春秋晝夜“函”新數(shù)

似曾相識“弦”歸來人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章5.2三角函數(shù)的概念活動一：春秋晝夜“函”新數(shù)（目標(biāo)1）

想一想：能否用學(xué)過的數(shù)學(xué)模型來刻畫地球圍繞太陽做圓周運動時的位置變化情況？一元發(fā)于春,萬物收以秋公轉(zhuǎn)播物鈞,元氣在筆頭

軌道

太陽

地球

位置

圓

圓心

動點坐標(biāo)活動一：春秋晝夜“函”新數(shù)（目標(biāo)1）

想一想：能否用學(xué)過的數(shù)學(xué)模型來刻畫地球圍繞太陽做圓周運動時的位置變化情況？追問：地球公轉(zhuǎn)軌道半徑約為1.5億公里.這個數(shù)字導(dǎo)致運動過程中地球坐標(biāo)數(shù)值太大，不利于計算，怎么辦呢？一元發(fā)于春,萬物收以秋公轉(zhuǎn)播物鈞,元氣在筆頭模型——單位圓活動一：春秋晝夜“函”新數(shù)（目標(biāo)1）

追問：根據(jù)已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗，你認為可以按怎樣的路徑研究上述問題?明確研究對象—對應(yīng)關(guān)系分析—生成函數(shù)定義—歸納性質(zhì)應(yīng)用.

學(xué)習(xí)評價：評價等級：

達成水平三：

，達成水平二：

，達成水平一：

.活動一：春秋晝夜“函”新數(shù)（目標(biāo)1）評價維度評價活動評價內(nèi)容評價任務(wù)評價形式評價呈現(xiàn)評價標(biāo)準(zhǔn)水平一水平二水平三情境與問題春秋晝夜函新數(shù)按圖索驥探新謎目標(biāo)1操作性任務(wù)預(yù)習(xí)成果匯報生生互評了解課時研究背景，學(xué)會將現(xiàn)實情境抽象為數(shù)學(xué)問題.理解建立單位圓模型的必要性，為后續(xù)研究做好鋪墊.能夠回顧已知的函數(shù)研究經(jīng)驗，明確本節(jié)課的研究路徑和基本方法.活動二：按圖索驥探新謎（目標(biāo)2）問題2:

觀察Geogebra軟件的動態(tài)演示,以單位圓的圓心O為原點,以射線OA為x軸的非負半軸,建立直角坐標(biāo)系,點A的坐標(biāo)為(1,0),點P的坐標(biāo)為(x,y).射線OA從x軸的非負半軸開始,繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α,終止位置為OP.視頻見附件探謎環(huán)節(jié)一

抽象建模明問題（目標(biāo)2）問題2:

以單位圓的圓心O為原點,以射線OA為x軸的非負半軸,建立直角坐標(biāo)系,點A的坐標(biāo)為(1,0),點P的坐標(biāo)為(x,y).射線OA從x軸的非負半軸開始,繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α,終止位置為OP你能求出旋轉(zhuǎn)下列角度時P點坐標(biāo)嗎?追問:求點P的坐標(biāo)的步驟是什么？點P的坐標(biāo)唯一確定嗎?畫終邊—找交點—算數(shù)值終邊與圓成交點，縱橫坐標(biāo)正余弦；比值作商成正切，直角三角總相伴

問題3:點P的坐標(biāo)被唯一確定，能刻畫點P在運動過程中位置變化的量有哪些？探謎環(huán)節(jié)二

變量分析尋函數(shù)（目標(biāo)2）P點的橫坐標(biāo)xP點的縱坐標(biāo)y轉(zhuǎn)過的角度α追問:變量x,y與α之間存在2個對應(yīng)關(guān)系，是否是函數(shù)關(guān)系？探謎環(huán)節(jié)二

變量分析尋函數(shù)（目標(biāo)2）特殊一般形成對應(yīng)關(guān)系：f:實數(shù)α（弧度）對應(yīng)點P的縱坐標(biāo)y分析函數(shù)關(guān)系：三要素g:實數(shù)α（弧度）對應(yīng)點P的橫坐標(biāo)xf:R[-1,1]和g:R[-1,1]都是從集合R到集合[-1,1]的函數(shù).追問:請大家觀看《史說三角》,你能根據(jù)視頻梳理三角學(xué)的相關(guān)發(fā)展史,提煉出三角函數(shù)的定義嗎?探謎環(huán)節(jié)三

歸納總結(jié)得定義（目標(biāo)2）視頻見附件追問:觀看《史說三角》,根據(jù)三角學(xué)的相關(guān)發(fā)展史，你能類比得到其他三角函數(shù)的定義嗎？探謎環(huán)節(jié)三

歸納總結(jié)得定義（目標(biāo)2）注意：正切函數(shù)的定義域希帕恰斯古希臘天文學(xué)家三角學(xué)之父,追問:我們習(xí)慣用x,y分別表示自變量和因變量，你能把三角函數(shù)表示成習(xí)慣的形式嗎?探謎環(huán)節(jié)三

歸納總結(jié)得定義（目標(biāo)2）形成對應(yīng)關(guān)系得到函數(shù)概念圓函數(shù)三角函數(shù)活動二：按圖索驥探新謎（目標(biāo)2）

學(xué)習(xí)評價：評價等級：

達成水平三：,達成水平二：,達成水平一：

.評價維度評價活動評價內(nèi)容評價任務(wù)評價形式評價呈現(xiàn)評價標(biāo)準(zhǔn)水平一水平二水平三知識與技能抽象建模明問題歸納總結(jié)得定義目標(biāo)2識記表達任務(wù)課堂提問自評互評發(fā)現(xiàn)點的坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)角之間的對應(yīng)關(guān)系.結(jié)合三角學(xué)的發(fā)展史明確三角函數(shù)的名稱與表示.能夠理解三角函數(shù)的抽象結(jié)構(gòu)，鞏固三角函數(shù)的概念.活動三：似曾相識弦歸來（目標(biāo)3）追問1：對于余弦、正切也有相同的結(jié)論嗎?聯(lián)系：在銳角范圍內(nèi)，兩者求解的函數(shù)值相等追問2：你能說說銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)有怎樣的區(qū)別嗎？活動三：似曾相識弦歸來（目標(biāo)3）問題6：設(shè)任意角α的終邊上任意一點P(x,y)，P不與原點O重合，點P與原點O的距離為r，求證：思考1：你能根據(jù)三角函數(shù)的定義作圖表示sinα,cosα,tanα嗎?

活動四：函數(shù)拓展見本質(zhì)（目標(biāo)3）問題6：設(shè)任意角α的終邊上任意一點P(x,y)，P不與原點O重合，點P與原點O的距離為r，求證：活動四：函數(shù)拓展見本質(zhì)（目標(biāo)3）結(jié)論：只要知道角的終邊上任意一點的坐標(biāo)，就可以求解該角的各個三角函數(shù)值坐標(biāo)比定義活動四：函數(shù)拓展見本質(zhì)（目標(biāo)3）評價維度評價活動評價內(nèi)容評價任務(wù)評價形式評價呈現(xiàn)評價標(biāo)準(zhǔn)水平一水平二水平三思維與表達似曾相識弦歸來函數(shù)拓展見本質(zhì)目標(biāo)3表達性任務(wù)課堂提問與練習(xí)師生講評了解銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別.理解三角函數(shù)的坐標(biāo)比定義，學(xué)會將單位圓模型推廣至一般圓模型.掌握三角函數(shù)的本質(zhì)特征，理解三角函數(shù)概念與結(jié)構(gòu)的一般性.

學(xué)習(xí)評價：評價等級：

達成水平三：,達成水平二：,達成水平一：

.問題7：求

的正弦、余弦和正切值.追問：你是否可以自創(chuàng)變式，解決問題？變式：活動五：三角函數(shù)蘊玄機（目標(biāo)4）問題8：如圖所示，t=0時地球位于A點，以太陽的球心為原點O，以O(shè)A為x軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，將地球圍繞太陽的運動看作勻速圓周運動，已知地球到太陽球心的距離為1.5億公里，運動周期約為365天，求73天后地球的位置坐標(biāo).（可以借助計算工具）活動五：三角函數(shù)蘊玄機（目標(biāo)4）活動六：總結(jié)反思構(gòu)體系（目標(biāo)4）問題9：本節(jié)課我們研究了什么問題？追問1：我們怎么研究這個問題的？追問2：研究的過程中我們用到了什么數(shù)學(xué)思想方法？追問3：我們的研究成果有什么應(yīng)用價值？?建議：可以嘗試畫出思維導(dǎo)圖或者利用其他方法對本節(jié)課的學(xué)習(xí)進行總結(jié)梳理總結(jié).活動六：總結(jié)反思構(gòu)體系（目標(biāo)4）活動六：總結(jié)反思構(gòu)體系（目標(biāo)4）評價維度評價活動評價內(nèi)容評價任務(wù)評價形式評價呈現(xiàn)評價標(biāo)準(zhǔn)水平一水平二水平三情境與問題春秋晝夜函新數(shù)按圖索驥探新謎目標(biāo)1操作性任務(wù)課堂提問生生互評了解課時研究背景，學(xué)會將現(xiàn)實情境抽象為數(shù)學(xué)問題.理解建立單位圓模型的必要性，為后續(xù)研究做好鋪墊.能夠回顧已知的函數(shù)研究經(jīng)驗，明確本節(jié)課的研究路徑和基本方法.知識與技能抽象建模明問題歸納總結(jié)得定義目標(biāo)2識記表達任務(wù)課堂練習(xí)與小組匯報自評互評發(fā)現(xiàn)點的坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)角之間的對應(yīng)關(guān)系.結(jié)合三角學(xué)的發(fā)展史明確三角函數(shù)的名稱與表示.能夠理解三角函數(shù)的抽象結(jié)構(gòu)，鞏固三角函數(shù)的概念.思維與表達似曾相識弦歸來函數(shù)拓展見本質(zhì)目標(biāo)3表達性任務(wù)課堂提問與練習(xí)教師講評了解銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別.理解三角函數(shù)的坐標(biāo)比定義，學(xué)會將單位圓模型推廣至一般圓模型.掌握三角函數(shù)的本質(zhì)特征，理解三角函數(shù)概念與結(jié)構(gòu)的一般性.交流與反思三角函數(shù)蘊玄機總結(jié)反思構(gòu)體系目標(biāo)4綜合任務(wù)課后總結(jié)成果匯報自評能