PAGE棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.若某長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為1,2,3,則該長(zhǎng)方體的表面積為 ()A.22 B.20 C.10 D.11解析:所求長(zhǎng)方體的表面積S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22.答案:A2.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則三棱錐D1-ACD的體積是 ()A.16 B.13 C.解析:三棱錐D1-ACD的體積V=13S△ACD×D1D=13×12答案:A3.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,假如AB=3,AC=1,AA1=2,那么直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為 ()A.2 B.3 C.4 D.6解析:因?yàn)锳B⊥AC,所以S△ABC=AB·AC2所以V棱柱ABC-A答案:B4.如圖所示,某幾何體的下半部分為正方體ABCD-A'B'C'D',上半部分為正四棱錐S-ABCD,若幾何體的高為5,棱AB=2,則該幾何體的體積為12.解析:V正方體=23=8,V四棱錐S-ABCD=13×22×(5-2)=4.所以該幾何體的體積V=V正方體+V四棱錐S-ABCD=125.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,截下一個(gè)棱錐C-A1DD1,求棱錐C-A1DD1的體積與剩余部分的體積之比.解:已知長(zhǎng)方體可以看成直四棱柱,設(shè)它的底面ADD1A1的面積為S,高為h,則它的體積為V=Sh.而棱錐C-A1DD1的底面積為12S,高為h故V棱錐C-A1DD1=余下部分的體積為Sh-16Sh=5所以棱錐C-A1DD1的體積與剩余部分的體積之比為1∶5.B級(jí)實(shí)力提升6.已知長(zhǎng)方體中過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)的比是1∶2∶3,體對(duì)角線的長(zhǎng)是214,則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是 ()A.6 B.12 C.24 D.48解析:設(shè)長(zhǎng)方體中過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為x,2x,3x,又體對(duì)角線長(zhǎng)為214,則x2+(2x)2+(3x)2=(214)2,解得x=2.所以三條棱長(zhǎng)分別為2,4,6.所以V長(zhǎng)方體=2×4×6=48.答案:D7.在三棱錐P-ABC中,D,E分別為PB,PC的中點(diǎn),記三棱錐D-ABE的體積為V1,三棱錐P-ABC的體積為V2,則V1V2解析:如圖所示,設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h,三角形PAB的面積為S,則V2=13Sh,V1=V棱錐E-ADB=13×12S×12h=112Sh,8.如圖所示,已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V,P是DD1的中點(diǎn),Q是AB上的動(dòng)點(diǎn),求三棱錐P-CDQ的體積.解:設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為AB=a,BC=b,AA1=c,則有V=abc.由題意知,PD=12c,S△CDQ=12CD·AD=1所以V三棱錐P-CDQ=13S△CDQ·PD=13×12ab×12c=19.有位油漆工用一把長(zhǎng)度為50cm,橫截面半徑為10cm的圓柱形刷子給一塊面積為10m2的木板涂油漆,且圓柱形刷子以每秒5周的速度在木板上勻速滾動(dòng)前進(jìn),則油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間是多少?(精確到0.01s)解:由題意可知,圓柱形刷子滾動(dòng)一周涂過(guò)的面積就等于圓柱的側(cè)面積,50cm=0.5m,10cm=0.1m.因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為S側(cè)=2π×0.1×0.5=0.1π(m2),且圓柱形刷子以每秒5周的速度勻速滾動(dòng),所以圓柱形刷子每秒滾過(guò)的面積為0.5πm2.所以油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間t=100.5π=20πC級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.開(kāi)放性問(wèn)題現(xiàn)有一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體禮品盒,須要買(mǎi)一張正方形彩紙將其完全包住,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案,在不將彩紙撕開(kāi)的狀況下,所買(mǎi)彩紙費(fèi)用最少.(注:彩紙按面積收費(fèi))解:如圖①為棱長(zhǎng)為1的正方體禮品盒,先把正方體