2024高考數(shù)學(xué)講義：不等式

目錄

1.相等關(guān)系與不等關(guān)系2

2.比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小.........................................................4

2.1.［題組練透］...............................................................4

2.2.比較兩個(gè)數(shù)大小的常用方法................5

3.不等式的性質(zhì)與應(yīng)用............................................................5

3.1.角度一不等式命題的推論................................................

3.2.角度二求代數(shù)式的取值范圍6

4.基本不等式...................................................................8

5.利用基本不等式求最值.......................................................10

5.1.角度一配湊法求最值....................................................10

5.2.角度二常數(shù)代換法求最值................................................11

5.3.角度三消元法求最值....................................................11

6.消元法在基本不等式求最值中的應(yīng)用..........................................12

7.利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題................................................13

8.利用基本不等式求解實(shí)際問(wèn)題................................................13

8.1.技巧一加上一個(gè)數(shù)或減去一個(gè)數(shù)使和或積為定值..........................14

8.2.技巧二平方后再使用基本不等式.........................................15

8.3.技巧三展開(kāi)后求最值....................................................15

8.4.技巧四形如以丁型函數(shù)變形后使用基本不等式.........................15

8.5.技巧五用“1”的代換法求最值............................................16

8.6.技巧六代換減元求最值................................................16

8.7.技巧七建立求解目標(biāo)不等式求最值.....................................17

9.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式..............................................18

9.1.三個(gè)“二次”間的關(guān)系......................18

9.2.不含參數(shù)的一元二次不等式的解法..........20

10.解一元二次不等式的4個(gè)步驟................................................21

11.解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟............................................22

12.一元二次不等式恒成立問(wèn)題...................................................23

12.1.角度一形如於）20如）W0）（x￡R）的不等式確定參數(shù)的范圍...............23

12.2.角度二形如五工）20?！辏邸?，田）的不等式確定參數(shù)范圍.....................23

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12.3.角度三形如人外＞0（/￡團(tuán)，勿）的不等式確定參數(shù)范圍.....................24

13.給定參數(shù)范圍求x范圍的恒成立問(wèn)題的解法....................................25

1.相等關(guān)系與不等關(guān)系

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測(cè)

考情分析：不等式性質(zhì)在高考中單獨(dú)命題

較少，多出現(xiàn)在解題過(guò)程中，其中不等式性

梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握

質(zhì)與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合將是高考的熱

不等式的性質(zhì).

點(diǎn)，題型以選擇題為主.

學(xué)科素養(yǎng)：邏輯推理.

I整知識(shí)I.............................................?

1.實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系

g—b>O<^a>b；u—b=O^>a=b；g—b<O^a<b.

2.等式的性質(zhì)

(1)如果4=〃，那么〃=出

(2)如果4=/?,b=c,那么4=C；

(3)如果a=b,那么a±c=b±c；

(4)如果。=Z?,那么ac=be；

(5)如果a=/?,c#0,那么?=~.

LV-

3.不等式的基本性質(zhì)

(1)對(duì)稱性：a>h^>h<ai

(2)傳遞性：a>b,b>c=^a>c；

(3)可加性：a>b=>a+c>b~\~cfa>b,c>d=a+cZ〃+d；

(4)可乘性：a>b,c>On〃c>bc,

a>b>0,c>d>。=ac>bd；

(5)可乘方：”21)；

(6)可開(kāi)方：a>b>O=>，\[ci(〃WN,〃22).

不等式的兩類常用性質(zhì)

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(1)倒數(shù)性質(zhì)

①4匕,ab>0=：V、；

②aVbVg：>7；

C<L/

J

③a>b>30<c<6/=>-；

?0<a<x<b或<7<x</?<0=>!$4.

(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

若a>b>Of/w>0,則

①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

b<?+/〃bb-m

>--(Z-?-—/77>O)；

ciaa~in

②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

aa+maa-m

><(。一〃z>0).

~bb+m'bb-m

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)〃，〃之間，有日.只有a=b,三種關(guān)系中的一

種?()

(2)若￡>1,則。》.()

(3)同向不等式具有可加性和可乘性.()

(4)兩個(gè)數(shù)的比值大于1,則分子不一定大于分母.()

答案:⑴J(2)X(3)X(4)J

2.(多選)(必修5P74例1改編)下列結(jié)論正確的是()

A.若a>b,c>0,貝ljac>bc

B.若a>b,0(),則?！怠?/p>

C.若a>b,則a-\-c>b-\~c

D.若a>b,則a-c>b—c

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3

3.若實(shí)數(shù)〃比較加+2與寸的大小.

3m2—in-1nt1+機(jī)+1

解析：〃z+2一a

1—mm~1

Vm2+/w+1>0恒成立，

3

???當(dāng)時(shí)，"?+2>「—

1~m

當(dāng)〃zVI時(shí)，〃，+2<宣

2.2.比較兩個(gè)數(shù)大小的常用方法

［注意］對(duì)于一些題目，有的給出取值范圍，可采用特值臉證法比較大小.

3.不等式的性質(zhì)與應(yīng)用

3.1.角度一不等式命題的推論

(1)(2020.湖北鄂州鄂南高中月考)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足c4<o,那

么“4C<0”是“成立的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

(2)(多選)對(duì)于任意實(shí)數(shù)〃，b,c,d,則下列命題正確的是()

A.若ac^bc2,則

B.若a>b,c>d,則a+c>b+d

C.若a>b,c>d>貝ijac>bd

D.若a>b,則!>!

(1)B(2)AB［⑴若ac、<0,且(:<力<。，則必有c<0<4,由。>c,ez>0,得

故由4c<0可推出4b若ab>ac,且c<b<a,則。>0.事實(shí)上，若

()<C</?<67,貝|J〃C>().故曰推不出QC<().因此，“好<()”是“成立的

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充分不必要條件.故選B.

(2)若a(r>bc2,貝4a>b,A對(duì)；

由不等式同向可加性，若a>b,c>d,貝Ua+c>/?+d,B對(duì)；當(dāng)。=2,b=1,

c=—1,d=—2時(shí)，有〃>/?,c>d,但ac=bd,C錯(cuò).令。=—1,/?=—2,則(

弓.D錯(cuò)，故選AB.]

判斷關(guān)于不等式的命題的真假的方法

(1)直接運(yùn)用不等式的性質(zhì)：把要判斷的命題和不等式的性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考

慮，找到與命題相近的性質(zhì)，然后進(jìn)行推理判斷.

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利

用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、察函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.

(3)特殊值驗(yàn)證法：給要判斷的幾個(gè)式子中涉及的變量取一些特殊值，然后

進(jìn)行比較、判斷.

3.2.角度二求代數(shù)式的取值范圍

11一己知一l<x<4,2<)，<3,則x-y的取值范圍是,3x+2y的取

值范圍是________.

解析：V—2<)<3,/.—3<_2,

-4<比一y<2.

由—1<v<4,2<y<3,得—3<3x<12,4V2y<6,

/.l<3x+2y<18.

答案:(-4,2)；(I,18)

1.利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的方法

由。勺(x,))</?,c、<g(x,y)<d,求F(x,y)的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解

決，即設(shè)F(x,)，)=〃次居y)+〃g(x，y)(或其他形式)，通過(guò)恒等變形求得機(jī)，〃的

值，再利用不等式的同向可加性和可乘性求得尸(x,)，)的取值范圍.

2.此類問(wèn)題的一般解法

(1)建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系；

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（2）通過(guò)“一次性”使用不等式的運(yùn)算求得整體范圍.

1.若a〈b〈O,則下列不等式不能成立的是（

A.\a\>\h\B.a2>ab

DI*a<b<09得間>|例，A成立；因?yàn)榛鸹?,所以。2>°也B成立；因?yàn)?/p>

a<b<0t所以:>1,C成立；當(dāng)a=-2,b=—\時(shí)，已了=—1,:=一；，

丁丁不成立.故迄D.］

2.（多選）（2020?山東泰安四中月考）下列說(shuō)法正確的是（）

A.若〃>仍|,則於坊2

B.若a>b,c>d,則a—c>Z?—d

C.若a>b,c>d,則ac>bd

D.若a>b>0,c<0,則、吟.

vt

AD［對(duì)于A,因?yàn)椤?gt;依20,根據(jù)不等式的性質(zhì)可得。2>店，A正確；對(duì)于

B,取〃=3,b=2,c=—1,d=-3,滿足c>d.而3—（―1）=4<2—（-3）=

5,即〃一c<b—d,所以B不正確；對(duì)于C,取Q=2,b=1,c=—2,d=-3,

滿足a>b,c>d,但是ac=-4<bd=-3,所以C不正確；對(duì)于D,因?yàn)閍>b>0,

c<（）,所以］>0,-0（）,所以手>~，所以§，D正確.綜上可知,

AD正確.］

3.若一1令<），<3,求x-y的取值范圍.

解析：因?yàn)橐?<Y<3,-1<}<3,所以一3<一產(chǎn)1,所以一4a一）（4.又因?yàn)?/p>

x<y9所以x—），<（）,所以一44一產(chǎn)0,即x-y的取值范圍是（一4,0）.

［友情提示1每道習(xí)題都是一個(gè)高考點(diǎn)，每項(xiàng)訓(xùn)練都是對(duì)能力的檢驗(yàn)，認(rèn)真

對(duì)待它們吧！進(jìn)入“課時(shí)作業(yè)（三：r,去收獲希望，體驗(yàn)成功！本欄目?jī)?nèi)容以活

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4.基本不等式

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測(cè)

考情分析：利用基本不等式求最

1.掌握基本不等式向《等①，

值、證明不等式、求參數(shù)的取值范圍等

/?>()).仍是高考熱點(diǎn)，多出現(xiàn)在解答題的運(yùn)算

2.結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式中.

解決簡(jiǎn)單的求最大值或最小值的問(wèn)題.學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

V學(xué)生用書(shū)P16

I整知識(shí)I..............................?>

1.基本不等式：板W號(hào)

(1)基本不等式成立的條件是心0,Q0.

(2)等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

(3)其中鋁稱為正數(shù)小■的算術(shù)平均數(shù),我稱為正數(shù)小?的幾何平

均數(shù).

2.利用基本不等式求最值問(wèn)題

已知心>(),)，>(),則

(1)如果積犯是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值是2g(簡(jiǎn)

記：積定和最小).

2

(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),xy有最大值是,(簡(jiǎn)

記：和定積最大).

?常用結(jié)論

1.活用幾個(gè)重要的不等式

足+白》2ab(a,Z?eR)；A22(〃，〃同號(hào)).

2,①+321/+序

S，Z?eR)；—(a〃￡R).

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2.巧用“拆”“拼”“湊”

在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基

本不等式中“正”“定”“等”的條件.

I練基礎(chǔ)I................................

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)函數(shù)y=x+!的最小值是2.()

q?b

(2)當(dāng)620時(shí)，2.()

(3)兩個(gè)不等式序+/22,力與卑2匹成立的條件是相同的.()

答案:⑴X(2)7(3JX

2.若.。()，)>(),且x+)，=18,則G的最大值為()

A.9B.18

C.36D.81

A[因?yàn)閤+y=18,_￥>(),/>(),所以而，W王?=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時(shí),

等號(hào)成立.]

3.(多選)若d8WR,且">0,則下列不等式中，恒成立的是()

A.cr+kr^lahB.a+b^2\[ab

C.~+T>-^=D.~+T22

。byjabab

AD[Va2-hb2—2ab=(a—b)2^0,「?選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,C,當(dāng)。VO,bV()時(shí)，明顯錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,；+￡>2?苴=21

4.(必修5P100練習(xí)T1改編)當(dāng)Q>1時(shí)，x+不、的最小值為

解析：當(dāng)Q1時(shí)，工+占=L1+占+1》

2、(I)X±+]=3,當(dāng)且僅當(dāng)x—匚士,即沖2時(shí)等號(hào)成

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立.

答案：3

5.(必修5P1OO練習(xí)T2改編)若把總長(zhǎng)為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，

則矩形場(chǎng)地的最大面積是n?.

解析：設(shè)一邊長(zhǎng)為xm,則另一邊長(zhǎng)可表示為(10—x)m,由題意可知

()<￥<1(),

￥*-4-10---Y

則面積S=x(10一工)~5—~>=25,

當(dāng)且僅當(dāng)工=10—工，即x=5時(shí)等號(hào)成立，

故當(dāng)矩形的長(zhǎng)與寬相等，且都為5m時(shí)面積取到最大值25m，

答案：25

5.利用基本不等式求最值

5.1.角度一配湊法求最值

E3T⑴設(shè)0<1<|，則函數(shù)尸443—20的最大值為；

(2)3*+3的最小值為

解析：⑴???OvQ,?.3-2x>0,

9

-

y=4x(3-2X)=2[2X3_2X)]W2[2"+法)-2

3

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3—2x,即時(shí)，等號(hào)成立.

二?函數(shù)y=4x(3—2x)(0<x<1)的最大值為?.

(2)3*+含=3(?+1)+3-32243”1).備-3=2718

-3=6^2-3,當(dāng)且僅當(dāng)/=啦-1時(shí)等號(hào)成立，故6啦一3.

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3

答案-

2

華

納升

導(dǎo)歸

配奏法

，利用

關(guān)鍵

數(shù)是

、湊常

系數(shù)

，拼

變形

靈活

式的

代數(shù)

在于

實(shí)質(zhì)

法的

配湊

：

問(wèn)題

面的

個(gè)方

下幾

意以

應(yīng)注

最值

求解

的調(diào)

中常數(shù)

及等式

變化以

系數(shù)的

意利用

礎(chǔ)，注

式為基

，以整

技巧

湊的

(1)配

形；

價(jià)變

到等

整，做

；

目標(biāo)

值為

的定

或積

出和

配湊

形以

的變

數(shù)式

(2)代

提.

式的前

本不等

利用基

意檢驗(yàn)

項(xiàng)應(yīng)注

項(xiàng)、添

(3)拆

值

求最

換法

數(shù)代

二常

.角度

5.2

為.

小值

的最

2〃+6

),則

(1,2

))過(guò)點(diǎn)

0,/?(

1(。＞

+叁=

線?

若直

醞

2

1

+

解析8

_一