專題03數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）(典型例題+題型歸類練)一、必備秘籍1.構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（1）形如，可通過(guò)兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.（2）形如，可通過(guò)兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，換元令：，則原式化為：，先利用構(gòu)造法類型1求出，再求出的通項(xiàng)公式.（3）形如的數(shù)列，可通過(guò)兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.2.倒數(shù)法用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形為，可通過(guò)換元：，化簡(jiǎn)為：（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.）二、典型例題例題1．（2022·河南·汝州市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在數(shù)列中，，且.證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，符合構(gòu)造法的標(biāo)準(zhǔn)模型（類型2），左右兩邊同時(shí)加：“”解答過(guò)程：兩邊同時(shí)加“”：所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.故，即.感悟升華（核心秘籍）1、使用構(gòu)造法模型的標(biāo)準(zhǔn)（類型1）：標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）其中“待定系數(shù)”，作為核心模型直接記憶【答案】(1)證明見解析，解：因?yàn)?，所以，又，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.故，即.例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足：.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，符合構(gòu)造法的標(biāo)準(zhǔn)模型（類型2）左右兩邊同時(shí)除：“”解答過(guò)程：左右兩邊同時(shí)除：“”：由數(shù)列是首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列，即感悟升華（核心秘籍）1、使用構(gòu)造法模型的標(biāo)準(zhǔn)（類型2）：①②③注意對(duì)比例題2,3,4的技巧【答案】.由知：，而，∴數(shù)列是首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列，即，∴.例題3．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，符合構(gòu)造法的標(biāo)準(zhǔn)模型（類型2）左右兩邊同時(shí)除：“”解答過(guò)程：左右兩邊同時(shí)除：“”：由令，則原式變?yōu)椋簽榉奖闱蠼膺^(guò)程，換元判斷模型，使用待定系數(shù)法兩邊同時(shí)加“”，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為所以，即，所以，【答案】.在遞推公式的兩邊同時(shí)除以，得＝×＋，①令，則①式變?yōu)?，即，所以?shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，所以，即所以，例題4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，符合構(gòu)造法的標(biāo)準(zhǔn)模型（類型2）左右兩邊同時(shí)除：“”解答過(guò)程：左右兩邊同時(shí)除：“”：由所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，故；【答案】；因?yàn)椋?，則，又，所以.對(duì)兩邊同時(shí)除以，得，又因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，故；例題5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，求的通項(xiàng)公式.思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，符合倒數(shù)法的標(biāo)準(zhǔn)模型（類型1），兩邊同時(shí)取倒數(shù)解答過(guò)程：兩邊同時(shí)取倒數(shù)：，即所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，故；感悟升華（核心秘籍）1、使用倒數(shù)法模型的標(biāo)準(zhǔn)：（類型1），此類型取倒數(shù)化簡(jiǎn)后，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列【答案】.，兩邊取倒數(shù)得，即，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，故；例題6．（2022·黑龍江·龍江縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.為方便解答，可換元為方便解答，可換元思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，符合倒數(shù)法的標(biāo)準(zhǔn)模型（類型2），兩邊同時(shí)取倒數(shù)解答過(guò)程：兩邊同時(shí)取倒數(shù)：，即令，原式化簡(jiǎn)為：判斷模型，可用構(gòu)造法兩邊同時(shí)加“”所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)；感悟升華（核心秘籍）1、使用倒數(shù)法模型的標(biāo)準(zhǔn)：（類型2）形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形為，可通過(guò)換元：，化簡(jiǎn)為：，再用待定系數(shù)法.【答案】(1)解：因?yàn)?，所以，則，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以；三、題型歸類練1．（2022·廣東·廣州市禺山高級(jí)中學(xué)高二期中）數(shù)列中，，，，則______．【答案】##0.5∵，，則，.故答案為：.2．（2022·天津·二模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，數(shù)列滿足，且.求的通項(xiàng)公式；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)(2)證明見解析；(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，則，解得或（舍去），所以；(2)證明：因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；3．（2022·安徽宿州·高二期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)∵，等式兩邊同時(shí)加1整理得又∵，∴∴是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．∴，

∴4．（2022·北京豐臺(tái)·高二期中）已知數(shù)列，，.求數(shù)列的前5項(xiàng)；【答案】前5項(xiàng)依次為；由題設(shè)，而，所以是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，則，故的前5項(xiàng)依次為.5．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，.求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)證明見解析，解：因?yàn)?，，所以，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，求.【答案】解：因?yàn)椋裕?，∴是首?xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，故，∴.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1）因?yàn)?，令，則，又，所以，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，故；8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1）解：（1）由，可得=1，則數(shù)列是首項(xiàng)為=1，公差為1的等差數(shù)列，則=，即；9．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）數(shù)列滿足.令，求證：是等比數(shù)列；【答案】(1)證明見解析；∵，故，且，故，∴，，則，故是公比為的等比數(shù)列；10．（2022·全國(guó)·