第五章圓8正多邊形和圓基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1正多邊形的畫(huà)法1.尺規(guī)作圖具有特殊的魅力.傳說(shuō)拿破侖通過(guò)下列尺規(guī)作圖考他的大臣(如圖所示):①將半徑為r的☉O六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六個(gè)分點(diǎn);②分別以點(diǎn)A,D為圓心,AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,G是兩弧的一個(gè)交點(diǎn);③連接OG.問(wèn):OG的長(zhǎng)是多少?大臣給出的正確答案應(yīng)是()A.3r B.1+22r C.1+322.(2023甘肅武威中考)1672年,丹麥數(shù)學(xué)家莫爾在他的著作《歐幾里得作圖》中指出:只用圓規(guī)可以完成一切尺規(guī)作圖.1797年,意大利數(shù)學(xué)家馬斯凱羅尼又獨(dú)立發(fā)現(xiàn)此結(jié)論,并寫(xiě)在他的著作《圓規(guī)的幾何學(xué)》中.請(qǐng)你利用數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,完成下面的作圖題:如圖,已知☉O,A是☉O上一點(diǎn),只用圓規(guī)將☉O的圓周四等分.(按如下步驟完成,保留作圖痕跡)①以點(diǎn)A為圓心,OA長(zhǎng)為半徑,自點(diǎn)A起,在☉O上逆時(shí)針?lè)较蝽槾谓厝B=BC=CD;②分別以點(diǎn)A,點(diǎn)D為圓心,AC長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于☉O上方點(diǎn)E;③以點(diǎn)A為圓心,OE長(zhǎng)為半徑作弧交☉O于G,H兩點(diǎn).則點(diǎn)A,G,D,H將☉O的圓周四等分.3.如圖,已知等邊△ABC,請(qǐng)用直尺(不帶刻度)和圓規(guī),按下列要求作圖(不要求寫(xiě)作法,但要保留作圖痕跡):(1)作△ABC的外心O;(2)設(shè)D是AB邊上一點(diǎn),在圖中作出一個(gè)正六邊形DEFGHI,使點(diǎn)F,點(diǎn)H分別在邊BC和AC上.備用圖知識(shí)點(diǎn)2正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)及計(jì)算4.一個(gè)正多邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn)40°后與原正多邊形第一次重合,則這個(gè)正多邊形()A.是軸對(duì)稱圖形,但不是中心對(duì)稱圖形 B.是中心對(duì)稱圖形,但不是軸對(duì)稱圖形C.既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形 D.既不是軸對(duì)稱圖形,又不是中心對(duì)稱圖形5.(2023安徽中考)如圖,正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O,連接OC,OD,則∠BAE-∠COD=()A.60° B.54° C.48° D.36°6.(2023山東東營(yíng)文華學(xué)校期末)如圖,一個(gè)亭子的地基是半徑為4m的正六邊形,則該正六邊形地基的面積是()A.24m2 B.243m2 C.48m2 D.483m2第6題圖第7題圖7.如圖,☉O是正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的外接圓,則正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的周長(zhǎng)之比為()A.22∶3 B.2∶1 C.2∶3 D.1∶38.(2023上海中考)如果一個(gè)正多邊形的中心角是20°,那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為.9.如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,∠ABC=125°,∠BOC=80°,AB是圓內(nèi)接正n邊形的一邊,則n等于.第9題圖第10題圖10.(2021內(nèi)蒙古赤峰中考)如圖,在擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六邊形螺帽時(shí),扳手張開(kāi)的開(kāi)口b=20mm,則邊長(zhǎng)a=mm.11.(2021河北中考)如圖,☉O的半徑為6,將該圓周12等分后得到表盤(pán)模型,其中整鐘點(diǎn)為An(n為1~12的整數(shù)),過(guò)點(diǎn)A7作☉O的切線交A1A11的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.(1)連接A7A11,則A7A11和PA1有什么特殊位置關(guān)系?請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;(2)求PA7的長(zhǎng).能力提升全練12.(2023福建中考)我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”,即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來(lái)近似估算,指出“割之彌細(xì),所失彌少.割之又割,以至于不可割,則與圓周合體,而無(wú)所失矣”.“割圓術(shù)”孕育了微積分思想,他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416.如圖,☉O的半徑為1,運(yùn)用“割圓術(shù)”,以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)☉O的面積,可得π的估計(jì)值為33A.3 B.22 C.3 D.2313.(2020四川涼山州中考)如圖,等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于☉O,則AD∶AB=()A.22∶3 B.2∶3 C.3∶2 D.3∶2214.(2021山東濰坊奎文期末)如圖,☉O是正八邊形ABCDEFGH的外接圓,則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是.①DF的度數(shù)為45°; ②AE=2DF;③△ODE為等邊三角形; ④S正八邊形ABCDEFGH=AE·DF.15.(2022浙江金華中考)如圖1,正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O,閱讀以下作圖過(guò)程,并回答下列問(wèn)題:作法:如圖2.1.作直徑AF.2.以F為圓心,FO為半徑作圓弧,與☉O交于點(diǎn)M,N.3.連接AM,MN,NA.(1)求∠ABC的度數(shù);(2)△AMN是正三角形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)從點(diǎn)A開(kāi)始,以DN長(zhǎng)為半徑,在☉O上依次截取點(diǎn),再依次連接這些分點(diǎn),得到正n邊形,求n的值.圖1 圖2素養(yǎng)探究全練16.(2023河北中考)將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上,其俯視圖如圖1,正六邊形邊長(zhǎng)為2且各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線l上.兩側(cè)螺母不動(dòng),把中間螺母抽出并重新擺放后,其俯視圖如圖2,其中,中間正六邊形的一邊與直線l平行,有兩邊分別經(jīng)過(guò)兩側(cè)正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn).(1)∠α=度;

(2)圖2中,中間正六邊形的中心到直線l的距離為(結(jié)果保留根號(hào)).

圖1 圖2

第五章圓8正多邊形和圓答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.D如圖,連接CD,AC,DG,AG.∵AD是☉O的直徑,∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中,AD=2r,∠DAC=30°,∴AC=3r.由題意得直線OG為線段AD的垂直平分線,且DG=AG=AC=3r,OD=OA=r,∴OG⊥AD.∴∠GOA=90°.∴OG=AG2-OA22.解析如圖,點(diǎn)A,G,D,H將☉O的圓周四等分.3.解析(1)如圖所示,點(diǎn)O即為所求.(2)分別在△ABC的三邊上截取BF=CH=AD,得等邊△DFH;再作△DFH三邊的垂直平分線,確定△DFH的外心O;最后作△DFH的外接圓,與△DFH三邊的垂直平分線分別交于點(diǎn)E、G、I,順次連接D、E、F、G、H、I、D.如圖所示,六邊形DEFGHI即為所求作的正六邊形.(作圖方法不唯一)4.A∵360°40°5.D∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴∠BAE=(5-2)×180°5=108°,∠COD=360°∴∠BAE-∠COD=108°-72°=36°,故選D.6.B下圖是正六邊形地基的草圖,點(diǎn)O是中心,連接OB,OC,過(guò)O作OM⊥BC于M,則OB=OC=4m.∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴∠BOC=360°6∵OB=OC,∴△OBC是等邊三角形.∴∠BCO=60°,BC=CO=BO=4m,∴OM=OC·sin∠BCO=4×sin60°=23(m).∴S△OBC=12BC·OM=12×4×23=43(m∴S正六邊形ABCDEF=6S△OBC=243m2.故選B.7.A設(shè)☉O的半徑為r,則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2r,正六邊形AEFCGH的邊長(zhǎng)為r,所以正方形ABCD的周長(zhǎng)與正六邊形AEFCGH的周長(zhǎng)之比為42r∶6r=22∶3.故選A.8.答案18解析360°÷20°=18,故這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為18.9.答案12解析如圖,連接AO.∵∠BAC=12∠BOC,∠BOC=80°,∴∠BAC=1∵∠ABC=125°,∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=15°.∴∠AOB=30°.∵AB是圓內(nèi)接正n邊形的一邊,∴n=360°30°10.答案20解析如圖,設(shè)點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心,連接OC,OD,過(guò)O作OH⊥CD于H.則∠COD=360°6∵OC=OD,∴∠COH=12∠COD=30°,CH=DH=12CD,∵OH=12∴CH=10×tan30°=103∴a=2CH=20311.解析(1)PA1⊥A7A11.理由:如圖,連接A1A7,易知A1A7是☉O的直徑,∴∠A7A11A1=90°.∴PA1⊥A7A11.(2)∵直線PA7是☉O的切線,∴PA7⊥A1A7.∴∠PA7A1=90°.如圖,連接OA11,由題意知∠PA1A7=12∠A7OA11=60°,A1A7=12,∴PA7=A1A7·tan60°=123能力提升全練12.C如圖,AB是正十二邊形的一條邊,點(diǎn)O是正十二邊形的中心,OA、OB是正十二邊形的半徑,設(shè)OA=OB=1,過(guò)A作AM⊥OB于M.在正十二邊形中,∠AOB=360°÷12=30°,∴AM=12OA=12.∴S△AOB=12OB·AM=12×1×∴正十二邊形的面積為12×14∴3≈12×π,∴π≈3.∴π的近似值為3,故選C.13.B如圖,連接OA,OB,OD,過(guò)O作OH⊥AB于H,則AH=BH=12∵正方形ADEF和等邊三角形ABC都內(nèi)接于☉O,∴∠AOB=120°,∠AOD=90°.∵OA=OD=OB,∴△AOD是等腰直角三角形,∠AOH=∠BOH=12∴AD=2OA,AH=OA·sin60°=32∴AB=2AH=2×32OA=3∴ADAB=2OA314.答案②④解析連接OF(圖略).∵∠DOE=∠EOF=360°8=45°,∴∠DOF=90°.∴DF∵∠DOF=90°,OD=OF,∴OD=22∴AE=2DF.故②正確.∵∠DOE=45°,∴△ODE不可能為等邊三角形,故③錯(cuò)誤.∵S四邊形ODEF=12DF·OE,∴S正八邊形ABCDEFGH=4S四邊形ODEF=2DF·OE.∵OE=1∴S正八邊形ABCDEFGH=AE·DF,故④正確.15.解析(1)∵五邊形ABCDE為正五邊形,∴∠ABC=(5-2)×180°5(2)△AMN是正三角形.理由如下:如圖,連接ON,FN,由作圖知FN=FO.∵ON=OF,∴ON=OF=FN,∴△OFN是正三角形,∴∠OFN=60°,∴∠AMN=∠OFN=60°.同理可得,∠ANM=60°,∴∠MAN=60°,∴△AMN是正三角形.(3)∵AN的度數(shù)=2∠AMN=120°,AD的度數(shù)=2AE的度數(shù)=2×360°5∴DN的度數(shù)=AD的度數(shù)-AN的度數(shù)=144°-120°=24°,∴n=360°24°素養(yǎng)探究全練16.答案(1)30(2)23解析(1)如圖所示,∵多邊形是正六邊形,∴∠ACB=360°6∵BC∥直線l,∴∠ABC=90°.∴∠α=9