;②若l,m是異面直線,l∥α,m∥β,則α∥β.其中錯誤命題的序號為_______.

【解析】對于①,兩個平面相交,則有一條交線,也有多數多個公共點,故①錯誤;對于②,借助于正方體ABCD-A1B1C1D1,AB∥平面DCC1D1,B1C1∥平面AA1D1D,又AB與B1C1異面,而平面DCC1D1與平面AA1答案:①②關鍵實力·合作學習類型一平面與平面平行的判定(邏輯推理、直觀想象)【典例】已知正方形ABCD與菱形ABEF所在平面相交,求證:平面BCE∥平面ADF.【思路導引】由四邊形ABCD是正方形,證得BC∥平面ADF,由四邊形ABEF為菱形,證得BE∥平面ADF,即可利用面面平行的判定定理,證得平面BCE∥平面ADF.【解析】因為四邊形ABCD是正方形,所以BC∥AD.因為BC?平面ADF,AD?平面ADF,所以BC∥平面ADF.因為四邊形ABEF是菱形,所以BE∥AF.因為BE?平面ADF,AF?平面ADF,所以BE∥平面ADF.因為BC∥平面ADF,BE∥平面ADF,BC∩BE=B,BC,BE?平面BCE,所以平面BCE∥平面ADF.常見面面平行的判定方法(1)定義法:兩個平面沒有公共點.(2)判定定理法:轉化為線面平行.(3)平行平面的傳遞性:兩個平面都和第三個平面平行,則這兩個平面平行.(4)利用平面與平面平行的判定定理的推論:若一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線,則這兩個平面平行.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形.點M,N,Q分別在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求證:平面MNQ∥平面PBC.【證明】因為PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,所以MQ∥AD,NQ∥BP.又因為BP?平面PBC,NQ?平面PBC,所以NQ∥平面PBC.因為四邊形ABCD為平行四邊形.所以BC∥AD,所以MQ∥BC.又因為BC?平面PBC,MQ?平面PBC,所以MQ∥平面PBC.又因為MQ∩NQ=Q,MQ,NQ?平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PBC.類型二面面平行性質定理的應用(邏輯推理、直觀想象)角度1與性質有關的證明問題

【典例】如圖,在四面體ABCD中,點E,F分別為棱AB,AC上的點,點G為棱AD的中點,且平面EFG∥平面BCD.求證:BC=2EF.【思路導引】由平面EFG∥平面BCD,可得出線線平行,再利用點G為棱AD的中點,即可得出結論.【證明】因為平面EFG∥平面BCD,平面ABD∩平面EFG=EG,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EG∥BD,又G為AD的中點,故E為AB的中點,同理可得,F為AC的中點,所以BC=2EF.角度2與性質有關的計算問題

【典例】如圖,已知平面α∥平面β,P?α,且P?β,過點P的直線m與α,β分別交于A,C,過點P的直線n與α,β分別交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,則BD=_______.

【思路導引】面面平行?線線平行?分線段比例相等.【解析】因為AC∩BD=P,所以經過直線AC與BD可確定平面PCD,因為α∥β,α∩平面PCD=AB,β∩平面PCD=CD,所以AB∥CD.所以QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE.所以BD=QUOTE.答案:QUOTE應用平面與平面平行性質定理的基本步驟提示:面面平行性質定理的實質:面面平行?線線平行,體現了轉化思想.與判定定理交替運用,可實現線面、線線、面面平行間的相互轉化.【拓展延長】1.常用的面面平行的其他幾特性質(1)兩個平面平行,其中一個平面內的隨意一條直線平行于另一個平面.(2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.(3)經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4)兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應線段成比例.(5)假如兩個平面分別平行于第三個平面,那么這兩個平面相互平行.2.證明線與線、線與面的平行關系的一般規(guī)律是:“見了已知想性質,見了求證想判定”,也就是說“發(fā)覺已知,轉化結論,溝通已知與未知的關系”.這是分析和解決問題的一般思維方法,而作協(xié)助線和協(xié)助面往往是溝通已知和未知的有效手段.【拓展訓練】已知平面α∥平面β,點A,C∈α,點B,D∈β,直線AB,CD交于點S,且SA=8,SB=9,CD=34.(1)若點S在平面α,β之間,則SC=_______.

(2)若點S不在平面α,β之間,則SC=_______.

【解析】(1)如圖①所示,因為AB∩CD=S,所以AB,CD確定一個平面,設為γ,則α∩γ=AC,β∩γ=BD.因為α∥β,所以AC∥BD.于是QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE.所以SC=QUOTE=QUOTE=16.(2)如圖②所示,同理知AC∥BD,則QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得SC=272.答案:(1)16(2)272【變式訓練】將本題中的條件“SA=8,SB=9,CD=34.”改為“SA=18,SB=9,CD=34”,求SC.【解析】如圖(1),由α∥β可知BD∥AC,所以QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以SC=68.如圖(2),由α∥β知AC∥BD,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE.所以SC=QUOTE.綜上,SC的大小為68或QUOTE.1.平面α與圓臺的上、下底面分別相交于直線m,n,則m,n的位置關系是()A.平行 B.相交C.異面 D.平行或異面【解析】選A.因為圓臺的上、下底面相互平行,所以由平面與平面平行的性質定理可知m∥n.2.已知平面α∥平面β,直線a?α,則直線a與平面β的位置關系為_______.

【解析】因為α∥β,所以α與β無公共點,因為a?α,所以a與β無公共點,所以a∥β.答案:a∥β3.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1(1)求證:AC1∥平面BDE.(2)推斷并證明,點F在棱DD1上什么位置時,平面AC1F【解析】(1)設AC∩BD=O,連接OE.因為O,E分別為AC,CC1的中點,所以OE∥AC1,又AC1?平面BDE,OE?平面BDE,所以AC1∥平面BDE.(2)F為棱DD1的中點時,平面AC1F∥證明如下:因為點F為DD1的中點,E為CC1的中點,所以DFC1E,四邊形DFC1E為平行四邊形,所以FC1∥DE,FC1?平面BDE,DE?平面BDE,所以FC1∥平面BDE.又AC1∥平面BDE,且FC1∩AC1=C1.所以平面AC1F∥類型三平行關系的綜合應用(邏輯推理、直觀想象)【典例】已知底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD,點E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?若存在,證明你的結論,并說出點F的位置.若不存在,請說明理由.【思路導引】解答本題應抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC,再確定F的位置.【解析】存在點F,當F為PC中點時,BF∥平面AEC,證明如下:如圖,連接BD交AC于O點,連接OE,過B點作OE的平行線交PD于點G,過點G作GF∥CE,交PC于點F,連接BF.因為BG∥OE,BG?平面AEC,OE?平面AEC,所以BG∥平面AEC.同理,GF∥平面AEC,又BG∩GF=G.所以平面BGF∥平面AEC.所以BF∥平面AEC.因為BG∥OE,O是BD中點,所以E是GD中點.又因為PE∶ED=2∶1,所以G是PE中點.而GF∥CE,所以F為PC中點.綜上,當點F是PC中點時,BF∥平面AEC.空間中線、面平行關系的轉化線線、線面、面面間的平行關系的判定和性質,經常是通過線線關系、線面關系、面面關系的相互轉化來表達.本例若改為“已知底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD,在棱PD上是否存在一點E,使PB∥平面ACE?若存在,請找出E點位置;若不存在,請說明理由”,該如何解決?【解析】如圖,連接AC,BD交于點O,取PD中點為E,連接OE,AE,CE,則在△PBD中,OE∥PB,又OE?平面ACE,PB?平面ACE,所以PB∥平面ACE.此時E為PD中點,故當E為PD中點時,能使PB∥平面ACE.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長為2的正三角形,點E,F分別是棱CC1,BB1【解析】如圖,取EC的中點P,AC的中點Q,連接PQ,PB,BQ,則PQ∥AE.因為EC=2FB=2,所以PE=BF.所以四邊形BFEP為平行四邊形,所以PB∥EF.又AE,EF?平面AEF,PQ,PB?平面AEF,所以PQ∥平面AEF,PB∥平面AEF.又PQ∩PB=P,PQ,PB?平面PBQ,所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ?平面PBQ,所以BQ∥平面AEF.故點Q即為所求的點M,即點M為AC的中點時,BM∥平面AEF.【補償訓練】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分別為B1C1,A1B(1)求證:平面A1C(2)若平面A1C【證明】(1)因為E,F分別為B1C1,A1B1所以EF∥A1C1,因為A1C1?平面A1C1G,EF?平面A1C1G,所以EF所以A1F=BG,又A1F∥BG,所以四邊形A1GBF為平行四邊形,則BF∥A1G,因為A1G?平面A1C所以BF∥平面A1C1G所以平面A1C1(2)因為平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,平面A1C1G與平面ABC有公共點G,則這兩個平面的交線經過G,又因為平面A1C1課堂檢測·素養(yǎng)達標1.平面α與平面β平行的條件可以是()A.α內有多數多條直線與β平行B.直線a∥α,a∥βC.直線a?α,直線b?β,且a∥β,b∥αD.α內的任何直線都與β平行【解析】選D.由面面平行的定義知,選D.2.在三棱臺ABC-A1B1C1中,直線AB與平面A1B1CA.相交 B.平行C.在平面內 D.不確定【解析】選B.因為AB∥A1B1,AB?平面A1B1C1,A1B1?平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B13.(教材二次開發(fā):練習改編)已知點S是正三角形ABC所在平面外一點,點D,E,F分別是SA,SB,SC的中點,則平面DEF與平面ABC的位置關系是_______.

【解析】由D,E,F分別是SA,SB,SC的中點,知EF是△SBC的中位線,所以EF∥BC.又因為BC?平面ABC,EF?平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC,又因為EF∩DE=E,EF,DF?平面DEF,所以平面DEF∥平面ABC.答案:平行4.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體,四邊形EFGH為截面,則四邊形EFGH的形態(tài)為_______.

【解析】因為平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四邊形EFGH的形態(tài)是平行四邊形.答案:平行四邊形課時素養(yǎng)評價十七平面與平面平行(20分鐘35分)1.a∥α,b∥β,α∥β,則a與b位置關系是 ()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面或相交【解析】選D.如圖(1),(2),(3)所示,a與b的關系分別是平行、異面或相交.2.下列說法中,錯誤的是 ()A.平面內一個三角形各邊所在的直線都與另一個平面平行,則這兩個平面平行B.平行于同一個平面的兩個平面平行C.若兩個平面平行,則位于這兩個平面內的直線也相互平行D.若兩個平面平行,則其中一個平面內的直線與另一個平面平行【解析】選C.分別在兩個平行平面內的直線,可能平行,也可能異面.3.α,β是兩個不重合的平面,在下列條件中,可判定α∥β的是 ()A.α,β都平行于直線l,mB.α內有三個不共線的點到β的距離相等C.l,m是α內的兩條直線,且l∥β,m∥βD.l,m是兩條異面直線且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β【解析】選D.A,B,C中都有可能使兩個平面相交;D中l(wèi)∥α,m∥α,可在α內取一點,過該點作l,m的平行線l′,m′,則l′,m′在平面α內且相交,又易知l′∥β,m′∥β,所以α∥β.4.若夾在兩個平面間的三條平行線段相等,那么這兩個平面的位置關系為.

【解析】三條平行線段共面時,兩平面可能平行也可能相交,當三條平行線段不共面時,兩平面肯定平行.答案:平行或相交5.如圖所示,平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行,且四邊形ABCD在平面α內的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形,則四邊形ABCD的形態(tài)肯定是【解析】由平行投影的定義,AA1∥BB1,而ABCD所在平面與平面α平行,則AB∥A1B1,則四邊形ABB1A1為平行四邊形,所以ABA1B1同理四邊形CC1D1D為平行四邊形,CDC1D1.因為A1B1C1D1,所以ABCD,從而四邊形ABCD為平行四邊形.答案:平行四邊形6.如圖,四棱錐P-ABCD中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,點E,M,N分別為邊BC,AD,AP的中點.求證:PE∥平面BNM.【證明】連接DE,因為M,N分別為邊AD,AP的中點,所以MN∥PD,因為MN?平面PDE,PD?平面PDE,所以MN∥平面PDE,因為E,M分別是BC,AD的中點,四邊形ABCD是平行四邊形,所以四邊形BEDM是平行四邊形,所以MB∥DE,MB?平面PDE,DE?平面PDE,所以MB∥面PDE,因為MN∩MB=M,所以平面MNB∥平面PDE,因為PE?平面PDE,所以PE∥平面BNM.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.設平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中點,當點A,B分別在平面α,β內運動時,動點C ()A.不共面B.當且僅當點A,B分別在兩條直線上移動時才共面C.當且僅當點A,B分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面D.無論點A,B如何移動都共面【解析】選D.無論點A,B如何移動,其中點C到α,β的距離始終相等,故點C在到α,β距離相等且與兩平面都平行的平面上.2.已知m,n是兩條直線,α,β是兩個平面.有以下說法:①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,則α∥β;②若m∥α,m∥β,則α∥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,則α∥β.其中正確的個數是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.把符號語言轉換為文字語言或圖形語言.可知①是面面平行的判定定理;②③中平面α,β還有可能相交.【補償訓練】設a,b表示直線,α,β,γ表示平面,則下列命題中不正確的是 ()A.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥bB.a∥b,b∥α,a?α?a∥αC.α∥β,β∥γ?α∥γD.α∥β,a∥α?a∥β【解析】選D.當α∥β且a∥α時,可能有a?β,也可能有a∥β,因此選項D中的命題不正確.3.在正方體EFGH-E1F1G1A.平面E1FG1與平面EGH1B.平面FHG1與平面F1H1C.平面F1H1H與平面FHE1D.平面E1HG1與平面EH1【解析】選A.如圖,因為EG∥E1G1EG?平面E1FG1,E1G1?平面E1FG1所以EG∥平面E1FG1,又G1F∥H1同理可證H1E∥平面E1FG1,又H1E∩EG=E,H1E?平面EGH1,EG?平面EGH1,所以平面E1FG1∥平面EGH1.4.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是A1B1的中點,點P是側面CDD1C1上的動點,且MP∥平面ABA.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.取CD的中點N,CC1的中點R,B1C1的中點H,則MN∥B1C∥HR,MH∥AC,所以平面MNRH∥平面AB1C,所以MP?平面MNRH,線段MP掃過的圖形是△MNR,因為AB=2,所以MN=2QUOTE,NR=QUOTE,MR=QUOTE,所以MN2=NR2+MR2,所以∠MRN是直角,所以線段MP長度的取值范圍是QUOTE.【補償訓練】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中點,F在CC1上,且CF=2FC1,點P是側面AA1D1D(包括邊界)上一動點,且PB1∥平面DEF,則tan∠ABP的取值范圍是【解析】作出平面MNQB1∥平面DEF,則A1Q=2AQ,DN=2D1N,因為PB1∥平面DEF,所以點P的軌跡是線段QN,因此,當點P運動到點Q處時,tan∠ABP取得最小值,此時tan∠ABP=QUOTE=QUOTE;當點P運動到點N處時,tan∠ABP取得最大值,此時tan∠ABP=QUOTE=QUOTE=QUOTE;所以tan∠ABP的取值范圍是QUOTE.答案:QUOTE二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.用一個平面去截三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分別于點E,F,G,H.若A1AA.矩形 B.菱形C.正方形 D.梯形【解析】選AD.因為四邊形EFGH的相鄰兩邊不行能相等,所以不能選B,C;當FG∥B1B時,四邊形EFGH為矩形;當FG不與B1B平行時,四邊形EFGH為梯形.6.已知a,b表示兩條不重合的直線,α,β,γ表示三個不重合的平面,給出下列命題,其中正確的是 ()A.若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,則α∥βB.若a,b相交且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,則α∥βC.若a∥α,a∥β,則α∥βD.若a?α,a∥β,α∩β=b,則a∥b【解析】選BD.對于A,若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,則α∥β或者α與β相交,故A錯誤;對于B,若a,b相交且都在α,β外,依據線面關系的基本領實可得a,b可以確定一個平面記為γ,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,可得γ∥α,γ∥β,由面面平行的傳遞性可知α∥β,故B正確;對于C,a∥α,a∥β,則α∥β也可能α與β相交,故C錯誤;對于D,由a?α,a∥β,α∩β=b,結合線面平行的性質定理:假如一條直線和一個平面平行,經過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行,則a∥b,故D正確.【補償訓練】α,β,γ為三個不重合的平面,a,b,c為三條不重合的直線,則下列命題中正確的是 ()A.QUOTE?a∥bB.QUOTE?a∥bC.QUOTE?α∥β D.QUOTE?α∥β【解析】選AD.對于A,兩條直線平行于第三條直線,這兩條直線平行,故A正確.對于B,兩條直線都與同一個平面平行,則這兩條直線可能相交,也可能是異面直線,不肯定平行,故B不正確.對于C,兩個平面都與同一條直線平行,則這兩個平面可能平行,也可能相交,故C不正確.對于D,由面面平行的傳遞性可知平行于同一平面的兩個平面平行,故D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于M,交BC于N,則MN=AC,MN平面AB1【解析】因為平面MNE∥平面ACB1,平面ABCD∩平面MNE=MN,平面ABCD∩平面ACB1=AC,所以MN∥AC.同理可證EM∥AB1,EN∥B1C因為E是B1B的中點,所以M,N分別是AB,BC的中點,所以MN=QUOTEAC.又因為MN∥AC,MN?平面AB1C,AC?平面AB1C,所以MN∥平面AB答案:QUOTE∥8.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱DD1上的點.當平面AB1C∥平面A1EC1時,點E的位置是【解析】如圖,連接B1D1,BD,設B1D1∩A1C1=M,BD∩AC=O,連接ME,B1因為平面AB1C∥平面A1EC1,平面AB1C∩平面BDD1B1=B平面A1EC1∩平面BDD1B1=ME,所以B1O∥ME.又四邊形B1MDO為平行四邊形,則B1O∥MD.所以得到點E與點D重合.答案:點D處四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD.E,F,G分別為線段PC,PD,BC的中點,現將△PDC折起,使點P?平面ABCD.求證:平面PAB∥平面EFG.【證明】因為PE=EC,PF=FD,所以EF∥CD,又因為CD∥AB,所以EF∥AB,又EF?平面PAB,AB?平面PAB,所以EF∥平面PAB,同理可證EG∥平面PAB.又因為EF∩EG=E,所以平面PAB∥平面EFG.10.如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點D,D1分別為AC,A1C(1)當QUOTE等于何值時,BC1∥平面AB1D1.(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求QUOTE的值.【解析】連接A1B交AB1于點O,連接OD1.(1)如圖所示,取D1為線段A1C1的中點,此時QUOTE=1.由棱柱的性質知,四邊形A1ABB1為平行四邊形,所以點O為A1B的中點.在△A1BC1中,點O,D1分別為A1B,A1C1的中點,所以OD1∥BC1又因為OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,所以BC1∥平面AB1D1.所以當QUOTE=1時,BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O得BC1∥D1O,所以QUOTE=QUOTE,又由題(1)可知QUOTE=QUOTE,QUOTE=1,所以QUOTE=1,即QUOTE=1.1.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=6,AB=3,AD=8,點M是棱AD的中點,點N在棱AA1上,且滿意AN=2NA1,P是側面四邊形ADD1A1內一動點(含邊界),若C1P∥平面CMN,則線段CA.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE