數(shù)學(xué)PAGE1數(shù)學(xué)第16講對(duì)數(shù)及其運(yùn)算模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)；2．掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，能應(yīng)用對(duì)數(shù)的定義和性質(zhì)解方程；3．理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；4．會(huì)運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)與證明.知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)的概念與性質(zhì)1、對(duì)數(shù)的概念：如果（且），那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作，其中a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．2、常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)名稱(chēng)定義記法常用對(duì)數(shù)以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù)以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)3、對(duì)數(shù)的性質(zhì)（1）當(dāng)，且時(shí)，；（2）負(fù)數(shù)和0沒(méi)有對(duì)數(shù)，即；（3）特殊值：1的對(duì)數(shù)是0，即0（，且）；底數(shù)的對(duì)數(shù)是1，即（，且）；（4）對(duì)數(shù)恒等式：；（5）．知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及應(yīng)用1、運(yùn)算性質(zhì)：,且，（1）；（2）；（3）2、換底公式（1）換底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．（2）可用換底公式證明以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤.知識(shí)點(diǎn)3對(duì)數(shù)運(yùn)算常用方法技巧1、對(duì)數(shù)混合運(yùn)算的一般原則（1）將真數(shù)和底數(shù)化成指數(shù)冪形式，使真數(shù)和底數(shù)最簡(jiǎn)，用公式化簡(jiǎn)合并；（2）利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的對(duì)數(shù)式；（3）將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪；（4）如果對(duì)數(shù)的真數(shù)可以寫(xiě)成幾個(gè)因數(shù)或因式的相乘除的形式，一般改寫(xiě)成幾個(gè)對(duì)數(shù)相加減的形式，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)合并；（5）對(duì)數(shù)真數(shù)中的小數(shù)一般要化成分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)一般寫(xiě)成對(duì)數(shù)相減的形式．2、對(duì)數(shù)運(yùn)算中的幾個(gè)運(yùn)算技巧（1）的應(yīng)用技巧：在對(duì)數(shù)運(yùn)算中如果出現(xiàn)和，則一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出現(xiàn)，再應(yīng)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)；（2）的應(yīng)用技巧：對(duì)數(shù)運(yùn)算過(guò)程中如果出現(xiàn)兩個(gè)對(duì)數(shù)相乘且兩個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)位置顛倒，則可用公式化簡(jiǎn)；（3）指對(duì)互化的轉(zhuǎn)化技巧：對(duì)于將指數(shù)恒等式作為已知條件，求函數(shù)的值的問(wèn)題，通常設(shè)，則，，，將值帶入函數(shù)求解．考點(diǎn)一：對(duì)數(shù)的概念及辨析例1．（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（多選）下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A．零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)B．任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式C．以10為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)D．以e為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)【變式1-1】（23-24高一上·貴州貴陽(yáng)·月考）使式子有意義的的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．，【變式1-2】（23-24高一上·吉林延邊·期中）在對(duì)數(shù)式中，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（22-23高一上·江蘇宿遷·期中）在下列四個(gè)命題中，正確的是（

）A．若則； B．若，則；C．，則； D．若，則．考點(diǎn)二：對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化例2.（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末）將化成指數(shù)式可表示為（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·期中）將化為對(duì)數(shù)式正確的是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高一上·江蘇連云港·期中）已知，則（

）A． B．0 C．2 D．4【變式2-3】（23-24高一上·江西寧岡·期中）（多選）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與考點(diǎn)三：利用對(duì)數(shù)性質(zhì)解對(duì)數(shù)方程例3.（23-24高一·江蘇·假期作業(yè)）方程的根為（

）A． B．3 C．或 D．或【變式3-1】23-24高一上·山東煙臺(tái)·月考）方程的實(shí)數(shù)解為.【變式3-2】（23-24高一上·廣東深圳·期中）已知a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．【變式3-3】（23-24高一上·全國(guó)·練習(xí)）已知，是方程的兩個(gè)根，試給出關(guān)于，的一個(gè)結(jié)論．考點(diǎn)四：利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【變式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化簡(jiǎn).【變式4-2】（23-24高一上·貴州畢節(jié)·期末）計(jì)算：(1)+；(2).【變式4-3】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)．考點(diǎn)五：用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)例5.（23-24高一下·江蘇鹽城·期末）若，，則用，表示（

）A． B． C． D．【變式5-1】（23-24高一上·江蘇淮安·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【變式5-2】（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）已知，，用a，b表示為（

）A． B． C． D．【變式5-3】（23-24高一上·甘肅武威·月考）已知，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六：利用換底公式證明等式例6.（23-24高一上·山東淄博·期末）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，那么下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【變式6-1】（23-24高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）求證：．【變式6-2】（23-24高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）設(shè)，，，且，，利用對(duì)數(shù)的換底公式證明：(1)；(2)．【變式6-3】（23-24高一上·河北石家莊·月考）設(shè)，且，利用對(duì)數(shù)的換底公式證明：(1)；(2)；(3)計(jì)算：若，求的值．一、單選題1．（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在中，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lga（）與lgb（）互為相反數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）將化為對(duì)數(shù)式正確的是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·陜西西安·月考）（

）A． B．1 C． D．5．（23-24高一上·北京·月考）若，則下列等式中正確是的是（

）A． B．C． D．6．（23-24高一上·天津·期末）化簡(jiǎn)的值為（

）A．1 B．3 C．4 D．8二、多選題7．（23-24高一上·貴州安順·期末）下列運(yùn)算正確的有（

）A． B．C． D．8．（23-24高一上·吉林延邊·期中）下列命題中正確的是（）A．已知，，則B．的值為1C．若，則的值為D．若且，則三、填空題9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知，則.（用含的式子表示）10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若，則.11．（23-24高一上·遼寧沈陽(yáng)·期末）設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則．四、解答題12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)；(2).(3)13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若，求的值；（2）求值：.第16講對(duì)數(shù)及其運(yùn)算模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)；2．掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，能應(yīng)用對(duì)數(shù)的定義和性質(zhì)解方程；3．理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；4．會(huì)運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)與證明.知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)的概念與性質(zhì)1、對(duì)數(shù)的概念：如果（且），那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作，其中a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．2、常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)名稱(chēng)定義記法常用對(duì)數(shù)以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù)以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)3、對(duì)數(shù)的性質(zhì)（1）當(dāng)，且時(shí)，；（2）負(fù)數(shù)和0沒(méi)有對(duì)數(shù)，即；（3）特殊值：1的對(duì)數(shù)是0，即0（，且）；底數(shù)的對(duì)數(shù)是1，即（，且）；（4）對(duì)數(shù)恒等式：；（5）．知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及應(yīng)用1、運(yùn)算性質(zhì)：,且，（1）；（2）；（3）2、換底公式（1）換底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．（2）可用換底公式證明以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤.知識(shí)點(diǎn)3對(duì)數(shù)運(yùn)算常用方法技巧1、對(duì)數(shù)混合運(yùn)算的一般原則（1）將真數(shù)和底數(shù)化成指數(shù)冪形式，使真數(shù)和底數(shù)最簡(jiǎn)，用公式化簡(jiǎn)合并；（2）利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的對(duì)數(shù)式；（3）將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪；（4）如果對(duì)數(shù)的真數(shù)可以寫(xiě)成幾個(gè)因數(shù)或因式的相乘除的形式，一般改寫(xiě)成幾個(gè)對(duì)數(shù)相加減的形式，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)合并；（5）對(duì)數(shù)真數(shù)中的小數(shù)一般要化成分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)一般寫(xiě)成對(duì)數(shù)相減的形式．2、對(duì)數(shù)運(yùn)算中的幾個(gè)運(yùn)算技巧（1）的應(yīng)用技巧：在對(duì)數(shù)運(yùn)算中如果出現(xiàn)和，則一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出現(xiàn)，再應(yīng)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)；（2）的應(yīng)用技巧：對(duì)數(shù)運(yùn)算過(guò)程中如果出現(xiàn)兩個(gè)對(duì)數(shù)相乘且兩個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)位置顛倒，則可用公式化簡(jiǎn)；（3）指對(duì)互化的轉(zhuǎn)化技巧：對(duì)于將指數(shù)恒等式作為已知條件，求函數(shù)的值的問(wèn)題，通常設(shè)，則，，，將值帶入函數(shù)求解．考點(diǎn)一：對(duì)數(shù)的概念及辨析例1．（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（多選）下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A．零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)B．任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式C．以10為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)D．以e為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)【答案】BCD【解析】對(duì)于A：由對(duì)數(shù)的定義可知：零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù).故A正確；對(duì)于B：只有符合，且，才有，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.【變式1-1】（23-24高一上·貴州貴陽(yáng)·月考）使式子有意義的的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．，【答案】C【解析】由式子有意義，則滿足，解得且.故選：C.【變式1-2】（23-24高一上·吉林延邊·期中）在對(duì)數(shù)式中，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使對(duì)數(shù)式有意義，需滿足，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選:D.【變式1-3】（22-23高一上·江蘇宿遷·期中）在下列四個(gè)命題中，正確的是（

）A．若則； B．若，則；C．，則； D．若，則．【答案】B【解析】對(duì)A，若，則均無(wú)意義，故A錯(cuò)；對(duì)B，若，說(shuō)明，則B項(xiàng)正確；對(duì)C，若，則，不一定能推出，故C錯(cuò)；對(duì)D，若，則無(wú)意義，故D錯(cuò).故選：B考點(diǎn)二：對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化例2.（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末）將化成指數(shù)式可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】把對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式，為．故選：A．【變式2-1】（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·期中）將化為對(duì)數(shù)式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】化為對(duì)數(shù)式為，故選：B．【變式2-2】（23-24高一上·江蘇連云港·期中）已知，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】C【解析】由得，即，又且，所以，故選：C．【變式2-3】（23-24高一上·江西寧岡·期中）（多選）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】ABD【解析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式且可知，ABD正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤.故選：ABD考點(diǎn)三：利用對(duì)數(shù)性質(zhì)解對(duì)數(shù)方程例3.（23-24高一·江蘇·假期作業(yè)）方程的根為（

）A． B．3 C．或 D．或【答案】B【解析】由，得，即，解得，所以方程的根為.故選：B【變式3-1】23-24高一上·山東煙臺(tái)·月考）方程的實(shí)數(shù)解為.【答案】【解析】由，得，所以，即，即，所以或（舍去），所以.故答案為：.【變式3-2】（23-24高一上·廣東深圳·期中）已知a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．【答案】/2.5【解析】方法一：因?yàn)閍，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得，，則，即；方法二：因?yàn)榈母鶠榛颍环猎O(shè)，，則，，所以．故答案為：.【變式3-3】（23-24高一上·全國(guó)·練習(xí)）已知，是方程的兩個(gè)根，試給出關(guān)于，的一個(gè)結(jié)論．【答案】（答案不唯一）【解析】根據(jù)換底公式有，即，令，則，解得或.所以或，解得或.故答案為：（答案不唯一）考點(diǎn)四：利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A中，由，所以A正確；對(duì)于B中，由，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，所以D錯(cuò)誤．故選：A【變式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化簡(jiǎn).【答案】【解析】原式.故答案為：.【變式4-2】（23-24高一上·貴州畢節(jié)·期末）計(jì)算：(1)+；(2).【答案】(1)0；(2)6【解析】（1）原式=（2）原式=3+log23?log32+lg100=3+1+2=6．【變式4-3】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【解析】（1）；（2）.考點(diǎn)五：用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)例5.（23-24高一下·江蘇鹽城·期末）若，，則用，表示（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得，故選：D.【變式5-1】（23-24高一上·江蘇淮安·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，，則，故選：C．【變式5-2】（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）已知，，用a，b表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以?故選：C.【變式5-3】（23-24高一上·甘肅武威·月考）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選:B.考點(diǎn)六：利用換底公式證明等式例6.（23-24高一上·山東淄博·期末）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，那么下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，，，，，，則，根據(jù)可知，.故選：C【變式6-1】（23-24高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】左邊，右邊，所以左邊=右邊，得證.【變式6-2】（23-24高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）設(shè)，，，且，，利用對(duì)數(shù)的換底公式證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1），所以等式成立；（2），所以等式成立.【變式6-3】（23-24高一上·河北石家莊·月考）設(shè)，且，利用對(duì)數(shù)的換底公式證明：(1)；(2)；(3)計(jì)算：若，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)【解析】（1）因?yàn)?，所以命題得證.（2）因?yàn)?，所以命題得證.（3）因?yàn)?，所以，故，即的值?一、單選題1．（23-24高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在中，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【解析】由對(duì)數(shù)的定義可知，解得，且，故選：B．2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lga（）與lgb（）互為相反數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋ǎ┡c（）互為相反數(shù)，所以，所以.故選：C.3．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）將化為對(duì)數(shù)式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】化為對(duì)數(shù)式：，故選：B4．（23-24高一下·陜西西安·月考）（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】.故選：A5．（23-24高一上·北京·月考）若，則下列等式中正確是的是