四川省達(dá)州中學(xué)高2024級(jí)2024年秋季第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（共40分，每題5分.每個(gè)小題有且只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1.已知集合，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先列舉法表示集合，再判斷選項(xiàng).【詳解】由條件可知，，根據(jù)元素與集合的關(guān)系，以及集合與集合的關(guān)系，可知，.故選：C2.命題“，使得”的否定形式是（）A，使得 B.，使得C，使得 D.，使得【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，可直接得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，存在量詞命題“，使得”的否定形式為全稱量詞命題“，使得”．故選：D3.若為集合的四個(gè)元素，則以為邊長的四邊形可能為（）A.等腰梯形 B.菱形 C.直角梯形 D.矩形【答案】C【解析】【分析】利用集合的互異性結(jié)合排除法求解即可.【詳解】因?yàn)闉榧系乃膫€(gè)元素，所以這四個(gè)元素均不相等，而等腰梯形的兩腰相等，菱形的四條邊都相等，矩形的兩組對(duì)邊分別相等，故該四邊形不可能是等腰梯形，菱形，矩形，即A，B，D錯(cuò)誤，C正確.故選：C4.已知，，，均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若且，則【答案】C【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)及特例逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A，取，，，，則，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)，時(shí)，，但，不成立，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，C正確；選項(xiàng)D，根據(jù)糖水不等式可知，再根據(jù)倒數(shù)不等式可得，D錯(cuò)誤.故選:C．5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解二次不等式得，再根據(jù)必要不充分條件的概念判斷即可.【詳解】由得，由能推出，但推不出，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B6.已知，，若不等式恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由恒成立，所以恒成立，又因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以，即的最大值為，故A正確.故選：A.7.若、、是互不相等的正數(shù)，且，則下列關(guān)系中可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式及已知條件得到，從而得到，即可判斷.【詳解】∵、均為正數(shù)，且，∴．又∵，∴．∵，∴，故排除A、B、D．故選：C．8.設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，將轉(zhuǎn)化為雙變量的式子，再根據(jù)基本不等式求得的最大值，并結(jié)合取等條件轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)求得其最值.【詳解】根據(jù)題意，正實(shí)數(shù)，，滿足，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則此時(shí)，當(dāng)取得最大值時(shí)，，分析可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值2．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題（共18分，每題6分.每個(gè)題有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)得0分.）9.已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A若且，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值代入法排除A，利用不等式的基本性質(zhì)可判斷BCD，得出結(jié)論．【詳解】對(duì)于A，不妨令，，滿足,，不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，由不等式的性質(zhì)知，B正確；對(duì)于C，由不等式的性質(zhì)知，若則所以，故C正確；對(duì)于D，由不等式的性質(zhì)知，若,，則，故D正確.故選：BCD.10.不等式的解集是，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.且B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)和一元二次不等式的關(guān)系，可以確定，并且，是方程的兩個(gè)根，再利用韋達(dá)定理可得，，再分析選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于，，，是方程的兩個(gè)根，所以，，所以，，所以，，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，，由可得不等式解集為，所以正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，所以正確；對(duì)于，由題得，因?yàn)?，所以，所以，所以不等式的解集是，所以正確．故選：.11.已知，，，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為4 D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用基本不等式得到；B選項(xiàng)，平方后得到，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，將3替換為，變形得到，利用基本不等式求出最小值；D選項(xiàng)，化簡得到，由基本不等式“1”的代換得到最小值【詳解】A選項(xiàng)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A正確；B選項(xiàng)，，故，故B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，C正確；D選項(xiàng)，，其中，，，故，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D正確.故選：ACD三、填空題（共15分，每題5分）12.已知集合，且，則的值為_________.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)集合相等，列出關(guān)于m的方程，結(jié)合集合元素的互異性，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，而集合的元素具有互異性，故，所以，故答案為：013.已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】求出的最大值，然后可得，解出即可.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式在上有解，的最大值為4所以，解得故答案為：14.已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正實(shí)數(shù)、滿足，得到，求出，變形得到，由基本不等式求出最小值.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，所以，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：四、解答題（共5小題，共77分.要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.（1）設(shè)，試比較與的大小.（2）已知、、、且，，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用作差法，即可比較兩式的大?。唬?）利用作差法，即可證明．【詳解】（1）；因?yàn)?，所以，，所以，所以；?）證明：，因?yàn)榍?，，所以；又因?yàn)?，所以，則，又，所以，即．16.已知正數(shù)，滿足.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）25（2）【解析】【分析】（1）由已知等量關(guān)系化簡代數(shù)值并轉(zhuǎn)化“1”，然后利用基本不等式解得最小值；（2）不等式恒成立等價(jià)于求最值問題，先利用等量代換和基本不等式求出左邊最小值，再解不等式即可得出范圍.【小問1詳解】∵，∴，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“=”，所以最小值為25.【小問2詳解】∵，∴，∴，∵且，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，∴，∴恒成立，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為17.（1）若不等式的解集為或，解關(guān)于的不等式：；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用給定條件結(jié)合韋達(dá)定理求出參數(shù)，再求解一元二次不等式即可.（2）依據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)和一元二次不等式所對(duì)應(yīng)的一元二次方程兩個(gè)根的正負(fù)分類討論，求解不等式即可.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛?，所以一元二次方程的兩個(gè)根是或，且，由韋達(dá)定理得，解得，又，解得，故可化為，故，解得，（2）當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得，當(dāng)時(shí)，令，解得或，故可化為，當(dāng)時(shí)，則或，當(dāng)時(shí)，解，解得，當(dāng)時(shí)，解，解得，當(dāng)時(shí)，則，解，解得，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)不等式化為，解得，綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.18.2010年上海世博會(huì)某國要建一座八邊形的展館區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形和構(gòu)成的面積為200m2的十字型地域，計(jì)劃在正方形上建一座“觀景花壇”，造價(jià)為4200元/m2，在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價(jià)為210元/m2，再在四個(gè)空角(如等)上鋪草坪，造價(jià)為80元/m2．設(shè)AD長為xm，DQ長為ym．（1）試找出與滿足的等量關(guān)系式；（2）設(shè)總造價(jià)為元，試建立與的函數(shù)關(guān)系；（3）若總造價(jià)不超過138000元，求長的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）﹒【解析】【分析】(1)由已知，十字形區(qū)域面積為矩形面積的四倍與正方形面積之和，得出；(2)由(1)得，，即可建立與的函數(shù)關(guān)系．(3)利用總造價(jià)不超過138000元，建立不等式，即可求長的取值范圍．【小問1詳解】由已知，十字形區(qū)域面積為矩形面積的四倍與正方形面積之和，得出與滿足的等量關(guān)系式為：；【小問2詳解】由(1)得；【小問3詳解】由，得，，即，∴長的取值范圍是，．19.（1）設(shè)、、、為正實(shí)數(shù)，證明不等式：；（2）若正實(shí)數(shù)、滿足：，求的最小值；（3）若，，當(dāng)時(shí)，求最大值.【答案】（1）證