第2章《圓與方程》培優(yōu)訓(xùn)練（二）（滿分150分時間：90分鐘）班級姓名得分一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的.）1．在平面直角坐標(biāo)系中，圓，若圓上存在以為中點的弦，且，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】本題的實質(zhì)是圓上存在兩點，使.若，為切線，則可求得.過向圓引的兩條切線的夾角不小于時，，進(jìn)而求得答案.【詳解】為的中點，且，為直角三角形，，若，為切線，且，則，在中，，，，則，過點向圓引的兩條切線的夾角不小于時，滿足題意，則圓心到的距離不大于，即，解得.故選：C.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化的思想，難度較大.2．已知圓與圓，過動點分別作圓、圓的切線，，（分別為切點），若，則的最小值是A．5 B． C． D．【答案】D【分析】P的軌跡為線段的中垂線：，由，得到的最小值是點到直線的距離的平方，由此能求出結(jié)果．【詳解】∵圓與圓，∴，，∵過動點分別作圓、圓的切線，，（，分別為切點），，∴P的軌跡為線段的中垂線，線段的中點坐標(biāo)為，線段的斜率，的中垂線所在直線的斜率為，∴P的軌跡方程為，即，∵表示點與距離的平方，∴的最小值是點到直線的距離的平方，∴的最小值為：．故選：D．【點睛】本題考查圓的切線，考查點到直線的距離，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于?？碱}.3．直線與曲線有且僅有一個公共點，則的取值范圍是A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】把曲線方程整理后可知其圖象為半圓，畫出圖象，要使直線與曲線有且僅有一個交點，從圖上看出其三個極端情況分別是：直線在第四象限與曲線相切，交曲線于和另一個點，及與曲線交于點，分別求出，則的范圍可得．【詳解】解：曲線有即，表示一個半圓（單位圓位于軸及軸右側(cè)的部分），如圖，設(shè)、、，當(dāng)直線經(jīng)過點時，，求得，此時只有一個公共點，符合題意；當(dāng)直線經(jīng)過點、點時，，求得，此時有2個公共點，不符合題意；當(dāng)直線和半圓相切時，由圓心到直線的距離等于半徑，可得，求得或（舍去），即：時，只有一個公共點，符合題意，綜上得，實數(shù)的范圍為或，故選：A．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，對于此類問題除了用聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為方程的根的問題之外，可用數(shù)形結(jié)合的方法較為直觀.4．已知圓與交于兩點，其中一交點的坐標(biāo)為，兩圓的半徑之積為9，軸與直線都與兩圓相切，則實數(shù)（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知連心線過原點,故設(shè)連心線,再代入,根據(jù)方程的表達(dá)式分析出是方程的兩根,再根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合兩圓的半徑之積為9求解即可.【詳解】因為兩切線均過原點,有對稱性可知連心線所在的直線經(jīng)過原點,設(shè)該直線為,設(shè)兩圓與軸的切點分別為,則兩圓方程為：,因為圓與交于兩點,其中一交點的坐標(biāo)為.所以①,②.又兩圓半徑之積為9,所以③聯(lián)立①②可知是方程的兩根,化簡得,即.代入③可得,由題意可知,故.因為的傾斜角是連心線所在的直線的傾斜角的兩倍.故,故.故選：A【點睛】本題主要考查了圓的方程的綜合運用,需要根據(jù)題意列出對應(yīng)的方程,結(jié)合韋達(dá)定理以及直線的斜率關(guān)系求解.屬于難題.5．在平面直角坐標(biāo)系中，和是圓上的兩點，且，點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】取中點為，延長至，使得，求出，根據(jù)已知求出的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，再利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】，取中點為，，且，延長至，使得，所以，因為，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，因為，所以.故選：A【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系和軌跡問題，考查向量的線性運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.6．若過原點的動直線將圓：分成兩部分的面積之差最大時，直線與圓的交點記為、；直線將圓分成兩部分的面積相等時，直線與圓的交點記為、；則四邊形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得出直線將圓分成兩部分面積相等即過圓心時，可得為直徑，當(dāng)直線將圓分成兩部分面積之差最大，此時，進(jìn)而求出，再根據(jù)，即可算出四邊形的面積.【詳解】直線將圓分成兩部分面積相等即過圓心時，可得為直徑，，要是分成兩部分面積之差最大,即過原點的弦長最短，弦心距最大，此時,在中，，則，那么.故選：D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，還考查直線與圓的弦長以及四邊形的面積，7．過點的直線與曲線交于兩點，若，則直線的斜率為A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】利用切割線定理求得，利用勾股定理求得圓心到弦的距離，從而求得，結(jié)合，求得直線的傾斜角為，進(jìn)而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分，圓心為，半徑為.設(shè)與曲線相切于點，則所以到弦的距離為，，所以，由于，所以直線的傾斜角為，斜率為.故選：A【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，8．已知集合A={（x，y）|（x﹣3﹣4cosq）2+（y﹣5﹣4sinq）2=4，θ∈R}，B={（x，y）|3x+4y﹣19=0}.記集合P=A∩B，則集合P所表示的軌跡的長度為A．8 B．8 C．8 D．8【答案】A【分析】由圓（x﹣3﹣4cosq）2+（y﹣5﹣4sinq）2=4的圓心為（3+4cosq，5+4sinq），可知其圓心的軌跡方程為（x﹣3）2+（y﹣5）2=16，易知動圓（x﹣3﹣4cosq）2+（y﹣5﹣4sinq）2=4所形成的圖形為圓環(huán)，利用垂徑定理結(jié)合圖像，即可得解.【詳解】集合A={（x，y）|（x﹣3﹣4cosq）2+（y﹣5﹣4sinq）2=4，θ∈R}，圓的圓心（3+4cosq，5+4sinq），半徑為2，所以圓的圓心的軌跡方程為：（x﹣3）2+（y﹣5）2=16，如圖：集合A的圖形是圖形中兩個圓中間的圓環(huán)部分，圓心C（3，5）到直線3x+4y﹣19=0的距離為：d2，所以，A∩B就是|MN|=228.故選：A.【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查了垂徑定理，同時考查了對動態(tài)圖像的直觀想象，屬于較難題.二、多選題9．設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（）A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上B．存在圓，經(jīng)過點C．存在定直線始終與圓相切D．若圓上總存在兩點到原點的距離為1，則【答案】AC【分析】對于A，考查圓心的橫縱坐標(biāo)關(guān)系即可判斷；對于B，把代入圓方程，由關(guān)于k的方程根的情況作出判斷；對于C，判斷圓心到直線距離與半徑的關(guān)系即可；對于D，圓與以原點為圓心的單位圓相交即可判斷作答.【詳解】對于A選項：圓心的軌跡為直線，即不論如何變化，圓心始終在一條直線上，A正確；對于B選項：圓中，時，，，關(guān)于k的方程無實根，B錯誤；對于C選項：選取直線l：，圓心直線l的距離，即直線l與圓相切，C正確；對于D選項：到原點距離為1的軌跡是單位圓O：，當(dāng)圓O與圓相交時滿足條件，此時，得或，D錯誤.故選：AC10．設(shè)，過定點M的直線：與過定點N的直線：相交于點P，線段是圓C：的一條動弦，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A．一定垂直 B．的最大值為C．點P的軌跡方程為 D．的最小值為【答案】AD【分析】對于A：分m=0和討論，判斷與是否垂直；對于B：在Rt△PMN中，設(shè)∠PMN=，利用直角三角形邊長關(guān)系表示出，利用三角函數(shù)求最值；對于C：用定義法求出軌跡方程；對于D：把轉(zhuǎn)化為，求的最小值即可.【詳解】對于A：m=0時，直線：與：垂直；時直線：的斜率，：的斜率為，因為，所以與垂直，綜上，一定垂直.故A正確；對于B：過定點，過定點，在Rt△PMN中，設(shè)，則.故B錯誤；對于C：由可得點P軌跡方程為().需要取得兩個點.故C錯誤；對于D：作，則，∴點D軌跡方程為.∵=，且的最小值為，∴的最小值為.故D正確.故選：AD【點睛】解析幾何問題解題的基本思路：（1）坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法.（2）解析幾何歸根結(jié)底還是幾何，根據(jù)題意畫出圖形，借助于圖形尋找?guī)缀侮P(guān)系可以簡化運算．11．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值（）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點滿足，設(shè)點的軌跡為圓，下列結(jié)論正確的是（）A．圓的方程是B．過點向圓引切線，兩條切線的夾角為C．過點作直線，若圓上恰有三個點到直線距離為2，該直線斜率為D．在直線上存在異于，的兩點，，使得【答案】ABD【分析】根據(jù)，，點滿足，設(shè)點，求出其軌跡方程，然后再逐項運算驗證.【詳解】因為，，點滿足，設(shè)點，則，化簡得：，即，故A正確；因為，所以，則，解得，故B正確；易知直線的斜率存在，設(shè)直線，因為圓上恰有三個點到直線距離為2，則圓心到直線的距離為：，解得，故C錯誤；假設(shè)存在異于，的兩點，，則，化簡得：，因為點P的軌跡方程為：，所以解得或（舍去），故存在，故D正確；故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)求出點的軌跡方程，進(jìn)而再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解.三、填空題12．圓：上存在點滿足：到原點的距離與到直線：的距離之比為，則的取值范圍為______．【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合，先確定使斜率最大,最小的P點位置,再借助,得到直線：的斜率取值范圍.【詳解】設(shè)于點，原點為,如圖，則存在點滿足,即,先求直線的斜率范圍，因為當(dāng)與圓相切時，即運動到位置時，容易得，所以,即直線的傾斜角或時，與圓有公共點，因為，所以問題轉(zhuǎn)化為的傾斜角滿足或時，存在點滿足條件，此時，而，，故直線：的斜率故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題根據(jù)條件推出，即直線與直線的夾角為，所以只需先確定的斜率范圍，確定出的傾斜角的范圍，即可確定直線傾斜角的范圍，得到直線的斜率范圍.13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直角△中，直角頂點A在直線上，頂點在圓上，則點A橫坐標(biāo)的取值范圍是__________．【答案】【分析】由題意畫出圖形，畫出以原點為圓心，以為半徑的圓，結(jié)合圖形分析推理，點A在這個圓截直線xy+4=0所得弦上時，滿足要求，列出不等式求解即得．【詳解】如圖所示，顯然直線xy+4=0與圓相交，當(dāng)點A為直線上的定點且在圓外，直線與圓相切時，∠BAC最大，點A是直線被圓所截弦上的點(除弦的端點外)時，點A對圓上兩點所張角在，點A在直線上從弦端點開始遠(yuǎn)離圓方向運動時，∠BAC逐漸變小，點A移動到某位置使得直線AB，AC為圓的切線，∠BAC就為直角，再沿著此方向移動，∠BAC將小于直角，則為點A的邊界位置，當(dāng)點A在處時，為正方形，則，則點A是以為圓心，為半徑的圓截直線xy+4=0所得弦上的點時符合要求，即直線上的點A在該圓及內(nèi)部，，令A(yù)(x,x+4)，則，點A橫坐標(biāo)的取值范圍是．故答案為：【點睛】(1)直線上的動點與圓的關(guān)系類問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形的幾何特征是解題的關(guān)鍵；(2)圓相外的定點向圓引的兩條切線夾角是該點對圓上兩點所張的角中最大的.14．已知是圓外一點，過作圓的兩條切線，切點分別為則的最小值為____________.【答案】【分析】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此確定出圓的半徑，設(shè)，根據(jù)長度表示出，然后根據(jù)向量的數(shù)量積計算公式求解，結(jié)合基本不等式求解出的最小值.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓的半徑為，設(shè)，則，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是將表示為有關(guān)的形式，通過統(tǒng)一變量利用基本不等式簡化求最值的方法，其中的計算需要借助圓的半徑去完成.四、解答題15．圓：，點為軸上一動點，過點引圓的兩條切線，切點分別為，.（1）若，求切線方程；（2）若兩條切線，與直線分別交于，兩點，求面積的最小值.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）設(shè)切線方程，利用圓心到切線距離等于半徑求得斜率即可得解；

（2）利用（1）的方法，當(dāng)切線斜率都存在時，設(shè)出直線方程，利用點到直線的距離公式可得到k的二次方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，用含k的式子去表示|AB|，可得最值，當(dāng)切線斜率有一個不存在是，也可求出|AB|，綜合可得|AB|的最小值，進(jìn)而可得面積的最小值.【詳解】解：（1）當(dāng)切線斜率存在時，可設(shè)切線方程為y＝k（x1），即kxyk＝0，

則圓心到切線的距離，解得，當(dāng)切線斜率不存在時，直線也符合題意

故所求切線方程為或，即或；

（2）當(dāng)兩條切線斜率都存在，即時，設(shè)切線方程為，即kxykt＝0，PM，PN的斜率為，

故圓心C到切線的距離，得，

∴，

在切線方程中令y＝1可得，

故，

∴，此時t＝0，當(dāng)兩條切線斜率有一條不存在，即時，不妨拿來計算，由（1）得切線方程為即或，令y＝1可得，此時，綜合得，

故的面積最小值為．【點睛】此題考查了圓的切線及最值問題，綜合性較強(qiáng)，注意要對斜率的存在性進(jìn)行分類討論，有一定的難度．16．已知以點C（）（t>0）為圓心的圓與y軸交于點O，A兩點，其中O為坐標(biāo)原點.（1）設(shè)直線與圓C交于M，N兩點，若，求圓C的方程；（2）在（1）的條件下，設(shè)P，Q分別是直線和圓C上的動點，求的最小值及此時點P的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）；.【分析】（1）由可得點O在MN的中垂線上，這樣可得，可求得值，從而得圓心坐標(biāo)和半徑，得圓方程；（2）求出關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)，則，而的最小值為到圓心距離減去半徑．由此計算可得．點是與直線的交點．【詳解】(1)由可得點O在MN的中垂線上，半徑為，（2）設(shè)A關(guān)于直線的對稱點為則中點為，，解得，所以則因為到圓上點Q的最短距離所以此時，解得，所以．【點睛】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查動點到定點與到圓上點的距離之和的最小值，最值問題一是利用對稱性，把點轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線的對稱點，二是把圓上的點轉(zhuǎn)化為圓心，由到圓心的距離加減半徑得最大值和最小值．17．已知三點??在圓上.為直線上的動點，與圓的另一個交點為與圓的另一個交點為.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相交所得弦長為，求點的坐標(biāo)；（3）證明：直線過定點.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）可得，故點在以線段為直徑的圓上，從而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為：，利用圓心到直線的距離為，求出參數(shù)的值，即可求出直線方程，從而求出點坐標(biāo)；（3）分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為：，聯(lián)立直線與圓的方程，消元，設(shè)列出韋達(dá)定理，表示出直線、的方程，代入的橫坐標(biāo)，即可得到方程，從而求出的關(guān)系，從而得解；【詳解】解：（1）由于??所以，故得，點在以線段為直徑的圓上，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）圓的半徑為2，直線截圓所得弦長為，則圓心到直線的距離為.設(shè)直線的方程為：，即.，解得：..則直線的方程為：，當(dāng)時，得點的坐標(biāo)為；（3）當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)其方程為：.取，由直線與交點的橫坐標(biāo)為6可得：，即此時直線的方程為：；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為：.由得：.由得：.設(shè)，則.且：.直線的方程為：，直線的方程為：，代入點的橫坐標(biāo)得：.由于，故有：.從而：，即：.即：，整理得：，解得或.當(dāng)時，直線為，過點，舍；當(dāng)時，直線為，過定點.綜上：直線過定點.【點睛】本題考查求動點的軌跡方程，直線與圓的綜合應(yīng)用，直線過定點問題18．已知一個動點在圓上移動，它與定點所連線段的中點為.（1）求點的軌跡方程；（2）過定點的直線與點的軌跡方程交于不同的兩點，，且滿足，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）設(shè)，動點，則：根據(jù)中點坐標(biāo)公式解得，代入即可得解；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線與圓交于，，此時，不合題意.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，則由消去得：，結(jié)合韋達(dá)定理，即可得解.【詳解】（1）設(shè)，動點，則：根據(jù)中點坐標(biāo)公式解得∵∴∴點的軌跡方程為（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線與圓交于，，此時，不合題意.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，則由消去得：∴又∵∴即故解得，經(jīng)檢驗滿足綜上所述，直線的方程為.【點睛】本題考查了相關(guān)點代入法求曲線方程，考查了利用韋達(dá)定理搭橋各個變量之間的關(guān)系解決問題，有一定的計算量，屬于較難題.19．已知圓與圓關(guān)于直線對稱,且點在圓上．(1)求圓的方程;（2）設(shè)為圓上任意一點,,,與不共線,

為的平分線,且交于.求證:與的面積之比為定值．【答案】（1）；（2）見解析.【分析】（1）由題意，求出圓的圓心關(guān)于直線的對稱點為和圓的半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.（2）因為為的角平分線上一點,推得，設(shè)，求得的值，進(jìn)而可進(jìn)行判斷.【詳解】（1）因