四川省成都市蓉城聯(lián)盟2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．某校高一年級有900名學(xué)生，現(xiàn)用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個容量為81的樣本，其中抽取男生和女生的人數(shù)分別為45，36，則該校高一年級的女生人數(shù)為（）A．350 B．400 C．500 D．5502．近日，2024中國最具幸福感城市調(diào)查推選活動正式啟動，在100個地級及以上候選城市名單中，成都市入選.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.現(xiàn)隨機抽取10位成都市居民，他們的幸福感指數(shù)分別為4，4，5，6，7，7，7，8，9，10，則下列說法錯誤的是（

）A．該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7.5 B．該組數(shù)據(jù)的極差為6C．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7 D．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7.23．已知為空間內(nèi)任意一點，，，，四點共面，且任意三點不共線，若，則（）A． B． C． D．4．2024年進入8月后，成都市持續(xù)高溫，氣象局一般會提前發(fā)布高溫紅色預(yù)警信號（高溫紅色預(yù)警標(biāo)準(zhǔn)為24小時內(nèi)最高氣溫將升至以上），在8月22日后的3天中，每一天最高氣溫在以上的概率為.用計算機生成了10組隨機數(shù)，結(jié)果如下：298244618624061547257098474561若用0，1，2，3表示非高溫紅色預(yù)警，用4，5，6，7，8，9表示高溫紅色預(yù)警，則8月22日后的3天中恰有2天發(fā)布高溫紅色預(yù)警信號的概率為（）A． B． C． D．5．已知，是一個隨機試驗中的兩個隨機事件，若，，，則事件與事件的關(guān)系為（）A． B．互斥但不對立C．互為對立 D．相互獨立6．如圖，在三棱錐中，，為的中點，，則（）A． B．C． D．7．在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面過點，且以向量為法向量，則平面的方程為.若平面的方程為，則點到平面的距離為（）A． B． C． D．8．如圖，在斜三棱柱中，底面ABC為正三角形，為AC的中點，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．2024年2月29日，國家統(tǒng)計局發(fā)布了我國2023年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，全國居民人均可支配收入和消費支出均較上一年有所增長，結(jié)合圖一、圖二所示統(tǒng)計圖，下列說法正確的是（）A．2019～2023年全國居民人均可支配收入逐年遞增B．2019～2023年全國居民人均可支配收入增長速度逐年遞增C．2023年全國居民人均消費支出中教育文化娛樂支出費用最少D．2023年全國居民人均消費支出中食品煙酒和居住支出費用之和占比不足60%10．一個袋子中有4個白球，個黃球，采用不放回的方式從中依次隨機抽取2個球，已知取出的2個球顏色不同的概率為，則（）A．3 B．4 C．7 D．811．在棱長為2的正方體中，點在底面ABCD內(nèi)（含邊界），為棱的中點，下列說法正確的是（）A．滿足平面的點的軌跡長度為B．若點在棱AB上運動，則點到直線的距離的最小值為C．若平面，則點是AC上靠近點的四等分點D．的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知空間向量，，若，則.13．5月11日是世界防治肥胖日.我國超過一半的成年人屬于超重或肥胖，歲的兒童青少年肥胖率接近，肥胖已成為嚴重危害我國居民健康的公共衛(wèi)生問題.目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（BodyMassIndex，縮寫B(tài)MI）來衡量人體胖瘦程度以及是否健康.我國成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為為偏瘦；為正常；為偏胖；為肥胖.某校為了解學(xué)生的健康狀況，研究人員從學(xué)生的體測數(shù)據(jù)中，用按比例分配的分層隨機抽樣方法抽取樣本，樣本中有20名女生，女生的BMI值的平均數(shù)為20，方差為8；有30名男生，男生的BMI值的平均數(shù)為25，方差為18.則樣本中所有學(xué)生的BMI值的方差為.14．如圖，在直三棱柱中，，，，分別為棱BC，上的動點，且，，，設(shè)直線與直線PQ所成角為，若平面，則的最小值為.

四、解答題（本大題共5小題）15．庚子新春，“新冠”肆虐，面對新冠肺炎的發(fā)生，某醫(yī)療小組提出了一種治療的新方案.為測試該方案的治療效果，此醫(yī)療小組選取了患病程度相同的12名病人志愿者，將他們隨機分成兩組，每組6人.第一組用新方案治療，第二組用舊方案治療.統(tǒng)計病人的痊愈時間（單位：天）如下表：新方案治療36671010舊方案治療589111215記新方案和舊方案治療病人痊愈時間的平均數(shù)分別為和，方差分別為和.(1)求，，，；(2)判斷新方案的治療效果較舊方案是否有顯著提高.說明：如果，則認為新方案的治療效果較舊方案是有顯著提高，否則不認為有顯著提高.16．2025屆是四川省新高考的第一屆.根據(jù)新高考改革方案，2025年將采用“”的高考模式，“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考學(xué)科，以原始分數(shù)計入高考成績；“1”指考生從物理、歷史兩門學(xué)科中首選一門學(xué)科，以原始分數(shù)計入高考成績；“2”指考生從政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)四門學(xué)科中再選兩門學(xué)科，以等級分計入高考成績.按照方案，再選學(xué)科的等級分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績從高到低劃分為，，，，五個等級，各等級人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：等級人數(shù)比例賦分區(qū)間為讓學(xué)生適應(yīng)新高考的賦分模式，某市在高二的調(diào)研考試中對學(xué)生的再選學(xué)科成績進行賦分，已知該市本次高二調(diào)研考試化學(xué)學(xué)科考試滿分為100分，現(xiàn)從該市本次高二調(diào)研考試的化學(xué)成績中隨機選取100名學(xué)生的原始成績進行分析，其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求出圖中的值，并用樣本估計總體的方法估計該市本次化學(xué)原始成績等級中的最低分（含等級）；(2)為更充分發(fā)揮調(diào)研考試的作用，更有效地指導(dǎo)教師的教和學(xué)生的學(xué)，若采用分層抽樣的方法，從原始成績在40,50和50,60內(nèi)的學(xué)生中共抽取人，查看他們的答題情況來分析知識點上的缺漏，再從中選取人進行個案分析，求這2人中恰有1人原始成績在40,50內(nèi)的概率.17．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，為線段PB的中點.(1)證明：平面平面PBC；(2)求直線CE與平面PBD所成角的正弦值.18．中國乒乓球隊是中國體育軍團的王牌之師，屢次在國際大賽上爭金奪銀，被體育迷們習(xí)慣地稱為“夢之隊”.2024年巴黎奧運會，中國乒乓球隊包攬全部五枚金牌.其中團體賽由四場單打和一場雙打比賽組成，采用五場三勝制.每個隊由三名運動員組成，當(dāng)一個隊贏得三場比賽時，比賽結(jié)束.2024年8月10日，中國隊對戰(zhàn)瑞典隊，最終以取得團體賽冠軍，賽前某乒乓球愛好者對賽事情況進行分析，根據(jù)以往戰(zhàn)績，中國隊在每場比賽中獲勝的概率均為.(1)求中國隊以的比分獲勝的概率；(2)求中國隊在已輸一場的情況下獲勝的概率；(3)求至多進行四場比賽的概率.19．柯西是一位偉大的法國數(shù)學(xué)家，許多數(shù)學(xué)定理和結(jié)論都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在數(shù)學(xué)的眾多分支中有精彩應(yīng)用.柯西不等式的一般形式為：設(shè)，，，…，，，，，…，，則，當(dāng)且僅當(dāng)（，2，…，）或存在一個數(shù)，使得（，2，…，）時，等號成立.如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為.

(1)求點到平面的距離；(2)若，平面平面，，分別為，上的動點，且，.①用，來表示線段MN的長度；②當(dāng)線段MN的長度最小時，求平面AMN與平面夾角的余弦值.

參考答案1．【答案】B【詳解】設(shè)該校高一年級的女生人數(shù)為，則，解得.故選：B.2．【答案】D【詳解】對于A，因為這組數(shù)據(jù)為4，4，5，6，7，7，7，8，9，10，共10個數(shù)，又，所以該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故A正確；對于B，該組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；對于C，易知該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7，故C正確；對于D，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故D錯誤.故選：D.3．【答案】B【詳解】由四點共面的推論可知，，故，故選：B.4．【答案】B【詳解】解：由題意可知，表示8月22日后的3天中恰有2天發(fā)布高溫紅色預(yù)警信號的隨機數(shù)有：298，244，618，624，257，098，561共7個，8月22日后的3天中恰有2天發(fā)布高溫紅色預(yù)警信號的概率為，故選:B.5．【答案】D【詳解】解：，得，又，故事件與事件相互獨立，故選：D.6．【答案】A【詳解】為的中點，，又，，，則，故選：A.7．【答案】C【詳解】平面的方程為，取平面內(nèi)一點，則平面的法向量為，又，，點到平面的距離為.故選：C.8．【答案】D【詳解】解：，，，又，，，異面直線與所成角的余弦值為，故選:D.9．【答案】AD【詳解】A選項：根據(jù)折線圖知，2019～2023年全國居民人均可支配收入分別為30733元，32189元，35128元，36883元，39218元，逐年遞增，故A正確；B選項：根據(jù)折線圖知，2020年、2022年增長速度在下降，故B錯誤；C選項：根據(jù)扇形圖知，2023年全國居民人均消費支出中教育文化娛樂支出費用為2904元，不是最少，故C錯誤；D選項：2023年全國居民人均消費支出中食品煙酒和居住支出費用之和占比：，故D正確.故選：AD.10．【答案】AB【詳解】設(shè)從個球不放回地隨機取出2個的可能總數(shù)為，事件“兩次取出的球顏色不同”，則，，則，解得或.故選：AB.11．【答案】ACD【詳解】解：A選項：由于平面,平面,故平面,同理可得平面,平面，故平面平面，平面，故平面，點的軌跡為，，故A正確；B選項：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，，點到的距離為，故B錯誤；C選項：設(shè)，，又，，平面，，，故，點是AC上靠近點的四等分點，故C正確；D選項：點關(guān)于平面xDy的對稱點為，，故的最小值為，故D正確，故選：ACD.12．【答案】【詳解】，，.故答案為：13．【答案】20【詳解】設(shè)所有學(xué)生的BMI值的平均數(shù)為，方差為，則，.故答案為：2014．【答案】/【詳解】由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，，，又，，，，即，，即，，由題意是平面的一個法向量，，，，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，的最小值為.故答案為：

15．【答案】(1)，，，(2)新方案的治療效果較舊方案有顯著提高【詳解】（1）由已知可得，，同理可得，，.（2），，新方案的治療效果較舊方案有顯著提高.16．【答案】(1)0.030，75分；(2).【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，，原始成績等級及以上占比，的頻率為，的頻率為，原始成績等級的最低分落在內(nèi)，設(shè)為，則，解得，該市本次化學(xué)原始成績等級中的最低分為75分；（2）原始成績在和的頻率之比為，在內(nèi)抽取2人，記為，在內(nèi)抽取4人，記為，，，，從中選取2人，則，，記事件“這2人中恰有1人原始成績在內(nèi)”，，，這2人中恰有1人原始成績在內(nèi)的概率為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面AEC的一個法向量為n1則，令，則，，，設(shè)平面PBC的一個法向量為，則，令，則，，，，，平面平面PBC；（2）設(shè)平面PBD的一個法向量為，則，令，則，，，設(shè)直線CE與平面PBD所成角為，，，，直線CE與平面PBD所成角的正弦值為.18．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）設(shè)事件“中國隊以的比分獲勝”，中國隊在每一場中獲勝的概率均為，，中國隊以的比分獲勝的概率為；（2）設(shè)事件“中國隊在已輸一場的情況下獲勝”，則有兩類情況：①設(shè)事件“中國隊從第二場開始連勝三場”，，②設(shè)事件“中國隊在二到四場中勝兩場，再勝第五場”，，與是互斥事件，，中國隊在已輸一場的情況下獲勝的概率為；（3）設(shè)中國隊進行三場、四場比賽獲勝分別為事件、，瑞典隊進行三場、四場比賽獲勝分別為事件、，至多進行四場比賽為事件，，，，，，，，