PAGE課后素養(yǎng)落實(shí)(二)空間向量基本定理(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．若a與b不共線且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，則()A．m，n，p共線 B．m與p共線C．n與p共線 D．m，n，p共面D[p＝2a＝m＋n，即p可由m，n線性表示，所以m，n，p共面．]2．對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A，B，C，能得到P，A，B，C四點(diǎn)共面的是()A．eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))B．eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up9(→))C．eq\o(OP,\s\up9(→))＝－eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up9(→))D．以上皆錯(cuò)B[∵eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up9(→))，∴3eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))，∴eq\o(OP,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→))＝(eq\o(OB,\s\up9(→))－eq\o(OP,\s\up9(→)))＋(eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\o(OP,\s\up9(→)))，∴eq\o(AP,\s\up9(→))＝eq\o(PB,\s\up9(→))＋eq\o(PC,\s\up9(→))，∴eq\o(PA,\s\up9(→))＝－eq\o(PB,\s\up9(→))－eq\o(PC,\s\up9(→))，∴P，A，B，C共面．]3．給出下列命題：①若{a，b，c}可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可作為空間的基底；②已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；③A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若eq\o(BA,\s\up9(→))，eq\o(BM,\s\up9(→))，eq\o(BN,\s\up9(→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量組{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個(gè)基底．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4D[依據(jù)基底的概念，知空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底，否則就不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，明顯②正確．③中由eq\o(BA,\s\up9(→))，eq\o(BM,\s\up9(→))，eq\o(BN,\s\up9(→))共面且過(guò)相同點(diǎn)B，故A，B，M，N共面．下面證明①④正確．①假設(shè)d與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0，∴存在實(shí)數(shù)k，使d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，從而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c與a，b共面與條件沖突．∴d與a，b不共面．同理可證④也是正確的．]4．已知正方體ABCD-A′B′C′D′，點(diǎn)E是A′C′的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn)，且AF＝eq\f(1,2)EF，則eq\o(AF,\s\up9(→))等于()A．eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))B．eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up9(→))D．eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up9(→))D[由條件AF＝eq\f(1,2)EF知，EF＝2AF，∴AE＝AF＋EF＝3AF，∴eq\o(AF,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\o(A′E,\s\up9(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′C′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)(eq\o(A′D′,\s\up9(→))＋eq\o(A′B′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up9(→))．]5．已知i與j不共線，則存在兩個(gè)非零常數(shù)m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[若i與j不共線，且存在兩個(gè)非零常數(shù)m，n，使k＝mi＋nj，則由共面對(duì)量定理，知i，j，k共面．若i與j不共線，且k與i，j共面，則存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)m，n，使k＝mi＋nj，但m，n不肯定為非零常數(shù)．故選A．]二、填空題6．已知空間的一個(gè)基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝________，y＝________．1－1[因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))]7．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．用eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(AD,\s\up9(→))，eq\o(AA1,\s\up9(→))表示eq\o(OC1,\s\up9(→))，則eq\o(OC1,\s\up9(→))＝________．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))[eq\o(OC1,\s\up9(→))＝eq\o(OC,\s\up9(→))＋eq\o(CC1,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→)))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))．]8．如圖在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC和BD的交點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(AD,\s\up9(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up9(→))＝c，則eq\o(B1M,\s\up9(→))＝________．(用a，b，c表示)－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c[eq\o(B1M,\s\up9(→))＝eq\o(AM,\s\up9(→))－eq\o(AB1,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→)))－(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))－eq\o(AA1,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c．]三、解答題9．如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(AD,\s\up9(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up9(→))＝c，P是CA′的中點(diǎn)，M是CD′的中點(diǎn)，N是C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up9(→))；(2)eq\o(AM,\s\up9(→))；(3)eq\o(AN,\s\up9(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up9(→))．[解]連接AC，AD′，AC′(圖略)．(1)eq\o(AP,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(AA′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．(2)eq\o(AM,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(AD′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋2eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c．(3)eq\o(AN,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up9(→))＋eq\o(AD′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA′,\s\up9(→)))＋(eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA′,\s\up9(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋2eq\o(AD,\s\up9(→))＋2eq\o(AA′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c．(4)eq\o(AQ,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CQ,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up9(→))－eq\o(AC,\s\up9(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up9(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up9(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c．10．如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在棱B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1．(1)證明：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)若eq\o(EF,\s\up9(→))＝xeq\o(AB,\s\up9(→))＋yeq\o(AD,\s\up9(→))＋zeq\o(AA1,\s\up9(→))，求x＋y＋z的值．[解](1)證明：連接AC1(圖略)．因?yàn)閑q\o(AC1,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up9(→))＝(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up9(→)))＋(eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up9(→)))＝(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BE,\s\up9(→)))＋(eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→)))＝eq\o(AE,\s\up9(→))＋eq\o(AF,\s\up9(→))，所以eq\o(AC1,\s\up9(→))與eq\o(AE,\s\up9(→))，eq\o(AF,\s\up9(→))共面，又三者有公共點(diǎn)A，所以A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)閑q\o(EF,\s\up9(→))＝eq\o(AF,\s\up9(→))－eq\o(AE,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))－(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BE,\s\up9(→)))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up9(→))＝－eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up9(→))，∴x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，∴x＋y＋z＝－1＋1＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)．1．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別在棱BB1，BC，BA上，且滿(mǎn)意eq\o(BE,\s\up9(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BB1,\s\up9(→))，eq\o(BF,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up9(→))，eq\o(BG,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up9(→))，O是平面B1GF、平面ACE與平面B1BDD1的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)eq\o(BO,\s\up9(→))＝xeq\o(BG,\s\up9(→))＋yeq\o(BF,\s\up9(→))＋zeq\o(BE,\s\up9(→))，則x＋y＋z＝()A．eq\f(4,5) B．eq\f(6,5)C．eq\f(7,5) D．eq\f(8,5)B[因?yàn)閑q\o(BO,\s\up9(→))＝xeq\o(BG,\s\up9(→))＋yeq\o(BF,\s\up9(→))＋zeq\o(BE,\s\up9(→))＝xeq\o(BG,\s\up9(→))＋yeq\o(BF,\s\up9(→))＋eq\f(3z,4)eq\o(BB1,\s\up9(→))，又O在平面B1GF內(nèi)，所以x＋y＋eq\f(3z,4)＝1；同理可得eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＋z＝1．由O在平面B1BDD1內(nèi)，易得x＝y(tǒng)，解得x＝y(tǒng)＝eq\f(1,5)，z＝eq\f(4,5)，所以x＋y＋z＝eq\f(6,5)，故選B．]2．如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，P，Q是MN的三等分點(diǎn)(Q靠近點(diǎn)M)，則用向量eq\o(OA,\s\up9(→))，eq\o(OB,\s\up9(→))，eq\o(OC,\s\up9(→))表示eq\o(OQ,\s\up9(→))，正確的是()A．eq\o(OQ,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up9(→))B．eq\o(OQ,\s\up9(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up9(→))C．eq\o(OQ,\s\up9(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up9(→))D．eq\o(OQ,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up9(→))A[∵M(jìn)，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，P，Q是MN的三等分點(diǎn)(Q靠近點(diǎn)M)，∴eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(OB,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→))，eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\o(OB,\s\up9(→))，∴eq\o(MN,\s\up9(→))＝eq\o(MA,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BN,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up9(→))＋(eq\o(OB,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\o(OB,\s\up9(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up9(→))，∴eq\o(OQ,\s\up9(→))＝eq\o(OM,\s\up9(→))＋eq\o(MQ,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(MN,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up9(→))－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up9(→))．]3．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up9(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up9(→))＝5a－5b＋8c，對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，則eq\o(EF,\s\up9(→))＝________．向量eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(CD,\s\up9(→))，eq\o(EF,\s\up9(→))________(填“能”或“否”)構(gòu)成一組基底．3a－eq\f(5,2)b＋3c否[eq\o(EF,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(ED,\s\up9(→))＋eq\o(EB,\s\up9(→)))＝eq\f(1,4)(eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(CB,\s\up9(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→)))＝3a－eq\f(5,2)b＋3c．假設(shè)eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(CD,\s\up9(→))，eq\o(EF,\s\up9(→))共面，則eq\o(EF,\s\up9(→))＝λeq\o(AB,\s\up9(→))＋μeq\o(CD,\s\up9(→))＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝(λ＋5μ)a－5μb＋(8μ－2λ)c＝3a－eq\f(5,2)b＋3c．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋5μ＝3，,－5μ＝－\f(5,2)，,8μ－2λ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(1,2).))∴eq\o(EF,\s\up9(→))，eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(CD,\s\up9(→))共面，∴不能構(gòu)成一組基底．]4．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為正方體內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(包括表面)，若eq\o(AP,\s\up9(→))＝xeq\o(AB,\s\up9(→))＋yeq\o(AD,\s\up9(→))＋zeq\o(AA1,\s\up9(→))，且0≤x≤y≤z≤1，則點(diǎn)P全部可能的位置所構(gòu)成的幾何體的體積是________．eq\f(1,6)[依據(jù)向量加法的幾何意義和空間向量基本定理，滿(mǎn)意0≤x≤y≤1的點(diǎn)P在三棱柱ACD-A1C1D1內(nèi)；滿(mǎn)意0≤y≤z≤1的點(diǎn)P在三棱柱AA1D1-BB1C1內(nèi)，故同時(shí)滿(mǎn)意0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的點(diǎn)P在這兩個(gè)三棱柱的公共部分(如圖)，即三棱錐A-A1C1D1，其體積是eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6